Análisis Combinatorio Se considera que en Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre.

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2 Análisis Combinatorio

3 Se considera que en Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían asimismo los principios para determinar el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión entre combinatoria y probabilidad. B. Pascal. Matemático, físico y astrónomo francés. Fue un niño prodigio, en sus primeros trabajos realizó importantes contribuciones para la invención y construcción de una calculadora mecánica, además de estudios de teoría de probabilidad, e investigaciones sobre los fluidos y contribuyó a la aclaración de conceptos tales como presión y vacío. Fue un matemático de primer orden y sus resultados, principalmente en física causaron grandes discusiones antes de ser generalmente aceptados. En el año 1654 tras una profunda experiencia religiosa, Pascal sufrió una "segunda conversión". Abandonó las matemáticas y la física para dedicarse a la filosofía y a la teología Entre 1658 y 1659 escribió sobre la cicloide y su uso en el cálculo del volumen de los sólidos. Pascal tuvo una salud muy endeble a lo largo de toda su vida, y su muerte acaeció dos meses después de haber cumplido 39 años de edad. Blaise Pascal (1623 - 1662)

4 Trabajo Practico Nº 4 Análisis Combinatorio 1) Con las letras de la palabra MESA, forme todas las palabras posibles con o sin sentido sin repetir letras, calculando previamente su número. 2) ¿ De cuántas maneras distintas pueden salir alineados al campo de juego, los jugadores titulares de un equipo de fútbol ?. De cuántas maneras distintas pueden hacerlo si el arquero debe ocupar siempre la primera posición ?. 3) Un grupo musical va a grabar un compact que contiene 7 temas ; ¿ De cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ? Si el compact requiere que dos temas en particular no se escuchen en forma consecutiva, ¿ de cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ?

5 4) Para confeccionar un examen, se dispone de 3 problemas de Geometría, 4 de Combinatoria y 2 de Algebra. ¿ De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva ? 6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ?. 5) Un señor olvidó la combinación del candado que cierra su maletín y que consiste en cinco ruedas contiguas con los dígitos de 1 a 6 cada rueda. En el peor de los casos, ¿ cuántos intentos tendrá que hacer antes de poder abrirlo ? 7) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5. ¿ Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse ?. ¿ Cuántos son pares ?. ¿ Cuántos terminan en 32 ?. Cuántos son divisibles por 5 ?.

6 8) Con 22 consonantes y 5 vocales : a) ¿ Cuántas palabras distintas con o sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras) se pueden formar ? b) ¿ En cuántas de las palabras del ítem a) la letra central es una vocal ? c) ¿ Cuántas de las palabras del ítem a) se forman con 3 consonantes y 2 vocales ? 9) En un curso de 42 estudiantes de Lic. en Sistemas, se desea elegir 3 alumnos para formar una Comisión. a ) De cuántas maneras se puede elegir si tienen iguales atribuciones ?. b) ¿ De cuántas maneras se puede elegir si tienen diferentes atribuciones ?. 10) Se tienen 10 puntos a, b, c,...., j ; pertenecientes a un plano , de los cuales no hay 3 alineados. a) ¿ Cuántas rectas determinan esos puntos ? b) ¿ Cuántas de esas rectas pasan por el punto a ? c) ¿ Cuántos triángulos determinan esos puntos ? d) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un vértice en a ? e) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un lado en ab ?

7 11) Entre 12 hombres y 8 mujeres debe elegirse una delegación de 5 personas. a)¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación ? b) ¿ De cuántas maneras se puede formar si dos personas determinadas deben estar siempre la delegación ? c) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber 3 hombres y 2 mujeres ? d)¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y 1 mujer ? e) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación no pueden estar juntas 2 personas enemistadas ? f) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos o ninguno en la delegación ? 12) Todas las personas que asisten a una fiesta se estrechan la mano. Si se estrecharon la mano en 45 oportunidades ; ¿ cuántas personas asistieron a dicha reunión ?.

8 13) Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse con las letras de las palabras : INDEPENDENCIA ; CATAMARCA ; MONOMIO. (usando todas las letras en cada caso) 15) Con los dígitos 2, 3 y 9 : ¿ Cuántos números mayores que 100 se forman ? ¿ Cuántos son pares ? 16) Determine n  N si existe, tal que : 14) Determine el número de trayectorias (escalonadas) que pueden recorrerse en una cuadrícula de 7 unidades horizontales y 5 unidades verticales para ir del punto A (ubicado en el extremo inferior izquierdo) al punto B (ubicado en el extremo superior derecho); cada trayectoria está formada por segmentos individuales que van de unidad en unidad hacia la derecha o hacia arriba

9 17) Probar que: 18) Probar que: 19) Desarrolle las siguientes potencias aplicando Binomio de Newton :

10 20) Hallar si existe : a) el undécimo término de sin efectuar el desarrollo. b) el ó los términos centrales de c) el coeficiente de x 32 en d) el término de grado 7 en e) el término que contiene a -35 en 21) En el desarrollo ordenado del binomio, los términos T 10 y T 15 son equidistantes de los extremos. Hallar n.

