How Much Elementary Mathematics Training from an Advanced Standpoint do Mathematics Teachers Need? Tomás Ortega Luis Puig U. Valladolid U. Valencia Didáctica.

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1 How Much Elementary Mathematics Training from an Advanced Standpoint do Mathematics Teachers Need? Tomás Ortega Luis Puig U. Valladolid U. Valencia Didáctica de la Matemática 1

2 2 Planteamiento teórico. Conferencia de Decanos Interés y preocupación en la Sociedad Española de Investigación matemática (SEIEM) Primera Reunión de Decanos y Directores de Departamentos de Matemáticas (2000) La articulación de los estudios universitarios de Matemáticas (tanto en nuestra Licenciatura como en otras titulaciones) con la enseñanza Secundaria es mala. Plantean soluciones ajenas al grado de Matemáticas.

3 Theoretical Approach. Deans' Conference Interest and concern on the part of the Spanish Society for Mathematical Research (SEIEM) First Meeting of Deans and Directors of Mathematics Departments (2000) The coordination between the study of Mathematics at the university level (both in Mathematics degrees and other degrees) and secondary-level teaching is inadequate. Proposed solutions are unrelated to Mathematics 3

4 4 En la Segunda Reunión de Decanos y Directores de Departamentos de Matemáticas (2000), como sociedad invitada, SEIEM expuso la necesidad de crear tres orientaciones en la licenciatura de matemáticas tras una formación común: Profesor de Universidad Especialista en Modelos Matemáticos Aplicados Profesor de Enseñanza Secundaria Tuning (2003) las recoge y en el VII SEIEM (Granada, 2004) se expusieron como: Orientación académica, Perfil aplicado y Orientación educativa. Planteamiento teórico. Conferencia de Decanos

5 At the Second Meeting of Deans and Directors of Mathematics Departments (2000), SEIEM, as invited speaker, issued an appeal for the creation of a series of core studies which would later branch into three different orientations with regard to degrees in Mathematics: University professor Specialization in applied mathematical models Secondary school teacher Proposal accepted by the Tuning Project (2003). Reformulated as Academic Profile, Applied Profile and Teaching Profile at the VII SEIEM (Granada, 2004) Theoretical Approach. Deans' Conference 5

6 6 Planteamiento teórico. Itinerario Educativo La Subcomisión Española de la International Comission on Mathematics Instruction (ICMI_E) celebró en Granada (2004) un Seminario Itinerario Educativo de la Licenciatura de Matemáticas para analizar y diseñar líneas maestras para la tercera orientación de la licenciatura (grado) de Matemáticas. La primera competencia general que se fijó, fue ésta. El dominio de los contenidos matemáticos de Educación Secundaria desde una perspectiva matemática superior y su conocimiento como objetos de enseñanza-aprendizaje; (Recio, 2004, 35).

7 Theoretical Approach. Teaching Itinerary The Spanish Subcommittee of the International Commission on Mathematics Instruction (ICMI_E) held a seminar titled A Teaching Itinerary in the Degree in Mathematics (Granada, 2004) to analyze the third profile of the degree in Mathematics and design pertinent guidelines. The first general competence set, was it. The knowledge of mathematical content for secondary education from the perspective of higher mathematics education and the mastery of this knowledge in the realm of teaching and learning. (Recio, 2004, 35) 7

8 8 Planteamiento teórico. Itinerario Educativo El Seminario es consciente de que existen contenidos curriculares de Educación Secundaria que no se desarrollan en las licenciaturas y nuevamente aparece el espíritu de Klein en la propuesta de módulos formativos. Primer módulo: Fundamentos de las Matemáticas de la Educación Secundaria desde un punto de vista superior, con sus aspectos filosóficos, históricos, epistemológicos y las conexiones con otras materias, como Física, Biología, Economía, etc. (Recio, 2004, 36).

