Estadística Administrativa II

Presentación del tema: "Estadística Administrativa II"— Transcripción de la presentación:

1 Estadística Administrativa II
USAP Estadística Administrativa II 2016-1 Estadística no paramétrica Datos no ordenados

2 Estadística no paramétrica
Pruebas de hipótesis no solamente pueden estar distribuidas normalmente o ser numéricas; también pueden ser nominales

3 Chi-cuadrada ji-cuadrada 𝜒 2 -cuadrada 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

4 Características Valores no negativos: Al elevar al cuadrado la variación entre la frecuencia observada y la frecuencia esperada, el resultado siempre es positivo. Familia de distribuciones: Al contar variables con múltiples tipos de valores, las gráficas resultantes son variadas tanto en la forma como en la altura. Debido a los múltiples valores que puede tomar, se trabaja con k-1 grados de libertad para darle un mejor ajuste a los resultados de la prueba de hipótesis. Sesgada por la derecha: tiene sesgo positivo, porque se puede concluir que los valores están concentrados en los valores menores y dispersos en los mayores.

5 Característica de chi-cuadrada
Usualmente se espera que sean sesgadas a la derecha.

6 Ejemplo . . . Una distribuidora de productos alimenticios enlatados, quiere introducir una nueva marca de latas de trozos de atún en agua de 104 gramos y estuvo dando muestras a los clientes de un supermercado para conocer sus impresiones. Los resultados obtenidos son: 60 Se esperaba que las respuestas fueran las mismas para las tres características. Calcular el resultado de chi-cuadrada.

7 . . . Ejemplo Si se aplicaron 60 encuestas; se esperaba que cada respuesta tuviera un total uniforme; es decir, 20 por cada característica de la variable. 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒 𝑓 𝑜 : Resultados de las encuestas 𝑓 𝑒 : Resultados esperados

8 . . . Ejemplo Los resultados de la variación cuadrada con relación a la frecuencia esperada resultan: 𝜒 2 =10

9 ¿Cómo se analiza este tipo de información?
Prueba de bondad de ajuste

10 Prueba de bondad de ajuste
En una investigación cualitativas, las variables no son numéricas; pero, las frecuencias si lo son. Se hace el conteo de los resultados obtenidos y se asume que se esperaba que todas las respuestas fueran iguales. Para determinar si los resultados son similares o no, se recurre a la prueba de hipótesis, para comprobar si existen diferencia o no entre lo observado y lo esperado.

11 Prueba de bondad de ajuste Frecuencia esperadas iguales
Una vez definida la cantidad de encuestas a aplicar, se definen las características de las variables y al dividir el tamaño de la muestra entre la cantidad esperada se asume que será la cantidad que se espera para cada una de ellas.

12 Ejemplo . . . Un supermercado va a levantar una encuesta en línea para determinar preferencia de los clientes con relación a la venta del refresco Coca Cola. Se tomará una muestra de 1000 internautas y las características a evaluar son: Lata de 300 ml Botella pequeña Envase de 1.5 litros Envase de 2.0 litros Envase de 3.5 litros

13 Ejemplo . . . ¿Qué hacer en estos casos?
Se espera que se venda la misma cantidad de botellas de cada tipo. ¿Qué hacer en estos casos?

14 Prueba de hipótesis con 𝜒 2
Establecer la hipótesis nula y alternativa Seleccionar un nivel de significancia Seleccionar el estadístico de prueba Formular la regla de decisión Tomar una decisión 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

15 Ejemplo . . . La gerente de marketing de un fabricante de tarjetas deportivas planea iniciar la venta de una serie de tarjetas deportivas con fotografías y estadística de juego de la liga nacional. Uno delos problemas es la selección de exjugadores. En una exhibición de tarjetas de futbol en el Estadio Morazán el pasado fin de semana se instaló un puesto y ofreció tarjetas de Danilo Toselo, Carlos Pavón, Carlo Costly, Diego Vásquez, Wilmer Velásquez y Rambo de León. Al final del día vendió 120 tarjetas. El número de tarjetas vendidas de cada jugador es la siguiente:

16 . . . Ejemplo Si la importancia de los jugadores es similar, debería haberse vendido la misma cantidad de cada uno de ellos; sin embargo, podría suceder que el muestreo haya generado un sesgo; pero, que la población sí mantenga las mismas preferencias. ¿Se puede determinar que hay diferencia entre las tarjetas vendidas y las esperadas, con un nivel de significancia del 5%?

