Logaritmo En análisis matemático, usualmente, el logaritmo de un número real positivo —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay.

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2 Logaritmo En análisis matemático, usualmente, el logaritmo de un número real positivo —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10. De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

3 Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por identidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores

4 log_ b( xy ) = log b (x) + log b (y). La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.

5 Grafica de logaritmo

6 Definiciones dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.

7 (esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x) Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R). Así, en la expresión 10 2 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log 10 100 = 2.

8 Propiedades generales Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; log b b = 1 ya que b 1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); log b 1=0 ya que b 0 = 1. Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces log b a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞).intervalorecorrido También usando la identidad logarítmica log b (x/y)=log b x - log b y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a -1 será mayor que uno, con lo que log b (a)=log b (1/a -1 ) = log b 1 - log b (a -1 )= - log b (a -1 ).inverso

9 Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que b n será mayor que cero, b n > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer b n = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.cuerporealesdominio de definiciónnúmeros complejoslogaritmo complejofórmula de Euler Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. ya que 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8, y 2 4 = 16, etc. luego log 2 1 = 0, log 2 2 = 1, log 2 4 = 2, log 2 8 = 3 y log 2 16 = 4, etc.progresión geométricaprogresión aritméticapotencias de 2log 2

10 Propiedades algebraicas En esta parte se destaca la capacidad operativa del uso de logaritmos en el sentido de operaciones coligadas; mediante logaritmos, una operación se convierte en otra operación de menor nivel. Por ejemplo, un producto de n factores se reduce a una adición de n sumandos.Etc.

11 Ciertamente, las siguientes proposiciones funcionan como identidades para los valores de su dominio de definición. Sin embargo, el éxito de la invención y uso de los logaritmos, justamente, radicó en poder convertir productos en sumas; cocientes en restas; potencia en producto y raíz de grado n en un cociente. Este hecho permite decir que, en su momento, el uso de logaritmos produjo un cambio revolucionario en los cálculos, empleados en la astronomía, navegación y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales. Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

12 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

13 El logaritmo de un inverso multiplicativo es el inverso aditivo del logaritmo:

14 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

15 El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

16 El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

17 En realidad la cuarta y quinta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

18 Selección y cambio de base Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define allogaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):logaritmo naturalelogaritmo comúnlogaritmo binario

19 en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

20 La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

21 x 1/8-3 1/4-2 1/2 10 21 42 8 3

22 Propiedades de las funciones logarítmicas Dominio Recorrido Es continua. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a<1. Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1 er y 3 er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

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25 Definición de logaritmo e y el logaritmo Siendo a la base, x el número

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32 De la definición de logaritmo podemos deducir: No existe el logaritmo de un número con base negativa.

33 No existe el logaritmo de un número negativo.

34 No existe el logaritmo de cero.

35 El logaritmo de 1 es cero.

36 El logaritmo en base a de a es uno.

37 El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

38 Propiedades de los logaritmos 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Propiedades de los logaritmos

39 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

40 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

41 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

42 Cambio de base:

43 Logaritmos decimales Son los que tienen base 10. Se representan por log (x). Logaritmos neperianos Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

44 Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

45 Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces logb y = x si y sólo si y = bx. Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

46 Ejemplos: 1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.) 2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

47 Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. Ejemplo para discusión: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

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