11 Permutaciones Si tres alumnos deben exponer en una clase especial, y desean analizar todas las posibilidades del orden de exposición que tienen.... Es simple advertir que una alternativa es..... Primero expone Pablo (que suele ser muy convincente) Pablo luego expone Matías, (que sabe mucho, pero no convence) Matías y por último Julio, (que es algo desordenado) Julio Una alternativa diferente será si Julio toma el lugar de Matías y éste el de Julio PabloMatíasJulio Otra posibilidad es que Julio tome el lugar de Pablo y éste el de Julio PabloMatíasJulio 4444 1-2-3 1-2 3333 4444

12 Ahora si Pablo y Matías cambian sus posiciones, tenemos otra alternativa Pablo MatíasJulio Luego es Matías el que toma el primer turno PabloMatías Julio Y finalmente, puede haber nuevamente un intercambio entre el segundo y el tercer expositor PabloMatíasJulio Todo lo expuesto podemos sintetizar en que para tres personas existen tres lugares (ordenes de exposición); así, si queremos saber cuántos son los órdenes en que pueden exponer estas tres personas podemos buscar...... la cantidad de funciones inyectivas posibles, entre el conjunto de personas y los lugares que pueden ocupar Que se encuentra con la expresión P n = n! 1-2 3333 4444 4444 1-2-3

13 La función factorial n! se define: de N 0  N es decir: n! es igual al producto de los n primeros números naturales n! = n  (n-1)  (n-2)  (n-3)...... 3  2  1 Así, para hallar la cantidad de posibilidades de colocar tres elementos (alumnos) en tres ubicaciones diferentes (orden de exposición) resolvemos... P 3 = 3 ! = 3  2  1 = 6 123456 Pablo Julio Matías JulioPabloMatíasJulioPablo JulioMatías Pablo Julio Los ordenamientos posibles son 1-2 3333 4444 4444 1-2-3

14 1) Calculamos previamente el número de palabras con o sin sentido que se forman con las letras de la palabra MESA, sin repetir letras Se trata de ordenar cuatro elementos (letras) en cuatro posiciones diferentes P 4 = 4! = 4  3  2  1 = 24 MESAEMSASMEAAMES MEASEMASSMAEAMSE MAESESMASEMAAEMS MASEESAMSEAMAESM MSEAEAMSSAMEASEM MSAEEASMSAEMASME 2) Si son jugadores de un equipo de fútbol son once jugadores para once posiciones P 11 = 11! = 11  10  9....... 3  2  1 = 39.916.800 si el arquero ocupa siempre la primera posición 23456 7 891011 se pueden cambiar los lugares del 2 al 11 (entre 10 jugadores) P 10 = 10 ! = 10  9  8....... 3  2  1 = 3.628.800 1A

15 3) Se deben ordenar 7 temas para un compact P 7 = 7 ! = 7  6  5....... 3  2  1 = 5.040 si dos temas no se deben escuchar en forma consecutiva... vamos a buscar el número de situaciones en que aparecen dos temas en particular (por ejemplo el 2 y el 3) juntos Un ordenamiento será : 1234567 si 2 y 3 deben estar juntos otro ordenamiento puede ser... 1234567 observando convenientemente advertimos que estamos ordenando 6 temas en 6 lugares (el 2 y 3 consideramos un solo tema) P 6 = 6 ! = 720 Y debemos considerar también cuando 1324567 Aparece primero el 3 y luego el 2 (los temas aparecen juntos) nuevamente... P 6 = 6 ! = 720 entonces dos temas determinados no aparecen juntos en P 7 – 2 P 6 = 7 ! – 2  6 ! = 5.040 – 2  720 = 3.600 el total de ordenamientos posibles es

