Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico

Presentación del tema: "Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico"— Transcripción de la presentación:

1 Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 1 Matemáticas 1º Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros Esta información podría expresarse de otra forma: Llamamos x al ancho del campo. Ancho El doble será 2 · x Y el doble más 10 m: 2 · x + 10 Por tanto, 2 · x expresa el largo del campo de fútbol. Largo Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son: x El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información. 2x + 10 IMAGEN FINAL

2 El lenguaje algebraico: algunos ejemplos
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 2 Matemáticas 1º El lenguaje algebraico: algunos ejemplos Lenguaje algebraico Lenguaje ordinario Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número) Un número disminuido en 5 c – 5 (Llamamos c al número) x Perímetro del cuadrado de lado x 4x El cuadrado de un número x2 El cuadrado de un número menos el mismo número x2 – x El número natural siguiente al número n n + 1 Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá x + 12 Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: Al-Khuwrizmi 13 – x IMAGEN FINAL

3 Expresiones algebraicas
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 3 Matemáticas 1º Expresiones algebraicas Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras: Área del triángulo: Área de un rectángulo: a · b h b b a La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t (t = tiempo en horas) Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Observaciones: 1 · x2 · y1 x2 · y1 x2 · y x2 y 1. El factor 1 no se escribe. 2. El exponente 1 tampoco se escribe. 5 · a · b · c3 5abc3 3. El signo de multiplicación no suele ponerse. IMAGEN FINAL

4 Valor numérico de una expresión algebraica
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 4 Matemáticas 1º Valor numérico de una expresión algebraica x Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2. x2 Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4: A = x2 = 42 = 16 16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Ejemplos: 1. El valor numérico de la expresión algebraica 5x – 6 para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4 para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 4 4 2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es: 5 · = 5 · = 180 IMAGEN FINAL

5 Suma y resta de expresiones algebraicas
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 5 Matemáticas 1º Suma y resta de expresiones algebraicas Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente. x x x x x x 5x 3x ¿Cómo podríamos expresar su longitud total? Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene: Suma: x 5x + 3x = 8x 5x 3x ¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes? Resta: x 5x 3x 5x – 3x = 2x 2x No se pueden sumar 2x + x2 Se deja indicado Observación: Para que dos expresiones puedan sumarse o restarse es necesario que sean semejantes. Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes. IMAGEN FINAL

6 Igualdades y ecuaciones
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 6 Matemáticas 1º ESO Igualdades y ecuaciones La balanza está equilibrada. = 4 + 8 Tenemos una igualdad numérica Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=). Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha. = 1er miembro 2º miembro Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4 Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce. La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1. IMAGEN FINAL

7 Solución de una ecuación
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 7 Matemáticas 1º Solución de una ecuación ¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada.? Platillo izquierdo: x + 100 Platillo derecho: Como pesan igual, escribimos la ecuación: x = La incógnita x tiene que valer 600, pues: = = 700 El valor x = 600 es la solución de la ecuación. La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad. Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución. Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad. Ejemplo La solución de la ecuación x – 2 = x es x = 14 pues · 14 – 2 = = 26 IMAGEN FINAL

8 Ecuaciones equivalentes
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 8 Matemáticas 1º Ecuaciones equivalentes La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3: Sustituyendo: a) x = 25 – 3x 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16 b) 7x + 4 = 25 7 · = 25, que es el 2º miembro Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: Ecuación dada: 8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?) Le sumamos 2 a cada miembro 2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 8x = 18 Restamos 6x a cada miembro 3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = – 6x 2 + 2x = 18 – 6x Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones. IMAGEN FINAL

9 Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 9 Matemáticas 1º Resolución de ecuaciones. Regla de la suma Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene. Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas. x + 5 = x = 10 Luego: Regla de la suma Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Para resolver la ecuación x + 8 = x Primero. Restamos 8: 2x = x + 25 Segundo. Restamos x: x = 25 La solución es x = 25 IMAGEN FINAL

10 Resolución de ecuaciones. Regla del producto
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 10 Matemáticas 1º Resolución de ecuaciones. Regla del producto Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: 4x = 20 x = 5 Hemos dividido por 4 Luego: Regla del producto Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Para resolver la ecuación x + 3 = 2x + 9 –3 –2x :2 Primero. Restamos 3: 4x = 2x + 6 Segundo. Restamos 2x: 2x = 6 Tercero. Dividimos por 2 x = 3 La solución es x = 3 IMAGEN FINAL

11 Resolución de ecuaciones. Ejercicios
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 11 Matemáticas 1º Resolución de ecuaciones. Ejercicios Ejercicio 1 Ecuación con paréntesis: 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x 1º. Quitar paréntesis: 3x – 21 = 5x – 5 – 4x 2º. Operar 5x – 4x: 3x – 21 = x – 5 3º. Restar x 2x – 21 = – 5 4º. Sumar 21 2x = 16 5º. Dividir por 2 x = 8 Ejercicio 2 Ecuación con denominadores: 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6): 3x + 30 – 2x = 60 2º. Restar 30: 3x – 2x = 30 3º. Operar 3x – 2x x = 30 IMAGEN FINAL

12 Resolución de problemas
Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 12 Matemáticas 1º Resolución de problemas Problema: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge? Primero: Interpretación del enunciado Lenguaje algebraico Edad de Jorge x La madre de Jorge tiene 39 39 y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge Son iguales 3x – 6 Segundo: Plantear la ecuación 3x – 6 = 39 Tercero: Resolución de la ecuación 3x = 45 Sumar 6 Dividir por 3 x = 15 Jorge tiene 15 años Cuarto: Comprobación. 3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto IMAGEN FINAL