9 Theoretical Approach. Teaching Itinerary The Seminar acknowledges that part of the secondary curriculum content is not covered in current university studies. The Klein Project again appears in the proposal for content modules. First Module: The Foundations of Mathematics in Secondary Education from the perspective of Higher Education, including philosophic, historical and epistemological considerations as well as in relation to Physics, Biology, Economics, etc. (Recio, 2004, 36) 9

10 10 Planteamiento teórico. El libro blanco La Conferencia de Decanos (amparada por la ANECA) impulsa la creación de un libro blanco para elaborar la estructura de los Grados de Matemáticas adaptándolos al EEES. Se fija una troncalidad de 144 ECTS (de los 240 del grado) y la vincula a las cinco grandes áreas de conocimiento de Matemáticas. En cualquier caso, no se propone un catálogo cerrado de orientaciones, sino que cada Universidad podrá organizar las que resulten más adecuadas a sus circunstancias y objetivos (ANECA, 2004, 125).

11 Theoretical Approach. Consultation Document The Deans' Conference (under the auspices of the ANECA) authorizes the creation of a consultation document to be used when designing future degrees in Mathematics adapted to the European Higher Education Area. 144 (of a total of 240) ECTS credits will be assigned to basic core subjects pertaining to the five general areas of mathematical knowledge. This is not to be interpreted as a closed catalogue of orientations: each University will organize them as best suits their own circunstances and objectives (ANECA, 2004, 125). 11

12 12 Planteamiento teórico. El libro blanco Se detectan ocho perfiles profesionales: docente universitario o investigador, docente no universitario, administración pública, de banca-finanzas y seguros, consultoría, industria, telecomunicaciones, empresas y otros organismos. Se asignan competencias (demasiado genéricas) transversales (instrumentales, personales y sistémicas) y específicas (disciplinares, profesionales, académicas, otras). Profesor de Secundaria es la profesión con el mayor número de egresados, las competencias asociadas aparecen excesivamente marcadas por un academicismo, se muestran diluidas entre ocho opciones y, además, la asignación resulta un tanto arbitraria.

13 Theoretical Approach. Consultation Document Eight professional profiles: university teacher o researcher; non-university teacher; public administration; banking, finance and insurance; industry; consulting agencies; telecommunications; business and other organizations. Transverse competences (instrumental, personal and systemic) and specific competences (subject-related, professional, academic, etc.). As most graduates go on to become secondary education teachers, the related competences are characterized by an excessively academic bent. Furthermore, they are distributed among seven options in a rather arbitrary manner. 13

14 14 Planteamiento teórico. El libro blanco Ejemplo de asignación de competencias transversales Las competencias en Docencia no universitaria son las mismas que en Banca-finanzas y seguros con estas excepciones: Resolución de problemas y Reconocimiento de la diversidad y multiculturalidad figuran en la primera y no en la segunda. Trabajo en equipo y Capacidad de análisis y síntesis son de la segunda, pero no de la primera. ¿Qué calidad profesional tendía un Profesor de Secundaria que no hubiera adquirido estas competencias asignadas a la banca?

15 Theoretical Approach. Consultation Document An example of transverse competences The competences for non-university-level teaching are the same as those for banking, finance and insurance, with the following exceptions: Problem solving and Identification of diversity and multiculturality are on the first list, but not the second. Team work and Analysis and synthesis capabilities are on the second list, but not the first. How effective will secondary school teachers be if they do not internalize the competences assigned to banking? 15

16 16 Planteamiento teórico. Las Sociedades En la Federación de Sociedades de Profesores de Matemáticas se enlaza con el espíritu del Seminario de Granada y se muestra esperanzada Tenemos la oportunidad de hacer las cosas mejor rompiendo rutinas e inercias del pasado García Cuesta (2009). La Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática española (Millavibarrena, 2009) enfatiza la importancia de desarrollar en los Grados de Matemáticas los contenidos de Educación Secundaria siguiendo el espíritu Klein, y señala que los Complementos de Matemáticas (Materia del Máster en Profesor de Educación Secundaria) deben desarrollarse para que pueda impartir la docencia que se le asigne en las mejores condiciones.