16 4) Cada asignatura puede ocupar una posición, las posibilidades son GAC P 3 = 3 ! = 6 Pero el orden de los problemas de cada materia también pueden cambiarse G 123123 132132 213213 231231 312312 321321 C A GCA AGC ACG CAG CG 12341234 12431243 13241324 13421342 14231423 14321432 21342134 21432143 23142314 23412341 24132413 24312431 31243124 31423142 32143214 32413241 34123412 34213421 41234123 41324132 42134213 42314231 43124312 43214321 A 1212 2121 entonces la cantidad total de posibles temas es : P 3  ( P 3  P 4  P 2 ) = 3 !  ( 3!  4!  2! ) = 6  6  24  2 = 1.728

17 5) Supongamos que el maletín tenga una sola rueda de 6 dígitos Las posibilidades serán que se abra con 1, 2, 3, 4, 5, ó 6 Lo que significa que en el peor de los casos se deberá hacer 6 intentos Pero si el maletín tuviera 2 ruedas de 6 dígitos le corresponden 6 dígitos de la segunda rueda 2 1 2 3 4 5 6 habrán entonces 6 nuevas alternativas por cada dígito de la primera rueda Las posibilidades con 2 ruedas son 6 x 6 = 36 Pero el maletín tiene 3 ruedas, entonces se agregan 6 alternativas más a cada una de las 36 posibilidades anteriores Para tres ruedas son 6 x 6 x 6 = 216 Generalizando, podemos plantear que para n ruedas el número de intentos será : 6 n a cada dígito de la primera rueda En este caso, con n = 5 6 5 = 7.776 13 45 6

18 Permutaciones Circulares Si debo ordenar cuatro amigos en fila sabemos que la cantidad de alternativas está dada por la permutación de 4 elementos P 4 = 4! = 4  3  2  1 = 24 formas abcd bcda cdab dabc Entre las que se encuentran las siguientes... y son formas diferentes Pero, si los amigos estuvieran alrededor de un círculo en vez de estar alineados... d c b a a d c b b a d c c b a d Lo que antes eran 4 configuraciones diferentes, ahora no se pueden diferenciar En todos los casos a la izquierda de a está d y a la derecha b... Las cuatro ordenaciones deben ser consideradas la misma ordenación La permutación circular de m elementos se resuelve...

19 6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ?. Puede que Ud. esté pensando en la permutación de cuatro elementos.... y esto sería correcto si los amigos juegan al truco en fila india ABCD Pero todos sabemos que al truco se juega en pareja y alrededor de una mesa A B C D donde... es lo mismo que... C D B A A y C siguen siendo compañeros B a la izquierda y D a la derecha de A Se trata entonces de la permutación circular de 4 elementos que se resuelve...

20 VARIACION ó ARREGLO Si queremos formar números de dos cifras con los dígitos 1, 2 y 3 Resulta que debemos tomar dos de los elementos (dígitos) y formar un número de dos cifras Por ejemplo, si tomamos los dígitos 1 y 2 formamos el 12 El mismo 12, con las cifras invertidas forma otro número de dos cifras 21 también 13 y 31....... finalmente 23 y 32 Esta operación viene dada por la expresión: donde m = 3 y n = 2 solo cambiar el orden observe que con solo cambiar el orden de los dígitos, se considera un caso diferente; aunque no se haya cambiado alguno de los dígitos 3 : cantidad total de elementos que disponemos 2 : cantidad de elementos que tomamos para formar cada arreglo Se lee “arreglo de m elementos tomados de a n” 7777 8-9-10 8 a 8 a 9999 7777 10 8 b 8 b

21 7) Si disponemos de los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5 para formar números de tres cifras i) debemos resolver Si los números de tres cifras buscados deben ser pares, la última cifra debe ser un número par par cifra 2 cifra 1 Asignamos el lugar de la cifra par al 2 2 cifra 2 cifra 1 y quedan 2 lugares para cuatro dígitos posibles pero en vez del 2, el último dígito pudo ser el 4 4 cifra 2 cifra 1 ii) Los números pares son: iii) Si los números deben terminar en 32 2 3 cifra iv) Si debe ser múltiplo de 5, debe terminar en 5 5 cifra 2 cifra 1

22 8 a) Con 22 consonantes y 5 vocales se pueden formar palabras con ó sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras) Por ejemplo la palabra L UCHA Si se cambia el orden de sus letras resulta otra palabra distinta L UCHA sin haber cambiado ninguna de sus letras (elementos) Debe aplicarse VARIACIÓN O ARREGLO Dispongo de 22 c + 5 v para formar las palabras, 2 22 27 elementos en total A = 27 Para formar palabras de 5 55 5 letras (elementos) 5 Esto se puede resolver directamente con calculadora ó simplificando previamente 9.687.600 palabras 8 b 8 b