17 . . . Ejemplo Hipótesis nula y alternativa 2. Nivel de significancia
𝐻 0 :𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝐻 𝑎 :𝑆𝑖 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 2. Nivel de significancia 𝛼=0.05 3. Estadístico de prueba 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

18 . . . Ejemplo Regla de decisión 𝜒 2 =11.070 𝐻 0 : 𝑓 𝑜 ≤ 𝑓 𝑒 1 𝑐𝑜𝑙𝑎
𝛼=0.05 𝑛=6 𝑔𝑙=5 𝜒 2 =11.070

19 . . . Ejemplo 𝜒 2 =11.070 Toma de decisión
Sumar las frecuencias de las tarjetas divididas entre el total de jugadores para obtener la frecuencia esperada para cada uno de ellos y agregar un columna con estos resultados.

20 . . . Ejemplo 𝜒 2 =11.070 𝜒 2 =34.40

21 . . . Ejemplo Nivel crítico: 𝜒 2 =11.070 𝜒 2 =34.4 Cálculo de muestra:
La hipótesis nula se rechaza. Se puede concluir que sí hay diferencia entre los gustos de los fanáticos con relación a los jugadores.

22 Prueba de bondad de ajuste Frecuencia esperadas desiguales
Una vez definida la cantidad de encuestas a aplicar y teniendo la ponderación de cada característica, se calcula la frecuencia esperada, multiplicando el total de la muestra por cada ponderación.

23 Ejemplo . . . Una empresa que renta buses de tamaño mediano para excursiones, ha determinado que el 60% son rentados por escuelas primarias, 30% institutos de secundaria y el resto para asociaciones de adultos. Se va a tomar una muestra de 250, para calcular el valor esperado por cada tipo de cliente. Posteriormente se levantará la encuesta respectiva.

24 Ejemplo . . . Calcular los porcentajes de acuerdo a lo esperado en base a las 250 encuestas que se deben realizar. La muestra es aleatoria, esto significa que lo realizado en la práctica puede ser diferente a lo planificado. ¿Cómo se prueba?

25 Prueba de hipótesis con 𝜒 2

26 Ejemplo . . . Según las políticas de una aseguradora, las atenciones en los hospitales para el ingreso de los adultos mayores en el período de un año, tiene el siguiente comportamiento. 40% no requiere hospitalización 30% es hospitalizado una vez 20% es hospitalizado dos veces 10% es hospitalizado 3 o más veces Antes de realizar la encuesta se determinó que se analizarán 150 pacientes adultos mayores.

27 Ejemplo . . . Una vez se aplicó la encuesta a 150 pacientes adultos mayores que solicitaron atención médica, reveló que: 55 no requirieron hospitalización 50 fueron admitidos una vez 32 fueron admitidos dos veces 13 fueron admitidos tres o más veces Con un nivel de significancia de 0.05, probar si es posible que los resultados sean congruentes con las ponderaciones.

28 . . . Ejemplo Hipótesis nula y alternativa 2. Nivel de significancia
𝐻 0 :𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝑖𝑎 𝐻 𝑎 :𝑆𝑖 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝑖𝑎 2. Nivel de significancia 𝛼=0.05 Estadístico de prueba 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

29 . . . Ejemplo Regla de decisión 𝜒 2 =7.815 𝐻 0 : 𝑓 𝑜 ≤ 𝑓 𝑒 1 𝑐𝑜𝑙𝑎
𝛼=0.05 𝑛=4 𝑔𝑙=3 𝜒 2 =7.815

30 𝜒 2 =7.815 . . . Ejemplo Toma de decisión

31 . . . Ejemplo 𝜒 2 =7.815 Toma de decisión 𝜒 2 =1.372
La hipótesis nula se acepta. No hay diferencia entre los promedios de hospitalización que se han estado manejando.

