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Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 1Matemáticas 1º Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico IMAGEN FINAL Largo Ancho 2x + 10 x El largo de.

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2 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 1Matemáticas 1º Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico IMAGEN FINAL Largo Ancho 2x + 10 x El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros Esta información podría expresarse de otra forma: Llamamos x al ancho del campo. El doble será 2 · x Y el doble más 10 m: 2 · x + 10 Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol. Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son: El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información.

3 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 2Matemáticas 1º El lenguaje algebraico: algunos ejemplos IMAGEN FINAL Lenguaje ordinario Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número) Un número disminuido en 5 El número natural siguiente al número n El cuadrado de un número menos el mismo número Lenguaje algebraico c – 5 (Llamamos c al número) El cuadrado de un númerox 2 Perímetro del cuadrado de lado x x x x x 4x x 2 – x n + 1 Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá x + 12 Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: 13 – x Al-Khuwrizmi

4 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 3Matemáticas 1º Expresiones algebraicas IMAGEN FINAL Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras: Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Observaciones: 1. El factor 1 no se escribe. a b Área del triángulo: b h Área de un rectángulo: a · b La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t 1 · x 2 · y 1 2. El exponente 1 tampoco se escribe. 3. El signo de multiplicación no suele ponerse. x 2 · y 1 x 2 · y x 2 y 5abc 3 5 · a · b · c 3 (t = tiempo en horas)

5 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 4Matemáticas 1º Valor numérico de una expresión algebraica IMAGEN FINAL Observa el cuadrado de lado x. Su área es x 2. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Ejemplos: 1. El valor numérico de la expresión algebraica 5x – 6 x x Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4: 16 es el valor numérico de la expresión x 2 cuando se sustituye x por 4. para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4 2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a 2 + b 2 para a = 4 y b = 10 es: x 2 A = x 2 = 4 2 = 16 para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 4 4 5 · 4 2 + 10 2 = 5 · 16 + 100 = 180

6 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 5Matemáticas 1º Suma y resta de expresiones algebraicas IMAGEN FINAL Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente. Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes. ¿Cómo podríamos expresar su longitud total? xxxx x xxx 5x 3x Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene: 5x xxxx x xxx 3x 5x + 3x = 8x Suma: ¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes? xxxx x 5x 3x 2x 5x – 3x = 2x Resta: Observación: Para que dos expresiones puedan sumarse o restarse es necesario que sean semejantes. No se pueden sumar 2x + x 2 Se deja indicado

7 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 6Matemáticas 1º ESO Igualdades y ecuaciones IMAGEN FINAL La balanza está equilibrada. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. 10 + 2 = 4 + 8 Tenemos una igualdad numérica Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha. Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=). 10 + 2 = 4 + 8 Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4 1 er miembro 2º miembro Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce. La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.

8 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 7Matemáticas 1º Solución de una ecuación IMAGEN FINAL ¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada.? La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad. Platillo izquierdo: La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700 El valor x = 600 es la solución de la ecuación. Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución. Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad. x + 100 Platillo derecho:500 + 200 Como pesan igual, escribimos la ecuación: x + 100 = 500 + 200 Ejemplo La solución de la ecuación 2x – 2 = x + 12 es x = 14 pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26

9 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 8Matemáticas 1º Ecuaciones equivalentes IMAGEN FINAL La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3: Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: a) 4 + 4x = 25 – 3x Sustituyendo: b) 7x + 4 = 25 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16 7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro Ecuación dada: 8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?) 2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18 Le sumamos 2 a cada miembro 3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6x Restamos 6x a cada miembro Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.

10 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 9Matemáticas 1º Resolución de ecuaciones. Regla de la suma IMAGEN FINAL Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. x = 10 Luego: Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas. Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene. x + 5 = 10 + 5 Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8 Regla de la suma Primero. Restamos 8: 2x = x + 25 Segundo. Restamos x: x = 25 La solución es x = 25

11 x = 5 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 10Matemáticas 1º Resolución de ecuaciones. Regla del producto IMAGEN FINAL Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Luego: Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9 Regla del producto Primero. Restamos 3: 4x = 2x + 6 Segundo. Restamos 2x: 2x = 6 La solución es x = 3 4x = 20 Hemos dividido por 4 Tercero. Dividimos por 2 x = 3 –3 –2x :2

12 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 11Matemáticas 1º Resolución de ecuaciones. Ejercicios IMAGEN FINAL Ejercicio 1 Ecuación con paréntesis: 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x 1º. Quitar paréntesis: 2º. Operar 5x – 4x: 3º. Restar x 3x – 21 = 5x – 5 – 4x 3x – 21 = x – 5 2x – 21 = – 5 5º. Dividir por 2 4º. Sumar 21 2x = 16 x = 8 Ejercicio 2 Ecuación con denominadores: 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6): 2º. Restar 30: 3º. Operar 3x – 2x 3x + 30 – 2x = 60 3x – 2x = 30 x = 30

13 Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones 12Matemáticas 1º Resolución de problemas IMAGEN FINAL Interpretación del enunciado Primero: Problema: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge? Edad de Jorge Plantear la ecuación Segundo: Resolución de la ecuación Tercero: Comprobación. Cuarto: Lenguaje algebraico La madre de Jorge tiene 39 x 39 y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge 3x – 6 – 6 = 39 Son iguales Sumar 6 3x = 45 x = 15 Dividir por 3 3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto Jorge tiene 15 años


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