23 8 b) Si deseo saber en cuántas palabras de 5 letras (que no se repiten) formadas por 22 consonantes y 5 vocales, la letra central es una vocal Podemos pensar que la palabra será: Si el lugar central debe ocupar una vocal (por ejemplo la A) A Quedan 4 lugares para completar con 22 consonantes y 4 vocales (porque una vocal ya fue ubicada en el centro) La operación que resuelve esto es: A = 26 4 358.800 palabras Pero, el lugar central puede ser ocupado por cinco vocales distintas Entonces a Lo multiplicamos por 5 porque la letra central puede ser A E I O U 5 x 358.800 = 1 11 1.794.000 palabras

24 COMBINACION Si tenemos una situación donde nos interesa saber las alternativas posibles cuando es necesario que cambie un elemento al menos (no nos interesa el orden en que se presenten los elementos) combinación, Tenemos una combinación, que se resuelve con la expresión Si tenemos Jamón, queso y lechuga y queremos saber cuántos tipos de sandwich podemos preparar usando dos de los alimentos mencionados un sandwich hecho de jamón y queso será lo mismo que uno hecho de queso y jamón Una vez elegidos dos alimentos cualesquiera, es necesario cambiar uno de ellos al menos para cambiar el sabor del sandwich Este es un caso de c cc combinación, que se resuelve: 3 11-12 10 13 11 a 11 a 12 c 12 c 10 13 11 b-c 11 b-c 11 d-e 11 d-e 12 a-b 12 a-b 12 d 12 d 12 e 12 e 12 f 12 f

25 9) De 42 estudiantes; debo tomar 3; pero no hay diferencia de posiciones ni de “cargos” entre los tres, en la comisión son todos “iguales” Es un caso de c cc combinación 20 14 11.480 formas Que tienen iguales atribuciones significa que todos pueden cumplir el mismo rol Pero... Juan prepara las diapositivas María dá la charla de introducción Pablo expone Será diferente si... María prepara las diapositivas Pablo dá la charla de introducción Juan expone; Se aprecia que: aunque los elementos seleccionados (Juan, Pablo y María) sean los mismos, los equipos 1 y 2 serán diferentes, por el rol que desempeñan sus integrantes. Ahora nos interesa el orden de los elementos esto se resuelve con v vv variación ó arreglo = 68.880 formas Arreglo Combinación

26 10) Si tenemos 10 puntos en un plano de los cuales no hay 3 alineados Sabemos que dos puntos cualesquiera determinan una recta 5 45 Pero la recta es la misma que la rectaes la misma que Es necesario que un elemento (punto) sea diferente para que se trate de una recta diferente La cantidad de elementos que disponemos para formar rectas son 10 puntos son necesarios 2 puntos para unirlos (sin importar el orden ) y así formar la recta entonces... por ejemplo y así sucesivamente... 11 b-c 11 b-c 11 d-e 11 d-e

27 10 b) Para saber cuántas de las 45 rectas pasan por el punto a, pensemos que disponemos de 10 puntos b, c; d;... h; i; j En principio tengo 10 elementos para 2 lugares –recta- sin importar el orden Si uno de los lugares ocupa el punto a a Me quedan ahora 9 elementos para el lugar que resta 10 c) tres puntos no alineados pueden formar un triángulo Podemos distinguir entre otros, el triángulo acf;  el triángulo cfi  ; etc. Entonces corresponderá tomar los 10 puntos de tres en tres recordando que cfi  = fci  = icf  etc. 3 2 5 120 triángulos 9 rectas 11 d-e 11 d-e

28 10 d) Para saber cuántos triángulos tienen vértice en a : En principio tengo 10 elementos (puntos) para 3 lugares (vértices del triángulo) Si el elemento a debe estar siempre ocupando un lugar a porque es un vértice de cualquiera de los triángulos que busco Me quedan 9 elementos (puntos) para ubicar en las dos posiciones restantes que son 2 (vértices) 4 36 triángulos tienen vértice en a e) Si los triángulos deben tener un lado (ab) común, significa que de los 10 puntos dos puntos ya están ubicados a b Me quedan entonces 8 elementos (puntos) para ocupar un lugar (vértice) 8 triángulos

