Los números 1.El sistema de numeración decimal y los números naturalesEl sistema de numeración decimal y los números naturales 2.Los números enteros. Operaciones.

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1 Los números 1.El sistema de numeración decimal y los números naturalesEl sistema de numeración decimal y los números naturales 2.Los números enteros. Operaciones con números enterosLos números enteros. Operaciones con números enteros 3.Las fracciones. Operaciones con fraccionesLas fracciones. Operaciones con fracciones 4.Fracciones y decimalesFracciones y decimales 5.Operaciones con números decimales. Aproximación decimal y erroresOperaciones con números decimales. Aproximación decimal y errores 6.Los números reales. Representación de números en la recta real. IntervalosLos números reales. Representación de números en la recta real. Intervalos 7.Potencias de números enterosPotencias de números enteros 8.Potencias de exponente fraccionario. RadicalesPotencias de exponente fraccionario. Radicales 9.Notación científicaNotación científica 10.Proporcionalidad directa e inversa. Reglas de tresProporcionalidad directa e inversa. Reglas de tres 11.Porcentajes en la vida diaria y en la economíaPorcentajes en la vida diaria y en la economía 12.Aplicaciones de los números en la resolución de problemas de la vida cotidianaAplicaciones de los números en la resolución de problemas de la vida cotidiana 1 Índice del libro

2 Los números 1. El sistema de numeración decimal y los números naturales 1.1. El sistema de numeración decimal 1 SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Decimal: está formado por diez cifras {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Posicional: el valor de cada una de estas cifras depende del lugar que ocupa dentro del número

3 Los números 1. El sistema de numeración decimal y los números naturales 1.1. El sistema de numeración decimal 1 FORMA POLINÓMICA DE UN NÚMERO Expresión del número como suma de los valores de cada cifra según la posición que ocupa cada una dentro del número Ejemplo Expresar en forma polinómica el número 86 482 86 482 = 8 ∙ 10 000 + 6 ∙ 1 000 + 4 ∙ 100 + 8 ∙ 10 + 2∙ 1 Atención Cifra: cada uno de los símbolos o caracteres gráficos que se utilizan para representar un número Número: es la cantidad que resulta del proceso de contar

4 Los números 1. El sistema de numeración decimal y los números naturales 1.2. Lo números naturales 1 LOS NÚMEROS NATURALES Números naturales ℕ : conjunto de números que se construye a partir del número 0 añadiéndole una unidad a cada número que se va obteniendo ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … } A partir de este conjunto, el hombre ha creado los números enteros, los racionales, los irracionales y, finalmente, los números reales.

5 Los números 2. Los números enteros. Operaciones con números enteros 2.1. Los números enteros 1 LOS NÚMEROS ENTEROS Números enteros ℤ : conjunto de números que está formado por los números naturales y los que se obtienen al añadirles el signo negativo ℤ = { …,-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, … } Se representan en una recta numérica, situando los números positivos a la derecha del cero y los negativos a la izquierda

6 Los números 2. Los números enteros. Operaciones con números enteros 2.1. Los números enteros 1 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO Valor absoluto de un número: distancia de ese número al cero. Se indica poniendo el número entre dos barras |a| Ejemplo El valor absoluto del +5 se expresa como |+5| = 5. El valor absoluto del -3 se escribe |−3| = 3. Podemos dibujar este ejemplo:

7 Los números 2. Los números enteros. Operaciones con números enteros 2.2. Operaciones con números enteros 1 SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Sumar números enteros con distinto signo: se suman por un lado los positivos, por otro los negativos, y después se halla la diferencia entre los valores absolutos de los resultados anteriores y se pone el signo del número que tenga mayor valor absoluto Restar dos números enteros: sumar el primero con el opuesto del segundo Multiplicar y dividir dos números enteros: primero se averigua el signo del resultado mediante las reglas de los signos y después se multiplican o dividen los números como si fuesen naturales Regla de los signos para la MULTIPLICACIÓN Regla de los signos para la DIVISIÓN (+) ⋅ (+) = (+) (+) : (+) = (+) (−) ⋅ (−) = (+) (−) : (−) = (+) (−) ⋅ (+) = (−) (−) : (+) = (−) (+) ⋅ (−) = (−) (+) : (−) = (−)