32 Tablas de contingencia
Son distribuciones de frecuencias formadas por dos variables cualitativas, también conocidos como datos bivariados o variables cruzadas.

33 Tabla de contingencia Una tabla de contingencia provee información variada, puesto que, proporciona datos en forma conjunta y en forma individual para cada variable, todo con una misma muestra.

34 Ejemplo . . . En una investigación sobre los gustos de las personas en la prueba de un nuevo jugo combinado, se hizo diferencia entre las respuestas de los clientes del género femenino con las del masculino. Se encuestaron 140 personas que proporcionaron las siguientes respuestas:

35 . . . Ejemplo De los 140, a 59 de ellos les pareció muy bueno el sabor y solamente 11 se mostraron indecisos. Se encuestó a 80 hombres y 60 mujeres de forma aleatoria. 29 de las mujeres opinaron que el sabor es muy bueno.

36 Tabla de contingencia y chi-cuadrada
En una investigación con variables cruzadas, se analizan, mínimo, dos variables a las cuales se les calculará el valor de chi-cuadrada tomando de base una ponderación definida que pueden ser iguales o diferentes.

37 Tabla de contingencia y chi-cuadrada

38 Tabla de contingencia y chi-cuadrada

39 Ejemplo . . . En una investigación piloto, con relación a la percepción de los consumidores sobre el sabor de un nuevo jugo que se quiere lanzar al mercado, se esperaba que el 60% contestara uniformemente que lo encontraba muy bueno o bueno, y que el resto lo encontrara regular o estuviera indeciso. Calcular el valor de chi-cuadrada para la distribución obtenida: 60% 40%

40 . . . Ejemplo

41 . . . Ejemplo 80∗30%=24 60∗30%=18 80∗20%=16 60∗20%=12

42 . . . Ejemplo

43 . . . Ejemplo Valores previos a chi-cuadrada para cada uno de los géneros.

44 . . . Ejemplo Valores previos a chi-cuadrada para cada uno de los géneros.

45 . . . Ejemplo Sumar valores totales obtenidos por cada una de las características 𝜒 2 =20.30

46 Análisis de tablas de contingencia
𝜒 2 Análisis de tablas de contingencia Es probar la hipótesis utilizando chi-cuadrada como estadístico de prueba.

47 Análisis de tablas de contingencia
Existen investigaciones en las cuales se desea conocer el comportamiento con poblaciones que trabajan en conjuntos interceptados. Esta clasificación tiene como base la escala nominal debido a que no hay un orden natural para las clasificaciones. El estadístico ji cuadrada es útil para probar de manera formal si hay una relación entre dos variables con escala nominal. En otras palabras, ¿es independiente una variable de la otra?

48 Regla de decisión 𝛼=0.𝑥𝑥 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑔𝑙=(𝑓𝑖𝑙𝑎−1)(𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎−1)

49 Ejemplo Se está llevando a cabo un estudio sobre la relación existente entre el fumar durante el embarazo y el peso de la criatura al nacer. En estudios previos, En una encuesta realizada a 2000 madres de recién nacido se dieron los siguientes resultados. Probar si los resultados en ambos casos son similares, con un nivel de significancia de 0.01

50 . . . Ejemplo 1 Hipótesis nula y alternativa 2. Nivel de significancia
𝐻 0 :𝐿𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝐻 𝑎 :𝐿𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 2. Nivel de significancia 𝛼=0.01 3. Estadístico de prueba 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

51 . . . Ejemplo 1 Regla de decisión 𝜒 2 =6.635 𝛼=0.01 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑛 1 =2
𝑛 2 =2 𝑔𝑙=(2−1)(2−1)=1 𝜒 2 =6.635

52 . . . Ejemplo 1 𝜒 2 =6.635 Toma de decisión
Tabla de porcentajes según totales obtenidos.