29 11 a) Si hay 12 hombres y 8 mujeres para formar la delegación (tengo en total 20 personas) y debemos elegir 5 personas (sin distribuir cargos ni considerar el orden) combinación... Las cantidad de delegaciones posibles estará dada por la combinación... de 20 personas (total de elementos) tomadas de a 5 (cantidad de miembros de cada delegación posible) 3 15.504 maneras distintas 11 b) Si dos personas deben estar siempre en la misma delegación de los 5 lugares que dispongo dos ya están ocupados supongamos... persona a a persona b b La operación es la misma... pero del total de 20 personas descuento 2 que ya están ubicadas porque deben estar siempre juntas y me quedan 3 lugares para las 18 personas restantes 3 816 formas si dos personas deben estar juntas 12 c 12 c 12 d 12 d 12 e 12 e 12 f 12 f

30 11 c) Si en la delegación deben haber tres hombres y dos mujeres Primero busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con los 12 hombres disponibles tomados de a 3 2 220 delegaciones de tres hombres Y busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con las 8 mujeres disponibles tomadas de a 2 4 = 28 delegaciones de dos mujeres Para hallar el total de delegaciones posibles de tres hombres y dos mujeres, planteamos los siguiente.... para cada delegación de 3 hombres hay 28 delegaciones posibles de 2 mujeres como tengo 220 delegaciones posibles de 3 hombres... las delegaciones de al menos tres hombres y dos mujeres son... 220  28 = 6.160 formas de componer la delegación solicitada 12 d 12 d 12 e 12 e 12 f 12 f

31 11 d) si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y una mujer, analizamos las siguientes alternativas... De los cinco lugares disponibles h h Tres están ocupados por hombres h y quedan dos lugares para mujeres m m la cantidad de delegaciones posibles con esta configuración ya hemos visto en el punto anterior 220  28 = 6.160 Pero también puede suceder que... h h h m De los cinco lugares disponibles cuarto están ocupados por hombres y solo uno por mujer h lo que resulta... 5 495  8 = 3.960 No hay otra alternativa que verifique la condición, porque si hay cinco hombres, no hay mujeres; y si hay tres o mas mujeres, queda lugar para dos hombres o menos El resultado es la suma de las dos posibilidades analizadas 10.120 formas 12 e 12 e 12 f 12 f

32 11 e) si dos personas enemistadas no deben estar juntas en la delegación Supongamos que los enemistados son a y b La cantidad de delegaciones en las que a y b están juntos son.. a b 3 816 Conociendo la cantidad total de delegaciones que se pueden formar (de 12a) y la cantidad de delegaciones en las que dos personas están juntas Las delegaciones en las que esas dos personas no están juntas, será... 15.504 – 816 =14.688 formas Otra manera de calcular lo mismo es mediante la operación 8.568 + 3.060 + 3.060 = 14.688 formas justifique Ud. el procedimiento... 12 f 12 f

33 11 f) Si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos ó ninguno... Tenemos dos alternativas: la primera es que estén juntos Así de 20 personas (12 H y 8 M) quedan 18 posibles (porque 2 ya están ubicados) para 3 lugares de los 5 iniciales 3 816 La otra alternativa es que no estén ninguno de los dos En esa situación tenemos 18 personas para cubrir los cinco lugares, porque no están ninguno de los dos 8.568 3 4 3 El resultado está dado por la suma de las cantidades de ambas posibilidades 816 + 8.568 = 9.384 formas

34 12) Todas las personas se estrechan la mano una vez Supongamos que sean tres personas: A, B y C A B A C B C se produjeron tres saludos observe Ud. Que para tener un “saludo diferente”, necesitamos que se salude al menos una persona diferente Entonces se trata de una combinación... Pero como no sabemos de cuántas personas, consideramos esa cantidad igual a m y como el saludo se establece entre dos personas, a las m personas las tomamos de 2 en 2 En total fueron 45 saludos resolvemos... buscamos m aplicando la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado

35 10 - 9 m 1 = 10 m 2 = - 9 Por ser – 9 un número negativo, adoptamos como solución única m = 10 Verificamos... 5 45

36 Permutaciones con repetición Si tenemos solo dos símbolos ( 0 y 1 ) Podremos emitir las señales 0 1 1 0 si los símbolos no pueden repetirse La cantidad de señales posibles se calcula mediante si no debemos repetir símbolos.. Pero si podemos repetir símbolos; con dos ceros y dos unos 0 0 1 10 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 El conjunto de símbolos será { 0, 0, 1, 1 } y las señales posibles... La cantidad de señales posibles cuando hay símbolos repetidos se calcula con Permutaciones con repetición Permutación de cuatro elementos, con dos elementos que se repiten dos veces cada uno Con dos elementos que se repiten dos veces cada uno ( 0 y 1 ) 2 para emitir señales de 2 símbolos diferentes 1 0 1 0 1 1 0 0 6 Generalizando