17 Theoretical Approach. Professional Organizations The Federation of Math Teachers' Organizations is hopeful and reflects the spirit of the Granada Seminar: We have a chance to make things better by breaking with the routines and inertia of the past. (García Cuesta, 2009) The Education Commission of the Royal Spanish Mathematics Society (Millavibarrena, 2009) highlights the importance of following the Klein Project when developing the content of the Secondary Education curriculum. It indicates that Complements of Mathematics (a subject included in the Master in Secondary Education) should be designed to assure that the candidates can teach the subjects assigned to them in a most satisfactory manner. 17

18 18 Situación real de los grados En el currículo de Educación Secundaria aparecen muchos contenidos que nuestros graduados no han estudiado jamás en la universidad y, si el máster u otros cursos no lo remedian, serán profesores de matemáticas y tendrán que desarrollar esos conocimientos matemáticas con los conocimientos que ellos adquirieron como alumnos de Educación Secundaria. Incluso en la actualidad hay contenidos que no figuraban en el currículo que ellos estudiaron y, por tanto, no tendrán una preparación adecuada para desarrollar su profesión.

19 The Present Degree Program In the secondary education curriculum there are many topics that our graduates have never studied at university. If the Master or other courses do not remedy this situation, future math teachers will have to teach these contents using the knowledge they acquired in secondary school. At present there are contents that were not present in their syllabi. Thus they will lack adequate preparation for the teaching profession. 19

20 20 Situación real de los grados. Entrevista Se preguntó a dos alumnos del máster de Secundaria (un egresado de Físicas, F, y otro de Matemáticas, M) sobre el desarrollo en la Universidad de una amplia relación de contenidos y las respuestas casi siempre eran éstas: M. En Matemáticas no se estudia nada de eso. F. En Físicas tampoco. En algunos casos había matizaciones cómo éstas tres. 1. Sobre cónicas: M. En matemáticas sólo se hace un tratamiento algebraico buscando los invariantes que clasifican a las mismas. F. En físicas no se estudian.

21 The Present Degree Program. Interview Two students in the Master in Secondary Education program, one holding a degree in Physics (P) and the other in Mathematics (M), were asked a wide range of questions about the contents taught in University courses. The answers were almost always the same: M. In Math we don't study anything about that. P. Nor in Physics. In some cases there were explanations, such as the following. 1. With regard to conic sections: M. In Mathematics we only deal with this from an algebraic standpoint: finding the invariants that classify them. P. In Physics we don't study that. 21

22 22 Situación real de los grados. Entrevista 2. Sobre recogida de información y representación de datos: M. En matemáticas, no como algo específico. F. En físicas, datos de laboratorio. 3. En Resolución de Problemas ambos coinciden: Cada profesor resuelve los problemas de su asignatura, y sólo algunos de ellos aportan algunas ideas, estrategias y técnicas para resolver problemas de su materia. También señalan ambos que los contenidos del grado se estudian en la carrera desde una perspectiva exclusivamente matemática y sin tener en cuenta los currículos de Educación Secundaria.

23 The Present Degree Program. Interview 2. Regarding information gathering and data representation: M. In Mathematics, not as something specific. P. In Physics, laboratory data. 3. Regarding Problem Solving, both interviewees agree: Each instructor solves problems relating to his course material; only a few offer ideas, strategies and tecniques for solving problems related to their subject. Both interviewees agreed that content in courses leading to their degree was presented exclusively from a mathematical perspective, without taking into account secondary school curricula. 23

24 24 Situación real de los grados. Encuesta Se realiza entre profesores de ESO y Bachillerato: 1.Las matemáticas de la universidad son demasiado teóricas y tienen pocas aplicaciones prácticas. 2.Los graduados tienen que estudiar por su cuenta muchos contenidos porque no les forman en ellos. 3.Los objetivos de las licenciaturas no están pensados para formar profesores, sino para ser científicos; que debiera haber una licenciatura distinta para ser profesor de ESO y Bachillerato 4.No enseñan como trasmitir el conocimiento y sólo el primer curso de la carrera y parte del segundo son apropiados para ser Profesores de Matemáticas.

