@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 4 ECUACIONES Y SISTEMAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 4 ECUACIONES Y SISTEMAS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 U.D. 4.4 * 1º BCS SISTEMAS DE ECUACIONES

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 REGLAS DE RESOLUCIÓN SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones. Sea el sistema x + y = 2 x – y = 0 Como se puede apreciar por su sencillez la única solución posible es x = 1 e y = 1, pues son los valores de las incógnitas que hacen posible que se cumplan las dos igualdades. Si un sistema tiene una o más soluciones se llama COMPATIBLE; de lo contrario es INCOMPATIBLE. Si tiene una única solución el sistema de ecuaciones lineales es DETERMINADO; y si tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 REGLAS QUE PERMITEN RESOLVER SISTEMAS 1.-Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta otro sistema equivalente al dado. Ejemplo: Sea el sistemax + y = y + 2(1) x – y = 0(2) A ambos miembros de la ecuación (1) les restamos y, quedando el sistema equivalente al dado: x = 2(1) x – y = 0(2) Que tiene la ventaja de, al conocer el valor de x, poder hallar rápida y fácilmente el valor de y.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 REGLAS QUE PERMITEN RESOLVER SISTEMAS 2.-Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número o expresión algebraica distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Ejemplo: Sea el sistemax + y ------- + 3 = 2(1) x x – y = - 3(2) A ambos miembros de la ecuación (1) les multiplicamos por x, quedando el sistema equivalente al dado: x + y + 3.x = 2.x(1)  2.x + y = 0(1) x – y = - 3(2)  x – y = - 3(2) Que tiene la ventaja de eliminar denominadores.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 REGLAS QUE PERMITEN RESOLVER SISTEMAS 3.-Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución. Ejemplo: Sea el sistema 3.x + y = 5 (1) x – y = – 1 (2) A la ecuación (1) la restamos la ecuación (2) multiplicada por 3, quedando: 3.x + y – 3.(x – y) = 5 – 3.(– 1)(1) x – y = – 1(2) 3.x + y – 3.x + 3.y = 5 + 3(1) x – y = – 1(2) El sistema 4.y = 8 (1) es equivalente al dado. x – y = – 1 (2)

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 U.D. 4.4 * 1º BCS SISTEMAS LINEALES (MÉTODOS DE RESOLUCIÓN)

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 Advertencia previa Si al resolver el sistema nos encontramos con ecuaciones del tipo: 3.(x-5) + 2y = 4 – 2(3 – y) O del tipo: x - 5 3 – y ------- + 3.y = 4 - ------- 3 5 Antes de aplicar cualquier método hay que operar convenientemente, resolviendo los paréntesis y las expresiones fraccionarias.  3.x = 13  5.x + 42.y = 76

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Método de Sustitución Si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de la otra ecuación, resulta otro sistema equivalente. Ejemplo 1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x = 4 – 3.y Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3 (4 – 3.y) – y = 2 Operando … 12 – 9.y – y = 2  12 – 2 = 9.y + y  10 = 10.y  y = 1 Llevando ese valor a la ecuación ( 1 ), tenemos … x = 4 – 3.y = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1  x = 1 Método de Sustitución

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Ejemplo 2 Sea el sistema: 5.x + 3.y = 2 (1) 3.x – 2.y = 5 (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x = (2 – 3.y)/5 Se sustituye en la ecuación (2) : 3.(2 – 3.y)/5 – 2.y = 5 Operando … 6 – 9.y – 10.y = 25  – 19 = 19.y  y = – 1 Llevando ese valor a la ecuación ( 1 ), tenemos … x = (2 – 3.y)/5 = (2 – 3.(– 1))/5 = 5 / 5, o sea x = 1 Método de Sustitución

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Método de Igualación Es una variante del método anterior. Este método se emplea cuando es muy fácil despejar una incógnita determinada en las dos ecuaciones. Es el único método empleado en la intersección de funciones. Ejemplo 1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) x – y = 2 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = 4 – 3y (1) x = 2 + y ( 2) Las dos expresiones resultantes deben ser iguales: 4 – 3y = 2 + y 4 – 2 = y + 3y  2 = 4y  y = 2/4 = ½ Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1): x = 4 – 3.(1/2) = 4 – 3/2 = 5/2, o sea x = 5/2 Método de Igualación

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 Ejemplo 2 Sea el sistema: 7.x + 3.y = 2(1) 2.x – 5.y = – 29 / 21 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = (2 – 3y) / 7 (1) x = (5.y – 29/21) / 2 ( 2) Las dos expresiones resultantes deben ser iguales: (2 – 3y) / 7 = (5.y – 29/21) / 2 Operando … 4 – 6.y = 35.y – 29/3 4 + 29/3 = 41.y  41 / 3 = 41.y  y = 1 / 3 Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1): x = (2 – 3.(1/3)) / 7 = (2 – 1) / 7, o sea x = 1 / 7 Método de Igualación