37 Sabe Ud. que el procesador de una computadora trabaja básicamente con elementos biestables llamados bit; y que 8 bit conforman 1 byte;... y 1.000 byte son 1 Kb, etc. Si 1 byte tiene 8 bit, significa que puede almacenar 8 símbolos (que pueden ser ceros ó unos) ese byte con sus 8 símbolos emitirá señales como.. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 etc. etc... Supongamos un byte en el que hay 5 ceros y 3 unos ¿ Cuántas señales diferentes podrá emitir ese byte ? En este caso, el conjunto de elementos es { 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 } conjunto de 8 elementos, de los cuales uno se repite 5 veces; y el otro se repite 3 veces Señales diferentes se pueden emitir desde 1 byte con 5 ceros y 3 unos y la operación que resuelve...

38 13 i) La palabra I N D E P E N D E N C I A tiene 13 letras De las cuales I se repite 2 veces N se repite 3 veces D se repite 2 veces E se repite 3 veces Las demás letras de la palabra, no se repiten, aparecen solo una vez 43.243.200 palabras i i ) La palabra C A T A M A R C A tiene 9 letrasDe las cuales C se repite 2 veces A se repite 4 veces 7.560 palabras 4 i i i ) La palabra M O N O M I O tiene 7 letrasDe las cuales M se repite 2 veces O se repite 3 veces 420 palabras 3

39 14) En una cuadrícula de 7 unidades horizontales y 5 unidades verticales para ir del punto A al punto B; cada trayectoria está formada por segmentos individuales que van de unidad en unidad hacia la derecha o hacia arriba Si el desplazamiento es hacia la derecha, vamos a identificar este movimiento con la letra D Si el desplazamiento es hacia arriba, vamos a identificar este movimiento con la letra A Para ir del punto (2,1) completamos un camino posible, que se identifica con una cadena de caracteres D o A, así tenemos: DA D AD D A D A Se conformó una cadena de 9 letras para ir de (2,1) a B por un camino determinado; si quisiéramos hacer el mismo desplazamiento por caminos diferentes, dichos caminos surgen de permutar las letras de la cadena obtenida Así para ir del punto A al punto B tenemos (siempre) 7 letras D y 5 letras A por cualquier camino; es decir que son cadenas de 12 letras con repetición

40 Arreglo con Repetición Dado un conjunto de dos elementos {a, b} puedo formar cadenas de tres elementos donde al menos un elemento se repite a a a a a b a b a a b b b a a b b a b a b b b b Se trata de un Arreglo de 2 elementos, tomados de tres en tres, con repetición Dado un conjunto de tres elementos {a, b, c} también puedo formar cadenas de dos elementos incluyendo aquellas donde los elementos se repiten a a a b b b b a c ac cb ca c Se trata de un Arreglo de 3 elementos, tomados de dos en dos, con repetición c b Generalizando, Arreglo de m elementos tomados de n en n, con repetición; se calcula con...

41 Ahora podemos volver sobre el problema del total de información que se almacena en 1 byte... un bit entrega señales bi-estables con los elementos son { 0, 1 } Pero, en 1 byte hay 8 bit, es decir que las cadenas que se forman en un byte están conformadas por 8 señales, que pueden ser ceros ó unos Para calcular cuántas señales diferentes puedo almacenar en 1 byte, debo plantear un Arreglo de dos elementos tomados de ocho en ocho con repetición señales diferentes

42 15) Con los dígitos 2, 3 y 9 se puede formar números De los cuales serán mayores que 100 solo aquellos números que tengan tres cifras Son pares los números terminados en cifra par en este caso, la única cifra par es el 2 2 quedan entonces dos lugares, pero los elementos de que disponemos para esos dos lugares siguen siendo 3 recuerde que hay repetición de elementos; y los resolvemos con... 2 efectivamente, esos números son... 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 9 3 23 3 3 9 2 2 2 9 29 3 9 9

43 desarrollamos las expresiones factoriales hasta que queden en condiciones de poder simplificarse Haciendo pasajes de divisores como factores y viceversa simplificando los factores que son idénticos en el numerador y el denominador se simplifica 4! ; se resuelve el producto de los binomios haciendo pasajes de términos finalmente ó bien 16) 16 b 16 b 16 c-d 16 c-d 16 e 16 e