25 The Present Degree Program Survey High school teachers responded that: 1.The mathematics taught at university are overly theoretical and have very little practical application. 2.University graduates must study a large amount of subject matter on their own as they were not exposed to it at university. 3.The objectives of the degree program are not designed with future teachers in mind; instead they are geared to scientists. There should be a specific degree for those desiring to be secondary school teachers. 4.They were not taught how to transmit knowledge. Only the subjects studied in the first year of their degree and several from the second year were suitable for Mathematics teachers. 25

26 26 Máster de Formación de Profesorado en Educación Secundaria La ORDEN ECI/3858/2007 crea tres módulos formativos generales: 1.Genérico. Dedicado a la Formación psicopedagógica y social. 2.Específico. Complementos para la formación matemática, Formación en Didáctica de la Matemática, innovación docente e iniciación a la investigación educativa. 3.Practicum (Practicum en la especialización, incluyendo el Trabajo fin de Máster). Se dedican entre 12 y 14 ECTS del módulo específico para esta formación complementaria en matemáticas, pero no existe ningún catálogo de contenidos mínimos y, en su totalidad, son fijados por las universidades de forma independiente.

27 Master in Secondary Education ORDER ECI/3858/2007 creates three general content modules: 1.General. Psychopedagogical and social content. 2.Specific. Complementary Training in Mathematics. Studies in the Teaching of Mathematics, Classroom Innovation and Introduction to Pedagogical Research. 3.Practicum. (Student teaching in each specific field and a research project). Twelve to fourteen ECTS credits are assigned to this module for complementary training in Mathematics. However, there is no list of minimal contents; the content is established independently by each university. 27

28 28 Máster de Formación de Profesorado en Educación Secundaria. Una consulta sobre el máster en 17 universidades españolas en las que se ha implantado este máster sobre Complementos para la formación matemática nos ha permitido constatar que: La asignación de docencia es arbitraria, No se consideran los mismos contenidos en todas universidades. La orientación cambia de una universidad a otra y ésta depende de la fortaleza y generosidad de las cinco grandes áreas de conocimiento de Matemáticas, del gobierno de cada universidad, y de las posibilidades de dedicación del área de Didáctica de la Matemática. En todas las universidades se desarrolla una asignatura con contenidos de Historia de la Matemática

29 Master in Secondary Education. Questionnaire Seventeen Spanish universities were asked how they had set up the Complementary Training in Mathematics. From their answers we have learned that: Courses are assigned arbitrarily. Course content differs from one university to another. The orientation changes from one university to another, depending on the strength and generosity of the five great areas of mathematical knowledge, the governing body of each university, and the availability of instructors from the Mathematics Teaching Department. All the universities consulted have a course dealing at least in part with the History of Mathematics. 29

30 30 Máster de Formación de Profesorado en Educación Secundaria. Consulta Se detectan tres perfiles según qué áreas desarrollen los contenidos de Complementos para la formación matemática : 1.Docencia a cargo de Didáctica de la Matemática. La formación se produce siguiendo la orientación de Klein. 2.Docencia compartida Áreas de Matemáticas y Didáctica de la Matemática. El espíritu de Klein se ve reflejado en mayor o menor grado justa a contenidos no curriculares 3.Docencia exclusiva de Áreas de Matemáticas. El desarrollo de contenidos de E.S. según Klein es testimonial, no existe intencionalidad de formar profesores en E.S., son contenidos superiores más propios de grado.

31 Master in Secondary Education. Questionnaire Three profiles have been identified with regard to Complementary Mathematics Training depending on which Department designed the course of study: 1.The content taught by the Department of Mathematics Teaching adapt to Klein's orientation. 2.In content taught jointly by the Department of Mathematics and the Department of Mathematics Teaching Klein's ideas are present to a greater or lesser extent. 3.In content taught exclusively by Departments of Mathematics, there is token reference to secondary education. No intention is made to train students to become secondary school teachers. The content is appropriate for undergraduate courses. 31

32 32 Máster de Formación de Profesorado en Educación Secundaria. Consulta Los profesores que imparten contenidos superiores declaran que varios alumnos tienen dificultades en las asignaturas de complementos, porque muchas cosas o no las conocían o no las recordaban. Excepcionalmente, en una de estas universidades, la asignatura de Innovación en Educación la ha desarrollado Pedagogía General y ha sido común para todos los módulos del máster (matemáticas, biología, lengua, literatura,…).

