Conservación del momento angular Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Física José Luis Michinel.

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1 Conservación del momento angular Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Física José Luis Michinel

2 Cinemática y Dinámica Rotacional En 1 http

3 Contenido 1) Naturaleza vectorial de la rotación. 2) Momento de fuerza y momento angular. 3) Conservación del momento angular.

4 Enfoque del estudio Se enfoca este estudio: a) Al movimiento de rotación en sistemas en los que el eje de giro varía. b) De la naturaleza vectorial de las rotaciones. Particularmente a las propiedades vectoriales de la velocidad angular, del momento de una fuerza y del momento angular. Denis Ten Denis Ten

5 Naturaleza vectorial de la rotación Momento de fuerza o torque ω Sea la figura, un disco que gira en sentido contrario a la agujas del reloj, describimos ω como un vector de magnitud ω, en la dirección del eje de rotación y sentido definido por la regla de la mano derecha  = r x F  = r F senθ Fuerza aplicada en el borde de un disco

6 Momento angular Partícula de masa m ligada a un disco (de masa despreciable) que gira con velocidad ω, referido a un punto del eje de rotación que coincide con el disco vr Sea, figura 1, el movimiento de una partícula de masa m con velocidad v, en la posición r relativa al origen O. El momento lineal de la partícula es p=mv y tendremos que el momento angular L es : L= r x p  L= r x mv  L= r mv senθ k  L= mr v k  L= mr 2 ω k  L= mr 2 ω  L= Iω

7 Momento angular y momento de inercia ¿Qué ocurre si se refiere a un punto del eje de rotación que no coincide con el plano de rotación? L= r x p  L= r x mv  L= r mv senθ k θ ¿Qué ocurre si agregamos al sistema otra partícula, de igual masa, que mantenga simetría del sistema respecto eje de rotación que pasa por el cm del sistema de dos partículas? L= L 1 ’ + L 2 ’  L= Iω

8 Tres ejemplos de cálculo de L ¿Cuál es el momento angular de un carro de masa m=1200kg que se mueve en un círculo de radio R= 20m con velocidad v= 15m/s ? El círculo se halla en el plano x-y, centrado en el origen. L= r x p  L= rmvk  L=3,6 x 10 5 kg.m 2 /sk L ¿Cuál es el momento angular del carro anterior moviéndose con velocidad v= -15m/s a lo largo de la línea y=y o = 20m, paralelo al eje x en el plano x-y? L= r x pDonde: p = mv = -mv i r = x i + y o jL =( x i + y o j ) x (-mv i )  L = y o mvk )  L =3,6 x 10 5 kg.m 2 /s k )

9 Tres ejemplos de cálculo de L L= Iω ¿Cuál es el momento angular de un disco de radio R=20m y masa M= 1200 kg en el plano x-y, moviéndose con velocidad angular ω = 0,75 rad/s alrededor de su eje, en sentido antihorario visto desde un punto situado en la parte positiva del eje z?  L= Iωk  L =1,8 x 10 5 kg.m 2 /s k )

10 Momento angular y torque El caso de una partícula de masa M que se mueve (rota) con velocidad v en una posición r relativa al origen. Tiene un momento angular igual a: L= r x p Si se deriva respecto al tiempo dL dt d(r x p) dt = 0 dr dt  = x p + r x dp dt dL dt  = v x p + r x dp dt dL dt  = r x dp dt dL dt  = r x M dv dt dL dt  = r x Ma dL dt  = r x F dL dt  =  dL dt El caso de un sistema de partículas de masa M i que rotan con velocidad v i en posiciones r i relativa al origen. Tiene un momento angular igual a:  ∑ = ∑  i dL i dt  = ∑  i d(∑L i ) dt dL sist dt  =  neto ext  ∆L sist = ∫  neto ext dt

11 Conservación del Momento angular Si el momento externo (torque) que actúa sobre el sistema es cero, entonces: dL sist dt  = 0  L sist = constante

12 Ejemplos de Conservación del Momento Angular 5 niños montados en una rueda de parque, inicialmente girando a 20 rev/min, están en el borde a 1,5 m del centro. La rueda tiene un I= 130 kg.m 2. A una señal 4 de ellos se localizan en el centro de la rueda. ¿Cuál será la aceleración centrípeta (en unidades de g) sobre el otro niño?. La masa de cada niño es m= 60 kg.  L sist = constante  netoext = 0  L f = L i I f ω f = I i ω i ω f = I i ω i /I f ω f = ω i 5. mR 2 + I t mR 2 + 4mr 2 + I t 0 ω f = ω i 5. mR 2 + I t mR 2 + I t ω f = ω i 5 + I t / mR 2 1 + I t / mR 2  ω f = 6,36 rad/s  a cf = ω f 2 R  a cf = 60,67 m/s 2 =6,067g

13 Ejemplos de Conservación del Momento Angular Un niño de masa m= 25 kg corre con una velocidad de 2,5 m/s en dirección tangente al borde de una rueda de parque, de radio R= 2 m y I R = 500 kg.m 2 que está inicialmente parada. Salta sobre esta y la pone en movimiento. ¿Cuál es la velocidad angular final del sistema niño-rueda?. L f = L i ωf =ωf = R mv mR 2 + I R L i =R x p  L i =R mv L f = (I N + I R ) ω f  L f = (mr 2 + I R ) ω f R mv = (mR 2 + I R ) ω f  ω f = rad/s 2x25x2,5 25(2) 2 + 500  ω f = 0,208 rad/s R v ω

14 Movimiento orbital y de Espin Es siempre posible, y útil, dividir el momento angular total de un sistema alrededor de un punto arbitrario en dos momentos: Orbital y de Espin L sist = L orb + L espin Donde: L orb = r cm x Mv cm

15 Movimiento giroscópico dL =  dt  = D x Mg  = D Mg Para la rueda girando respecto a punto A a una velocidad angular ω s : A dL = D Mg dt Para que la rueda gire respecto a punto O debido a Mg: L = I s ω s dΦ = dL / L dΦ = D Mg dt / I s ω s = D Mg / I s ω s dΦdΦ dtdt ω p = D Mg / I s ω s Giróscopo

16 25/09/2008Física General I- Unidades y sistema de medidas16