44 Resolvemos ahora como ecuación de segundo grado a x 2 + b x + c = 0 con la fórmula si a = 1 b = -12 y c = 20 son soluciones de la ecuación adoptamos como solución de n = 10 porque n = 2 es una solución absurda, ya que no es posible hallar 16 b 16 b 16 c-d 16 c-d 16 e 16 e

45 Verificamos la solución n = 10 Multiplicamos ambos miembros por y simplificamos queda verificado el resultado 16 b 16 b 16 c-d 16 c-d 16 e 16 e

46 Multiplicamos por 2 ambos miembros finalmente 16 c-d 16 c-d 16 e 16 e Ahora multiplicamos ambos miembros por (n – 3 )! simplificamos y obtenemos que se puede escribir Dividimos ambos miembros por (n - 1)! y simplificamos

47 Verificamos la solución n = 4 16 c-d 16 c-d 16 e 16 e queda verificado el resultado

48 desarrollamos las factoriales y resolvemos según convenga hacemos pasajes factores como divisores y viceversa y simplificamos entoncesluego n = 7 resolvemos desarrollamos convenientemente las factoriales y simplificamos 16 e 16 e te queda la tarea de verificar el resultado

49 Quedamos con Sacamos factor común Resolvemos el corchete Y finalmente En la ecuación de 2º grado a = -1b = 13c = -30 efectuamos el producto del 1 er miembro Para resolver la ecuación de 2º grado previamente multiplicamos todo por (6) simplificamos Las soluciones posibles son n = 3  n = 10 16 e 16 e

50 Verificamos para n = 3 2 2 Para n = 10 4 6 queda verificado el resultado n = 3 queda verificado el resultado n = 10 simplificamos 16 e 16 e

51 resolvemos... desarrollamos los factoriales simplificamos 2 y operamos.... finalmente tenemos que es

52 Resolvemos como una ecuación de 2º grado Dondea = 2b = 5c= -52 Descartamos n 2 como resultado porque el resultado debe ser entero y verificamos n = 4 3 2 queda verificado el resultado n = 4

53 17) Probar que: Presentamos la expresión escribiendo los números combinatorios respectivos… pero: Se verifica la identidad

54 18) Probar que: Presentamos la expresión escribiendo los números combinatorios respectivos… efectuamos operaciones Simplificamos las expresiones idénticas de ambos miembros Así queda probada la identidad

55 Binomio de Newton Sabemos que el cuadrado de un binomio ( a + b ) 2 se desarrolla a 2 + 2 a b + b 2 y el cubo de un binomio( a + b ) 3 se desarrollaa 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 generalizando( a + b ) n 0 121 n - n El desarrollo dela potencia de un binomio se compone de una sucesión de sumas (sumatoria) donde cada término está compuesto por un número combinatorio que multiplica al primer término del binomio elevado a una potencia y multiplica también al segundo término del binomio elevado a otra potencia donde el numerador de los números combinatorios se mantiene constante mientras el denominador aumenta desde 0 hasta n el exponente del primer término en cada sumando se forma con la diferencia entre el numerador y denominador del número combinatorio (va de n a 0) el exponente del segundo término en cada sumando se forma con el denominador del número combinatorio (va de 0 a n) 17 a 17 a 17 b 17 b

56 El desarrollo de la potencia de un binomio se escribe 11 n n Los números combinatorios equidistantes en el desarrollo del binomio de Newton son iguales 17 a 17 a 17 b 17 b

57 donde a = x ; b = -3 ; n = 5 nos conviene resolver los números combinatorios como cálculo auxiliar 19) 19 b 19 b

58 reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión observe que los números combinatorios equidistantes que conforman el desarrollo de la potencia del binomio son iguales 17 b 17 b

59 nos conviene resolver los números combinatorios como cálculo auxiliar donde a = x 3 ; b = 1/x ; n = 4

60 reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión 8 4 1 1

61 Término k-ésimo Si el desarrollo de la potencia de un binomio es Vemos que en el número combinatorio, para el primer término k = 0; para el segundo término k = 1; para el tercer término k = 2 y así sucesivamente... El desarrollo de la potencia n del binomio siempre tiene n + 1 términos así Si n (exponente) es par, n + 1 (cantidad de términos) es impar entonces el desarrollo tendrá un término central Si n (exponente) es impar, n + 1 (cantidad de términos) es par entonces el desarrollo tendrá dos términos centrales 18 c-d 18 c-d 18 e 18 e 18 a-b 18 a-b