33 Master in Secondary Education. Questionnaire The instructors who teach upper-level course content say that some students had difficulty with the complementary courses because they either did not know or did not remember many things. Only in one university was the course titled Classroom Innovation designed by the Department of General Education and taken by all the students enrolled in the Master (whether their degree be in Mathematics, Biology, Spanish, Literature). 33

34 34 Máster de Formación de Profesorado en Educación Secundaria Este máster nunca debiera suplir la deficiencia formativa profesionalizadora. Ésta tendría que ser adquirida en los los grados, hecho que se produce por no poner en práctica el itinerario de matemática educativa. En nuestra opinión, para conseguir una formación adecuado del profesorado de Educación Secundaria, estos estudios debieran ser un complemento de formación y no la única formación específica que reciban estos alumnos.

35 Master in Secondary Education This Master should never try to complete the professional content which should have been dealt with during the degree program. This occurs because the Mathematics Teaching Itinerary is not being put into practice. In our opinion, if future secondary education teachers are to receive adequate instruction, such studies should be a complement to their training and not the only instruction they receive. 35

36 36 La materia Complementos… en la Universidad de Valencia (6 ECTS) La materia Complementos para la Formación Disciplinar de la Especialidad de Matemáticas constituye la primera parte del Módulo Específico del Máster Universitario en Profesor/a de Educación Secundaria. Esta materia está diseñada para que forme un todo con las otras materias del módulo, Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas, e Innovación Docente e Iniciación a la Investigación Educativa en Matemáticas […] En esta materia se aborda el estudio de determinados elementos matemáticos necesarios para adquirir un conocimiento adecuado de la problemática de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas de Educación Secundaria y para desarrollar propuestas eficaces e innovadoras de enseñanza de dichas asignaturas.

37 37 The subject Complements… at the University of Valencia (6 ECTS) The subject Complements for the Disciplinary Training (in Mathematics) is the first part of the Specific content Module of the Master in Secondary Education. This subject is designed to make a whole with the other subjects of the Module, Teaching and Learning of Mathematics, and Educational Innovation and Introduction to Educational Research in Mathematics […] This subject deals with the study of some mathematical elements which are needed to acquire a suitable knowledge of the problematics of teaching and learning the mathematical content of Secondary Education, and which are needed to develop innovative and effective teaching proposals for this subject matters.

38 38 La materia Complementos… en la Universidad de Valencia (6 ECTS) - El uso de modelos, contextos y situaciones matemáticas permite una aproximación fenomenológica a la docencia de las Matemáticas en Educación Secundaria, que ayuda a los estudiantes a comprender los conceptos, propiedades y procedimientos matemáticos y a conocer y experimentar su utilidad como herramientas para resolver problemas de la ciencia y la tecnología. - Conocer la evolución histórica y la epistemología de las ideas matemáticas permitirá a los profesores de Matemáticas tener una visión más profunda de los contenidos que tendrán que enseñar y, al mismo tiempo, les dará un referente para analizar los procesos y dificultades de aprendizaje de sus alumnos.

39 39 The subject Complements… at the University of Valencia (6 ECTS) The use of Mathematical models, contexts and situations allows a phenomenological approach to the teaching of mathematics in Secondary Education, which helps students to understand mathematical concepts, properties and procedures, and to know and experience their usefulness as a tool to solve problems of science and technology. Knowing the historical evolution and the epistemology of mathematical ideas enables prospective mathematics teachers to have a deeper view of the mathematical content they will have to teach. At the same time it will give them a referent to analyse pupils learning processes and difficulties.

