Distribución Binomial

Presentación del tema: "Distribución Binomial"— Transcripción de la presentación:

1 Distribución Binomial
Estadística

2 La Distribución Binomial
Una persona arroja 1 dado apostando con otro a que saca un Uno. La probabilidad de sacar el Uno es igual a:

3 La Distribución Binomial
Es decir que la probabilidad que tiene de acertar es 17 % aproximadamente.

4 La Distribución Binomial
Ahora, supongamos que la persona arroja 5 dados iguales a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que saque 0, 1, 2, 3... unos?.

5 La Distribución Binomial
0 Uno

6 La Distribución Binomial
1 Uno Estadística

7 La Distribución Binomial
2 unos Estadística

8 La Distribución Binomial
3 unos Estadística

9 La Distribución Binomial
4 unos Estadística

10 La Distribución Binomial
5 unos Estadística

11 La Distribución Binomial
¿Es tan probable sacar 1 ó 2 unos como sacar 5 unos?. A priori parecería que no. Estadística

12 La Distribución Binomial
Cuando realizamos una experiencia individual donde el resultado debe ser sólo uno de dos posibles: acierto/fallo, cara/cruz, etc. decimos que es un ensayo de Bernoulli. Estadística

13 La Distribución Binomial
En nuestro caso, cada vez que arrojamos un dado podemos definir nuestro experimento registrando sólo dos resultados posibles: Un Uno Ningún Uno Estadística

14 La Distribución Binomial
Cada acto individual de arrojar un dado es independiente de los otros y la probabilidad de obtener un Uno es: Estadística

15 La Distribución Binomial
Y la probabilidad de obtener cualquier otro resultado que no sea un Uno es: Estadística

16 La Distribución Binomial
Entonces, cuando arrojamos 5 dados, la probabilidad de obtener 5 unos es: Estadística

17 La Distribución Binomial
La probabilidad de no tener ningún Uno (0 unos) también podemos calcularla, porque al arrojar un sólo dado, la probabilidad de que no salga un Uno es: Estadística

18 La Distribución Binomial
Y la probabilidad de no obtener ningún Uno en los 5 dados arrojados es: Estadística

19 La Distribución Binomial
Nos falta calcular las probabilidades intermedias, es decir la probabilidad de obtener 1, 2, 3...unos. Es posible calcular todas estas probabilidades con una fórmula binomial. Estadística

20 La Distribución Binomial
¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 Uno al arrojar 5 dados? Por ejemplo, una forma es que salga un Uno en el primer dado: Estadística

21 La Distribución Binomial
La probabilidad de sacar 1 Uno en el primer dado y no sacar Uno en los otros cuatro es: Probabilidad de sacar 1 Uno Probabilidad de no sacar Uno Estadística

22 La Distribución Binomial
Pero hay 5 formas diferentes de obtener 1 Uno en cinco dados arrojados: Estadística

23 La Distribución Binomial
Estadística

24 La Distribución Binomial
Por lo tanto, la probabilidad de sacar 1 Uno al arrojar 5 dados es: Probabilidad de sacar 1 Uno Nº de formas de sacar 1 Uno Probabilidades de no sacar Uno Estadística

25 La Distribución Binomial
Para calcular la probabilidad de obtener 1 Uno en cinco dados arrojados debemos calcular: La probabilidad de que en cinco dados arrojados uno de ellos sea un Uno y los otros cuatro no sean Uno. El número de combinaciones diferentes en que se puede dar esa situación: un Uno en cinco dados. Estadística

26 La Distribución Binomial
Hemos visto como hacer lo primero: Cálculo de la Probabilidad de obtener 1 Uno al arrojar cinco dados Estadística

27 La Distribución Binomial
Y sabemos que hay cinco maneras diferentes de obtener un Uno en cinco dados arrojados: Nº de formas diferentes de obtener 1 Uno al arrojar cinco dados Estadística

28 La Distribución Binomial
¿Cómo podemos generalizar el cálculo de las distintas formas de obtener 1 Uno, 2 unos, etc. en cinco dados arrojados? Estadística