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 Método de Reducción Se suman o restan las ecuaciones del sistema para eliminar una incógnita, quedando otro sistema equivalente al dado. Ejemplo 1 Sea el sistema: 2x + 3.y = 12 (1) 3x - 4y = 1 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por 3, resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES. 8x + 12y = 48 (1) 9x - 12y = 3 (2) A la ecuación (3) la sumo la (4), quedando: 17 x = 51  x = 3 Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1), tenemos: 2.3 + 3.y = 12, 3y = 12 – 6, 3y = 6, y = 2 Método de Reducción

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 Ejemplo 2 Sea el sistema: √2.x + 3.y = – 4(1) 2.x – 5.y = √8 + 10(2) Multiplicamos la ecuación (1) por 5 y la ecuación (2) por 3, resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES. 5.√2.x + 15.y = – 20(1) 6.x – 15.y = 3.√8 + 30(2) A la ecuación (1) la sumo la (2), quedando: (5.√2 + 6).x = 3.√8 + 10 x = (3.√8 + 10) / (5.√2 + 6) Racionalizo: x = (3.√8 + 10).(5.√2 – 6) / (5.√2 + 6). (5.√2 – 6) = = (15.√16 – 18. √8 + 50.√2 – 60) / (50 – 36) = = (60 – 36.√2 + 50. √2 – 60) / 14 = 14. √2 / 14  x = √ 2 Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1), tenemos: √2. √2 + 3.y = – 4, 3.y = – 4 – 2, 3.y = – 6, y = – 2 Método de Reducción

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I15 PROBLEMAS DE ALGEBRA Para resolver un Problema hay que seguir los siguientes pasos: 1.-COMPRENSIÓN.- Leer detenidamente y entender el enunciado. 2.-PLANTEAMIENTO.- Designar una letra a la incógnita y plantear la/s ecuación/es DESIGNAR.- La incógnita no es siempre el dato que se pide, sino el dato desconocido que permita resolver el problema. PLANTEAR.- Una vez designada la incógnita, se traduce a lenguaje algebraico el enunciado, resultando una o varias ecuaciones. 3.-RESOLUCIÓN.- Se despeja la incógnita de la ecuación, se halla su valor y luego el valor de los datos pedidos. 4.-COMPROBACIÓN.- Se comprueba si la solución cumple condiciones del enunciado.

16 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I16 EJEMPLO 1 “Quiero saber la edad que tenía hace 3 años. Sé que hace cinco años tenía la tercera parte de la edad que tendré dentro de 7 años.” 1.-Leo detenidamente el enunciado. 2.-Sea x = la edad actual que tengo, aunque no sea ese el dato que me piden. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: Hace 5 años tenía x – 5 Dentro de 7 años tendré x +7 Luego: (x – 5) = ( x + 7 ) / 3 3.-Despejo la x aplicando las reglas: 3(x-5) = 3 [ (x+7) / 3]  3.x – 15 = x + 7  2.x = 22  x = 11 Solución x – 3 = 11 – 3 = 8  Solución: Tenía 8 años. 4.-Compruebo el resultado: Si ahora tengo 11 años, hace cinco tenía 6 años, y dentro de 7 años tendré 18 años. Efectivamente 6 es la tercer parte de 18.

17 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I17 EJEMPLO 2 “Hace cinco años Ana tenía el doble de edad que Luis. Dentro de siete años Ana tendrá la mitad de la edad de Luis más 12 años. ¿Qué edades tienen actualmente Ana y Luis?. RESOLUCIÓN Sea x = la edad actual de Ana. Sea y = la edad actual de Luis. Hago un esquema: Hace 5 años:Anax – 5Luisy – 5 Actualmente:AnaxLuisy Dentro de 7 años:Anax + 7Luisy + 7 Hace 5 años:x – 5 = 2.( y – 5 )(1) Dentro de 7 años: y + 7 x + 7 = --------- + 12(2) 2 x – 5 = 2.y – 10 (1) 2.x + 14 = y + 7 + 24 (2) Aplico el método de sustitución, quedando: x = 13 e y = 9 Y compruebo que se cumple el enunciado.

18 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I18 EJEMPLO 3 Mezclamos aceite de 6 € el kg con aceite de 4 € el kg, obteniendo una mezcla de 100 kg a un precio de 4,80 € por kg. ¿Cuántos kg de cada tipo se han empleado?. RESOLUCIÓN Sea x = kg de un tipo. Sea y = kg del otro tipo. Por el enunciado: x + y = 100 6.x + 4.y = 4,80.100 Despejando y en la 1ª ecuación: y = 100 – x Sustituyendo en la 2ª ecuación: 6.x + 4.(100 – x) = 480 Operando: 6.x + 400 – 4.x = 480  2.x = 80  x = 40 Kg de un tipo y = 100 – x = 100 – 40 = 60 Kg del otro tipo