8 Los números 2. Los números enteros. Operaciones con números enteros 2.3. Jerarquía de las operaciones: operaciones combinadas 1 JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES En una línea con varios tipos de operaciones matemáticas no siempre hay que hacer las operaciones en el orden de izquierda a derecha El orden que debemos seguir lo establece la jerarquía de las operaciones 1ºparéntesis y corchetes[ ( ) ] 2ºmultiplicaciones y divisiones∙, / 3ºsumas y restas+, - Ejemplo (38 - 5) ⋅ 2 - 16 : 4 + 15 1ºparéntesis y corchetes 33 ⋅ 2 - 16 : 4 + 15 2ºmultiplicaciones y divisiones66 - 4 + 15 3ºsumas y restas66 - 4 + 15 = 77

9 Los números 3. Las fracciones. Operaciones con fracciones 3.1. Las fracciones 1 INTERPRETACIONES DEL CONCEPTO DE FRACCIÓN DIVISIÓNPARTE DE LA UNIDADOPERADOR Fracción: cociente de dos números enteros Denominador: número de partes en que se divide la unidad Numerador: número de partes que se toman Hallar una fracción de un número: Se multiplica el número por el numerador y se divide por el denominador FRACCIONES EQUIVALENTES Fracciones equivalentes: representan la misma cantidad

10 Los números 3. Las fracciones. Operaciones con fracciones 3.2. Operaciones con fracciones 1 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES Producto de dos fracciones: es otra fracción que tiene por numerador, el producto de los numeradores por denominador, el producto de los denominadores División de dos fracciones: es multiplicar la fracción numerador por la fracción inversa del denominador. La operación de dividir se puede hacer multiplicando en cruz. Ejemplo Multiplicar fracciones Dividir fracciones

11 Los números 3. Las fracciones. Operaciones con fracciones 3.2. Operaciones con fracciones 1 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR Sumar dos fracciones con igual denominador: se suman los numeradores y se deja el mismo denominador Restar dos fracciones con igual denominador: se hace de forma análoga pero restando Ejemplo

12 Los números 3. Las fracciones. Operaciones con fracciones 3.2. Operaciones con fracciones 1 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR Es otra fracción 1.Denominador: m.c.m. de los denominadores 2.Dividir el m.c.m. por cada denominador 3.Multiplicar 2. por el numerador correspondiente 4.Numerador: suma y resta de todos los numeradores obtenidos en 3.

13 Los números 3. Las fracciones. Operaciones con fracciones 3.2. Operaciones con fracciones 1 Ejemplo Sumar y restar fracciones con distinto denominador:

14 Los números 4. Fracciones y decimales 4.1. De fracción a decimal 1 PASO DE FRACCIÓN A NÚMERO DECIMAL Hacer la división que indica la fracción Hay 4 tipos de números decimales

15 Los números 4. Fracciones y decimales 4.2. De decimal a fracción: fracción generatriz 1 PASO DE DECIMAL PERIÓDICO PURO A FRACCIÓN Los números decimales periódicos se pueden escribir en forma de fracción Ejemplo: Paso de decimal periódico puro a fracción Pasar a fracción el número Como tiene dos cifras periódicas multiplicamos por 100

16 Los números 4. Fracciones y decimales 4.2. De decimal a fracción: fracción generatriz 1 PASO DE DECIMAL PERIÓDICO MIXTO A FRACCIÓN Los números decimales periódicos se pueden escribir en forma de fracción Ejemplo: Paso de decimal periódico mixto a fracción Pasar a fracción el número Como tiene una cifra en el anteperiodo multiplicamos por 10

17 Los números 5. Operaciones con números decimales. Aproximación decimal y errores 5.1. Operaciones con números decimales 1 SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Suma Se colocan uno debajo del otro con las comas alineadas, y se realiza la suma. Se pueden añadir ceros si es necesario para tener la misma cantidad de cifras en ambos números. Resta Se coloca el número decimal que sea mayor encima y el menor debajo, con las comas alineadas. Si alguno tiene menos cifras decimales, basta con añadir los ceros que sean necesarios a la derecha. A continuación se hace la resta. Multiplicación Se sitúa un número debajo del otro y se realiza la multiplicación como si no hubiese comas. Al terminar se pone la coma contando desde la derecha tantos lugares como cifras decimales haya entre los dos números que acabamos de multiplicar. División Se quita la coma del dividendo y se mueve la del divisor tantas cifras como cifras decimales tenga el dividendo añadiendo ceros si es necesario, y se divide.