53 . . . Ejemplo 1 𝜒 2 =6.635 Toma de decisión
Tabla de frecuencias esperadas

54 . . . Ejemplo 1 𝜒 2 =6.635 Toma de decisión 𝜒 2 =44.02
Suma de las variaciones cuadradas 𝜒 2 =44.02 Si hay evidencia de que los nacimientos de mujeres fumadoras incide en el peso de los infantes

55 Ejemplo Una organización no gubernamental que trabaja con proyectos de inserción del privado de la libertad, está investigando si los que recuperan su libertad tienen un mejor nivel de readaptación a la vida civil cuando lo hacen en su localidad natal o en otra localidad que no conocen de antemano. Se desea conocer si hay una relación entre la adaptación a la vida civil en su localidad natal o en una desconocida una vez que salen de prisión según datos obtenidos en el 2013.

56 . . . Ejemplo 2 La encuesta fue realizada por psicólogos a 200 personas que estuvieron privadas de libertad por al menos un año; 120 de ellas residen en su localidad natal y 80 en otra localidad, con los siguientes resultados: Probar la hipótesis con un nivel de significancia de 0.01

57 . . . Ejemplo 2 Hipótesis nula y alternativa 2. Nivel de significancia
𝐻 0 :𝐿𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑝𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟 𝐻 𝑎 :𝐿𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑝𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟 2. Nivel de significancia 𝛼=0.01 3. Estadístico de prueba 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

58 . . . Ejemplo 2 Regla de decisión 𝛼=0.01 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑔𝑙=(4−1)(2−1)=3
𝜒 2 =11.345

59 . . . Ejemplo 2 𝜒 2 =11.345 Toma de decisión
Proporciones asociadas a cada característica

60 . . . Ejemplo 2 Toma de decisión
Frecuencias esperadas por cada característica

61 . . . Ejemplo 2 𝜒 2 =11.345 Toma de decisión 𝜒 2 =5.73
Variaciones cuadradas 𝜒 2 =5.73 La hipótesis nula se acepta. No hay suficiente evidencia de una diferencia entre la adaptación después de estar privado de la libertad

62 Ejemplos de práctica completos
Prueba de bondad de ajuste – iguales Prueba de bondad de ajuste – desiguales Tablas de contingencia

63 Práctica # 1 El director de ventas de Automar vende lanchas pequeñas y tiene la responsabilidad de controlar el nivel de existencias de 4 modelos de lanchas que se venden en tienda. En el pasado ha ordenado adquirir lanchas bajo la premisa de que se venden por igual. Sin embargo, últimamente ha tenido un descontrol y en algunas oportunidades se ha quedado sin producto para vender y en otras han permanecido mucho tiempo sin poderlas vender. El director de ventas quiere probar si su hipótesis es vigente y se venden por igual.

64 Desarrollo Práctica 1… En el mes de marzo, las ventas de lanchas según el modelo comprado se reportó de la siguiente manera: MODELO VENTAS Sirena Veloz 15 Infinitum 11 Pirata 10 Neptuno 12 48 Se desea probar que las ventas son uniformes para los cuatro modelos con un nivel de significancia de 5%.

65 . . . Desarrollo Práctica 1 𝛼=0.05
Paso 1: Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 :𝐿𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 4 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠 𝐻 𝑎 :𝐿𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 4 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠 Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.05 Paso 3: Estadístico de prueba 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

66 . . . Desarrollo Práctica 1 𝛼=0.05 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑛=4 𝑔𝑙=3
Paso 4: Regla de decisión 𝛼=0.05 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑛=4 𝑔𝑙=3 𝜒 2 =7.815

67 . . . Desarrollo Práctica 1 𝜒 2 =7.815 Paso 5: Tomar decisión
Las ventas observadas y esperadas MODELO VENTAS ESPERADO Sirena Veloz 15 12 Infinitum 11 Pirata 10 Neptuno 48

68 . . . Desarrollo Práctica 1 𝜒 2 =7.815 Paso 5: Tomar decisión
𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