40 40 La materia Complementos… 1. Resolución de problemas (heurística). 1.1. El concepto de problema. 1.2. Tipologías y tipos de problemas. 1.3. El proceso de resolución. Resultado, solución y resolución. El modelo de Pólya. 1.4. El concepto de heurística en la resolución de problemas. 1.5. Las herramientas heurísticas. 1.6. Los métodos de resolución con contenido heurístico. 1.7. La gestión del proceso de resolución. Tareas del gestor instruido. 1.8. Patrones plausibles. 1.9. Conjeturas y refutaciones. Demostraciones y refutaciones. 1.10. La fase de revisión-extensión. 1.11. Planteo de problemas. Análisis del enunciado o de la solución para generar problemas.

41 41 Complements…s syllabus 1. Problem Solving (Heuristics). 1.1. The concept of problem. 1.2. Problem types and typologies. 1.3. The solving process. Result, solution and resolution. Pólyas model. 1.4. The concept of heuristics in problem solving. 1.5. Heuristic tools. 1.6. Solving methods with heuristic content. 1.7. Problem solving management. Tasks of the learned manager. 1.8. Plausible patterns. 1.9. Conjectures and refutations. Demonstrations and refutations. 1.10. The revision-extension phase. 1.11. Problem posing. Statement or solution analysis to generate problems.

42 42 Un propósito de Klein Daré al conjunto un tono en cierta manera diferente: colocaré en primer plano, por decirlo así, el ideal enciclopédico –les ofreceré un panorama del campo completo de la geometría en el que ustedes podrán encajar, como en un marco rígido, todos los elementos separados de conocimiento que ustedes han adquirido en el curso de sus estudios. (Klein, 1939, p. 1)

43 43 Kleins purpose I shall give the whole a somewhat different tone: In the foreground I shall place, let me say, the encyclopedic ideal–you will be offered a survey of the entire field of geometry into which you can arrange, as into a rigid frame, all the separate items of knowledge which you have acquired in the course of your study. (Klein, 1939, p. 1)

44 44 Un propósito de Klein Dos instrumentos básicos: - El uso de la historia - La fusión de aritmética y geometría El semestre pasado procuré siempre animar las discusiones abstractas de aritmética, álgebra y análisis mediante figuras y métodos gráficos […] De forma similar, acompañaré ahora desde el principio la percepción espacial, que, por supuesto, mantendrá la primera posición, con fórmulas analíticas, que facilitan en el grado máximo la formulación precisa de los hechos geométricos. (Klein, 1939, p. 2)

45 45 Kleins purpose Two basic instruments: - Use of history - A fusion of arithmetic and geometry Last semester I endeavoured always to enliven the abstract discussions of arithmetic, algebra and analysis by means of figures and graphic methods, […]. Similarly, I shall now, from the very beginning, accompany space perception, which, of course, will hold first place, with analytic formulas, which facilitate in the highest degree the precise formulation of geometric facts. (Klein, 1939, p. 2)

46 46 Un propósito de Klein En la elementarización de la geometría Klein, pues, se propone abrir simultáneamente lo que ahora, en entornos informáticos como las calculadoras gráficas simbólicas o GeoGebra u otros, llamamos dos ventanas: la ventana gráfica y la ventana algebraica. La situación de las matemáticas y su enseñanza en la época de Klein le conduce a situar el énfasis en la ventana algebraica, aun cuando diga que la ventana gráfica está en primer plano, porque la ventana algebraica es la que permite la formulación precisa de los hechos geométricos.

47 47 Kleins purpose To treat elementary geometry from an advanced standpoint, Klein intends to open simultaneously what we call nowadays in computer environments (symbolic calculators, GeoGebra) two windows: the graphic window, and the algebraic window. The situation of the teaching of mathematics by the time of Klein seems to lead him to stress the algebraic window. The graphical one will hold first place, however the algebraic window allows the precise formulation of geometric facts.