18 Los números 5. Operaciones con números decimales. Aproximación decimal y errores 5.2. Aproximación decimal y cálculo del error cometido 1 Número14,78392… Redondeo a las décimas14,8 Redondeo a las centésimas14,78 Redondeo a las milésimas14,784 APROXIMACIÓN POR DEFECTO, POR EXCESO Y POR REDONDEO Por defecto: Se eligen valores inferiores al número dado. Por exceso: Se eligen valores superiores al número. Por redondeo: Se puede aproximar a las décimas, centésimas, milésimas, etc. Si la primera cifra decimal que queremos suprimir es menor o igual que cinco, aproximamos por defecto, y si es mayor que cinco aproximamos por exceso.

19 Los números 5. Operaciones con números decimales. Aproximación decimal y errores 5.2. Aproximación decimal y cálculo del error cometido 1 ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO Error absoluto: valor absoluto de la diferencia entre el número original y la aproximación elegida Error relativo: cociente entre el error absoluto y el número original Ejemplo: error absoluto Si la masa de un camión es de 7 854,3 kilogramos, podemos obviar los 300 gramos y aproximar por defecto la masa del camión a 7 854 kilogramos. Error absoluto de |7 854,3 – 7 854| = 0,3 kilogramos. Ejemplo: error relativo Error de 2 kg en la masa de una persona de 80 kg Error 2 kg en la masa de un barco de 75 000 kg

20 Los números 6. Los números reales. Representación de números en la recta real. Intervalos 6.1. Los números reales 1 LOS CONJUNTOS DE NÚMEROS Y LOS NÚMEROS REALES La unión de los números racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales, que se designa por la letra

21 Los números 6. Los números reales. Representación de números en la recta real. Intervalos 6.2. Representación de números en la recta real 1 El conjunto de los números reales suele representarse sobre una línea recta denominada recta real donde a cada punto de la recta se le asocia un número real. Recíprocamente, a cada número real le corresponde un único punto de la recta. LA RECTA REAL Ejemplos: representación de números en la recta real

22 Los números 6. Los números reales. Representación de números en la recta real. Intervalos 6.3. Intervalos de la recta real 1 Intervalo: parte de la recta real que contiene todos los números comprendidos entre dos números, llamados extremos del intervalo. INTERVALOS

23 Los números 7. Potencias de números enteros 1 POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS Potencia de un número: Multiplicación de un número por sí mismo una serie de veces Base: Factor que se repite Exponente: Número de veces que se multiplica la base Por convenio:

24 Los números 7. Potencias de números enteros 1 OPERACIONES CON POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS Tipo de operación… la misma base… el mismo exponente MULTIPLICACIÓN de potencias con… COCIENTE de potencias con… POTENCIA de una potencia …

25 Los números 8. Potencias de exponente fraccionario. Radicales 8.1. Raíz de un número. Radical 1 RAÍZ ENÉSIMA Raíz enésima de un número: Al elevar la raíz a la potencia n obtenemos el número Índice2345…n Nombrecuadrada cúbicacuartaquinta…enésima Ejemplo…

26 Los números 8. Potencias de exponente fraccionario. Radicales 8.2. Potencia de exponente fraccionario 1 Potencia de exponente fraccionario: Radical que tiene por índice el denominador de la fracción y por radicando la base elevada al numerador Con esta notación podemos considerar las operaciones con radicales como operaciones con potencias de exponente fraccionario, y utilizar las propiedades de las potencias. POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO Ejemplos: potencias de exponente fraccionario