62 20) a) Para hallar el undécimo término sin efectuar el desarrollo de Aplicamos la fórmula donde a = 2 x 2 ; b = - x ; n = 15 y k = 11 Tenga presente que (–x) 10 = [(-1) 10 x 10 ] b) Calcular el o los términos centrales de Si n = 9 el desarrollo tiene 10 términos, entonces hay 2 términos centrales hacemos términos centrales son el 5º y 6º comprobamos 20 c-d 20 c-d 20 e 20 e

63 Hallamos entonces el 5º y el 6º término para donde a = 3 x b = -2 y n = 9 y k = 5 ahora a = 3 x b = -2 y n = 9 y k = 6

64 20 c) El coeficiente de x 32 en el desarrollo de Debe hallarse teniendo en cuenta que el término que contenga x 32 (si existe) debe ser de la forma aplicando la fórmula del término k-ésimo Resolvemos en el término k-ésimo solamente los factores que contienen x Llegamos a una expresión que contiene una potencia de x, en función de k ; como nosotros queremos saber cuál es el término (k) que contiene x 32 ; igualamos el exponente de x a 32 y despejamos k 20 d 20 d 20 e 20 e

65 20 c) Para verificar hallamos el 5º término del desarrollo de 20 d) Para hallar el término de grado 7 en Usamos el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior entonces, trabajando con los exponentes NO TIENE SOLUCION El problema NO TIENE SOLUCION porque k debe ser un número natural 20 e 20 e

66 20 e) Para hallar el término que contiene a -35 en y estudiamos en particular los factores que contienen a planteamos... La potencia del denominador pasa al numerador con signo cambiado operamos los exponentes del factor a (producto de potencias de igual base) igualamos el factor a elevado a la potencia que buscamos ( -35 ) igualamos los exponentes y despejamos k El término que contiene a -35 es el 23º Recuerde que k debe ser un número natural menor ó igual que el exponente del binomio 23 < 25 B.C.

67 21) Si los términos T 10 y T 15 son equidistantes de los extremos en el desarrollo de (x + a) n El desarrollo tiene n + 1 términos T 10 hallar n es mucho mas simple de lo que parece y si T 10 y T 15 son equidistantes de los extremos Antes que T 10 hay T 9 T 8 T 2 T 1 ++++ ++... 9 términosdespués de T 15... + T 15 también deben haber 9 términos T 24 T 23 T 17 T 16 ++++...+ podíamos haber planteado: si T 10 y T 15 son equidistantes de los extremos 10 – 1 = 9 9 términos a la izquierda de T 10 15 + 9 = 24el último término es T 24 el desarrollo de cualquier binomio tiene n + 1 términos n + 1 = 24 entonces... n = 23 y para finalizar... te presento alguien que e ee en algún momento puede darte una ayuda importante... Serás lo que debas ser, sino serás nada. Gral. José de San Martín

68 La pascalina fue una de las primeras calculadoras mecánicas, funcionaba a base de ruedas y engranajes. Inventada por B. Pascal en 1645. Se fabricaron varias versiones y Pascal en persona construyó al menos cincuenta ejemplares. Pascal diseñó la pascalina para ayudar a su padre, que era contador en la Hacienda francesa, estaba destinada a solucionar problemas de aritmética comercial. Pascalina que se conserva en el Museo de Artes y Oficios de París Comenzó a trabajar en su calculadora en 1642, cuando tenía sólo 19 años de edad, y recibió un Privilegio Real en 1649, que le concedió los derechos exclusivos de hacer y vender calculadoras en Francia. La pascalina conoció un período de gloria en los años 1960, cuando en la compañía IBM se la usó de forma interna. En ese tiempo era el único dispositivo que permitía efectuar rápidamente cálculos en numeración hexadecimal, lo cual era necesario para depurar los programas. Se la construyó en variedades decimales y no-decimales, y algunas se conservan actualmente en museos. En 1672 el niño prodigio Gottfried W. Leibniz ideó un nuevo diseño, que realizaba suma, resta, multiplicación y división, no obstante, las máquinas calculadoras no fueron comercialmente viables hasta principios del siglo XIX.

69 Prefiero equivocarme creyendo en un Dios que no existe, que equivocarme no creyendo en un Dios que existe. Porque si después no hay nada, evidentemente nunca lo sabré, cuando me hunda en la nada eterna; pero si hay algo, si hay Alguien, tendré que dar cuenta de mi actitud de rechazo. B. Pascal La felicidad es un artículo maravilloso: cuanto más se da, más le queda a uno. B. Pascal. ¿Qué es el hombre dentro de la naturaleza?... Nada con respecto al infinito. Todo con respecto a la nada. Un intermedio entre la nada y el todo. B. Pascal