29 La Distribución Binomial
La respuesta la dan los números combinatorios: Estadística

30 La Distribución Binomial
donde son el factorial de m y de n respectivamente. Estadística

31 La Distribución Binomial
La expresión representa el número de combinaciones de m elementos tomados de a n (agrupados de a n). Estadística

32 La Distribución Binomial
Por ejemplo, si tenemos las 5 letras A, B, C, D y E, y queremos saber cuantas son todas las combinaciones posibles agrupándolas de a tres en cualquier orden: ABC, ADC, ...etc., hacemos el cálculo siguiente: Estadística

33 La Distribución Binomial
Total de Letras ABCDE Todas las combinaciones agrupando de a tres ABC DBC EBC ADC AEC ABD ABE DEC DBE ADE Estadística

34 La Distribución Binomial
Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli, con probabilidad p de tener un acierto (Probabilidad 1-p de tener un fallo). Estadística

35 La Distribución Binomial
Entonces, la probabilidad de obtener y aciertos en n ensayos de Bernouilli es: Estadística

36 La Distribución Binomial
Esta probabilidad es un término del binomio siguiente (Regla de Pascal): Estadística

37 La Distribución Binomial
donde porque en un ensayo de Bernouilli ambos eventos acierto/fallo se excluyen mutuamente, es decir, ocurre un acierto o un fallo, pero nunca ambos simultáneamente. Estadística

38 La Distribución Binomial
Los términos de la suma son las probabilidades P(x), que determinan la distribución de probabilidades de la variable aleatoria x, la cual es una variable discreta (toma los valores 0, 1, 2, ...etc.). Estadística

39 La Distribución Binomial
Aplicando la fórmula al caso de 5 dados: Estadística

40 La Distribución Binomial
La probabilidad de no sacar ningún Uno es: Estadística

41 La Distribución Binomial
La probabilidad de obtener 1 Uno: Estadística

42 La Distribución Binomial
La probabilidad de obtener 2 unos: Estadística

43 La Distribución Binomial
La probabilidad de obtener 3 unos: Estadística

44 La Distribución Binomial
La probabilidad de obtener 4 unos: Estadística

45 La Distribución Binomial
Y la probabilidad de obtener 5 unos: Estadística

46 La Distribución Binomial
Resumiendo en una tabla: Estadística

47 La Distribución Binomial
x Estadística

48 La Distribución Binomial
¿Cuál es el promedio de la variable aleatoria x ? Estadística

49 La Distribución Binomial
La media de la variable aleatoria Y es: Estadística

50 La Distribución Binomial
La varianza de Y es: Estadística

51 La Distribución Binomial
Y entonces la desviación standard resulta: Estadística

52 La Distribución Binomial
En la experiencia de arrojar 5 dados: Estadística

53 La Distribución Binomial
¿Cómo interpretamos este resultado? Si bien el promedio resulta un valor fraccionario, nos está diciendo que al arrojar los cinco dados estaremos más cerca de sacar 1 Uno que de sacar 2 o más unos. Estadística

54 La Distribución Binomial
De una manera más rigurosa, ese valor nos dice que si se repitiera la experiencia muchas veces, el promedio del número de unos que se obtendría en todos los experimentos sería igual a 0.83 Estadística

55 La Distribución Binomial
La varianza de Y resulta: Estadística

56 La Distribución Binomial
Y la desviación standard: Estadística

57 La Distribución Binomial
Volvamos, ahora a nuestro apostador. Supongamos que arroja 5 dados y apuesta a que va a sacar 3 o más unos. Estadística

58 La Distribución Binomial
¿Cuál es la probabilidad que tiene de ganar? Esta probabilidad es la suma de los términos del binomio para 3, 4 y 5 aciertos (unos), es decir: Estadística

59 La Distribución Binomial
Probabilidad de obtener 3 o más unos Estadística

60 La Distribución Binomial
Estadística

61 La Distribución Binomial
Quiere decir que la probabilidad de ganar es aproximadamente del 3,5 %. Estadística

62 Fin de la presentación