27 Los números 8. Potencias de exponente fraccionario. Radicales 8.2. Potencia de exponente fraccionario 1 Cuando se tienen distintas operaciones combinadas, hay que seguir un orden para efectuarlas: 1º Corchetes y paréntesis. 2º Potencias y raíces. 3º Multiplicaciones y divisiones. 4º Sumas y restas. 5º Si las operaciones están en el mismo nivel, se empieza por la izquierda. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

28 Los números 9. Notación científica 9.1. Operaciones en notación científica 1 Un número escrito en notación científica está formado por el producto de: 1.Un número decimal comprendido entre 1 y 10 2.Una potencia de 10 con exponente un número entero Para realizar operaciones con expresiones escritas en notación científica utilizamos las propiedades de las potencias de 10 con exponente entero. NOTACIÓN CIENTÍFICA Y OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA Ejemplos: notación científica

29 Distancia (km)100200300…x Consumo (L)4 812… 25 … Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente de las cantidades correspondientes es constante. A este cociente se le llama constante de proporcionalidad directa. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Ejemplo: proporcionalidad directa El consumo de un coche es de 4 L de gasolina a los 100 km Los números 10. Proporcionalidad directa e inversa. Reglas de tres 10.1. Proporcionalidad directa y regla de tres 1

30 Ejemplo: proporcionalidad inversa Para construir un edificio se necesitan 10 obreros trabajando 200 días Días (d)20050… Obreros (ob)10 40…x 2 000 … Los números 10. Proporcionalidad directa e inversa. Reglas de tres 10.2. Proporcionalidad inversa y regla de tres 1 Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de las cantidades correspondientes es constante. A este cociente se le llama constante de proporcionalidad inversa. PROPORCIONALIDAD INVERSA

31 Los números 11. Porcentajes en la vida diaria y en la economía 11.1. Aumentos porcentuales: el índice de precios de consumo 1 Para calcular un aumento porcentual de un r % sobre una cantidad C basta multiplicar AUMENTO PORCENTUAL Ejemplo: índice de precios de consumo Por una vivienda de alquiler se están pagando 430 € al mes, y la renta de alquiler se revisa según la variación del IPC. En agosto el IPC fue del 2,6 %. ¿Cuál será la nueva renta a pagar después de la revisión?

32 Los números 11. Porcentajes en la vida diaria y en la economía 11.2. Disminuciones porcentuales: el impuesto del IRPF 1 Para calcular una disminución porcentual de un r % sobre una cantidad C basta multiplicar DISMINUCIÓN PORCENTUAL Ejemplo: impuesto del IRPF Un trabajador cobra anualmente 23 000 € en 12 pagas, pero al hacer la declaración de la renta Hacienda le retiene un 19 % de IRPF. ¿Cuánto cobra en realidad cada mes?

33 Los números 12. Aplicaciones de los números en la resolución de problemas de la vida cotidiana 12.1. Porcentajes encadenados 1 Consiste en aplicar aumentos y disminuciones porcentuales de forma consecutiva. PORCENTAJES ENCADENADOS Ejemplo: descuento y pago del IVA El precio de una bicicleta es de 325 €. En rebajas tiene un descuento del 35 %, pero después hay que pagar un IVA del 21 %. ¿Cuánto cuesta finalmente?

34 Los números 12. Aplicaciones de los números en la resolución de problemas de la vida cotidiana 12.2. El interés simple 1 Interés: precio que se paga o se cobra por usar o ceder un capital. Interés simple I: beneficio que proporciona una cantidad de dinero, denominada capital, C, depositada en un banco a lo largo de un tiempo, t, expresado en años, a un tipo de interés del r % al año. INTERÉS SIMPLE Ejemplo: interés simple Un banco ofrece un interés anual del 2,75 % para depósitos superiores a 12 000 €. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de un año?

35 Los números 12. Aplicaciones de los números en la resolución de problemas de la vida cotidiana 12.3. El interés compuesto 1 Interés compuesto: el interés acumulado durante el periodo de capitalización se suma de forma sucesiva al dinero depositado. Si llamamos C al capital depositado, i al rédito y n al número de años que hacemos el depósito, el capital obtenido al final del año n vendrá dado por INTERÉS COMPUESTO Ejemplo: comparación interés simple y compuesto Comparar un rédito del 5 % a interés simple y a interés compuesto para 10 000 € a 4 años.