69 . . . Desarrollo Práctica 1 𝜒 2 =7.815 Paso 5: Tomar decisión
Las ventas reales son las observadas y las de la uniformidad las esperadas. 𝜒 2 =1.17 La hipótesis nula se acepta, no hay evidencia que indique que las ventas no son uniformes para los cuatro modelos 1.17 7.815

70 Práctica # 2 El director de mercadeo del banco del Norte lanzó una promoción para extender la cantidad de préstamos que se otorgan, se espera que el 60% sea para empresas comerciales, 10% para personas naturales y 30% para comerciantes individuales. Para determinar si la promoción está dando resultado, se seleccionó una muestra aleatoria de 85 préstamos; de los cuales, 62 fueron para empresas comerciales, 10 para personas naturales y 13 para comerciantes individuales. ¿Se puede determinar si la promoción está dando resultado? Con un nivel de significancia del 5%.

71 . . . Desarrollo Práctica 2 Resumen de los créditos otorgados y los porcentajes de la promoción TIPO DE CRÉDITO CRÉDITOS % ESPERADO Empresas comerciales 62 60% Personas naturales 10 10% Comerciante individual 13 30% 85 100% Probar la hipótesis de que la promoción se está resultando.

72 . . . Desarrollo Práctica 2 𝛼=0.05
Paso 1: Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 :𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐻 𝑎 :𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.05 Paso 3: Estadístico de prueba 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

73 . . . Desarrollo Práctica 2 𝛼=0.05 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑛=3 𝑔𝑙=2
Paso 4: Regla de decisión 𝛼=0.05 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑛=3 𝑔𝑙=2 𝜒 2 =5.991

74 . . . Desarrollo Práctica 2 𝜒 2 =5.991 Paso 5: Tomar decisión
Ventas esperadas. 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

75 . . . Desarrollo Práctica 2 𝜒 2 =5.991 Paso 5: Tomar decisión
Calcular las ventas esperadas. La hipótesis nula se rechaza, hay evidencia que indica que la promoción no está dando el resultado esperado. 8.76 𝜒 2 =8.76 5.991

76 Práctica # 3 El gerente general de una empresa que distribuye un limpiador multiuso, desea determinar si existe relación entre la efectividad atribuida al producto y la zona área en que viven los consumidores. De 100 consumidores encuestados, 75 viven en la zona urbana y 25 en la zona rural. La clasificación que se otorgó fue de Muy bueno, Bueno y regular. ¿Existe relación entre la zona y el atributo otorgado al producto? Usar un nivel de significancia del 10%.

77 . . . Desarrollo Práctica 3 Resumen de las encuestas sobre el atributo del limpiador multiuso. Probar la hipótesis para determinar si la promoción está resultando.

78 . . . Desarrollo Práctica 3 𝛼=0.10
Paso 1: Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 :𝐸𝑙 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑜 𝑦 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐻 𝑎 :𝐸𝑙 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑜 𝑦 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.10 Paso 3: Estadístico de prueba 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

79 . . . Desarrollo Práctica 3 𝛼=0.10 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑛=3 𝑔𝑙=2
Paso 4: Regla de decisión 𝛼=0.10 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑛=3 𝑔𝑙=2 𝜒 2 =4.605

80 . . . Desarrollo Práctica 3 𝜒 2 =5.991 Paso 5: Tomar decisión
Porcentaje por atributo para total .

81 . . . Desarrollo Práctica 3 𝜒 2 =5.991 Paso 5: Tomar decisión
Ventas esperadas. 𝜒 2 = 𝑓 𝑜 − 𝑓 𝑒 𝑓 𝑒

82 . . . Desarrollo Práctica 3 𝜒 2 =5.991 Paso 5: Tomar decisión
Cociente de variación al cuadrado

83 . . . Desarrollo Práctica 3 𝜒 2 =5.991 Paso 5: Tomar decisión
Cociente de variación al cuadrado 𝜒 2 =3.74 La hipótesis nula se acepta

84 Fin de la presentación Muchas gracias
Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill David M. Levine, Timothy C. Krehbiel, Mark L. Berenson  Estadística para Administración. (4° edición). Naucalpan de Juárez, México.: Pearson Prentice Hall