48 48 Un propósito de Klein

49 49 Kleins purpose

50 50 Ámbitos de cambio desde Klein -Las propias matemáticas. -El sistema educativo, en particular, la extensión de la educación a capas mucho más amplias de la población de las que recibían enseñanza en la época de Klein. -El desarrollo de la didáctica de las matemáticas como disciplina: teorías, investigación, institucionalización académica. No hay parangón entre la situación en la época de Klein y la actual. - La irrupción de las (nuevas) tecnologías de la información y la comunicación.

51 51 Fields of change since Klein - Mathematics. - The educational system, specially the extension of compulsory education. - Mathematics Education as a discipline: theories, research, academic institutionalisation. Beyond comparison with the situation by Kleins time. - The bursting of (new) ITC in mathematics education and in mathematics.

52 52 Lo nuevo en las nuevas tecnologías Sócrates - Sobre la conveniencia e inconveniencia del escribir, y de qué modo puede llegar a ser bello o carecer, por el contrario, de belleza y propiedad, nos queda aún algo por decir. ¿No te parece? Fedro - Sí. Sócrates - ¿Sabes, por cierto, qué discursos son los que le agradan más a los dioses, si los que se hacen, o los que se dicen? Fedro - No, no lo sé, ¿y tú?

53 53 Whats new in new technologies Socrates But we have still to speak of propriety and impropriety in writing, how it should be done and how it is improper, have we not? Phaedrus Yes. Socrates Do you know how you can act or speak about rhetoric so as to please God best? Phaedrus Not at all; do you?

54 54 Lo nuevo en las nuevas tecnologías SÓC. - Pues bien, oí que había por Náucratis, en Egipto, uno de los antiguos dioses del lugar al que, por cierto, está consagrado el pájaro que llaman Ibis. El nombre de aquella divinidad era el de Theuth. Fue éste quien, primero, descubrió el número y el cálculo, y, también, la geometría y la astronomía, y, además, el juego de damas y el de dados, y, sobre todo, las letras. […] Pero, cuando llegaron a lo de las letras, dijo Theuth: «Este conocimiento, oh rey, hará más sabios a los egipcios y más memoriosos, pues se ha inventado como un fármaco de la memoria y de la sabiduría.»

55 55 Whats new in new technologies Socrates I heard, then, that at Naucratis, in Egypt, was one of the ancient gods of that country, the one whose sacred bird is called the ibis, and the name of the god himself was Theuth. He it was who invented numbers and arithmetic and geometry and astronomy, also draughts and dice, and, most important of all, letters. […]NaucratisEgypt but when they came to the letters, This invention, O king, said Theuth, will make the Egyptians wiser and will improve their memories; for it is an elixir of memory and wisdom that I have discovered.

56 56 Lo nuevo en las nuevas tecnologías Pero él le dijo: «¡Oh artificiosísimo Theuth! A unos les es dado crear arte, a otros juzgar qué de daño o provecho aporta para los que pretenden hacer uso de él. Y ahora tú, precisamente, padre que eres de las letras, por apego a ellas, les atribuyes poderes contrarios a los que tienen. Porque es olvido lo que producirán en las almas de quienes las aprendan, al descuidar la memoria, ya que, fiándose de lo escrito, llegarán al recuerdo desde fuera, a través de caracteres ajenos, no desde dentro, desde ellos mismos y por sí mismos.. No es, pues, un fármaco de la memoria lo que has hallado, sino un simple recordatorio. Apariencia de sabiduría es lo que proporcionas a tus alumnos, que no verdad. Porque habiendo oído muchas cosas sin aprenderlas, parecerá que tienen muchos conocimientos, siendo, al contrario, en la mayoría de los casos, totalmente ignorantes, y difíciles, además, de tratar porque han acabado por convertirse en sabios aparentes en lugar de sabios de verdad.

57 57 Whats new in new technologies But Thamus replied, Most ingenious Theuth, one man has the ability to beget arts, but the ability to judge of their usefulness or harmfulness to their users belongs to another; and now you, who are the father of letters, have been led by your affection to ascribe to them a power the opposite of that which they really possess. For this invention will produce forgetfulness in the minds of those who learn to use it, because they will not practice their memory. Their trust in writing, produced by external characters which are no part of themselves, will discourage the use of their own memory within them. You have invented an elixir not of memory, but of reminding; and you offer your pupils the appearance of wisdom, not true wisdom, for they will read many things without instruction and will therefore seem to know many things, when they are for the most part ignorant and hard to get along with, since they are not wise, but only appear wise.

58 58 Lo nuevo en las nuevas tecnologías Cambios en el uso de la memoria. Cambios en las reglas de composición.

59 59 Whats new in new technologies Changes in the use of memory. Changes in the rules of composition.

60 60 ¿Qué formación matemática elemental con aproximación de orden superior debieran recibir necesariamente los profesores de matemáticas? Tras la experiencia ganada en la coordinación del Módulo de Matemáticas en este Máster y, habida cuenta de que estos alumnos, además de esta formación en complementos, tienen que adquirir una formación adecuada en Didáctica de la Matemática y en innovación e iniciación a la investigación, afirmamos que la formación específica es insuficiente para garantizar una formación profesional competente.

61 How much elementary mathematics training from an advanced standpoint do mathematics teachers need? As a result of the experience gained as Coordinators of the Mathematics Module of this Master and bearing in mind that, apart from these complementary aspects, students must be given adequate instruction in the Teaching of Mathematics, in Classroom Innovation and Initiation into Research, we strongly believe that the amount of time dedicated to learning how to teach Mathematics is insufficient to guarantee that a candidate will be a competent teacher. 61

62 62 ¿Qué formación matemática elemental con aproximación de orden superior debieran recibir necesariamente los profesores de matemáticas? Lo que tiene que haber en el máster de formación de profesores y lo que tiene que haber en el grado de matemáticas, lo que hay en el máster y lo que hay en el grado, lo que haya en el máster y lo que haya en el grado, está ligado. Recuperar la fórmula 3+2 podría conducirnos a volver a pensar lo que pensamos como itinerario educativo, pero ahora tras el grado de matemáticas con la forma de un máster de dos años. Esto, sin embargo, no parece estar en el horizonte de lo posible.

63 63 Both what has to be in the Master and in the Degree, both what actually is in the Master and in the Degree, should be linked. To go back to the formula 3+2 could lead us to rethink what we have thought as an Educational Itinerary in the Degree in Mathematics, now in the form of a two years Master following the Degree in Mathematics. However, this is fairly impossible in the near future. How much elementary mathematics training from an advanced standpoint do mathematics teachers need?

64 64 ¿Qué formación matemática elemental con aproximación de orden superior debieran recibir necesariamente los profesores de matemáticas? Cabe recuperar la idea de un itinerario educativo en el grado de matemáticas, y diseñar de forma conjunta ese itinerario educativo, que contendría el grueso de los complementos disciplinares para la enseñanza y el inicio otros componentes educativos, con el máster de formación de profesores de matemáticas, que tendría que ser diseñado independientemente del de las otras especialidades de profesor de secundaria. La idea de Klein encontraría ahí, mejor que en lo que actualmente estamos echando a andar, la manera de plasmarse de acuerdo con los cambios que se han producido, tanto en las matemáticas como en la didáctica de las matemáticas, en el siglo transcurrido desde su propuesta.

65 65 We may go back to the idea of an Educational Itinerary in the Degree of Mathematics, by designing both such an Educational Itinerary and a Master on Secondary Education in Mathematics linked together. The Educational Itinerary would contain the disciplinary complements, as well as it would start there other educational elements. Kleins idea would find there, better than in the Master we have started this year, a way to be expressed according to the changes produced since Kleins time, a century ago, both in mathematics and in mathematics education. How much elementary mathematics training from an advanced standpoint do mathematics teachers need?

66 66 ¿Qué formación matemática elemental, con aproximación de orden superior, debieran recibir necesariamente los profesores de matemáticas? Tomás Ortega Luis Puig U. Valladolid U. Valencia Muchas gracias