GEOMETRÍA ÁNGULOS. CUADRILÁTEROS. ÁREAS IDENTIDADES VOLÚMENES.

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1 GEOMETRÍA ÁNGULOS. CUADRILÁTEROS. ÁREAS IDENTIDADES VOLÚMENES

2 Entre los elementos de un cuadrilátero mencionamos sus lados y ángulos,
Es un polígono de cuatro lados. se presentan dos ejemplos de cuadriláteros, convexo el de la izquierda y cóncavo el de la derecha. Para designarlos utilizamos letras mayúsculas en los vértices.

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9 ANGULOS. Tienen lado inicial y el lado terminal. y de acuerdo al sentido de giro se definen ángulos positivos y ángulos negativos Una posición muy importante de un ángulo trigonométrico es su posición estándar (posición normal). Un ángulo está en posición estándar cuando su lado inicial coincide con el eje positivo de las x y su vértice con el origen del sistema cartesiano. El lado terminal del ángulo colocado en esta posición indicará el cuadrante al que pertenece dicho ángulo.

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11 El grado sexagesimal. Es el ángulo central que comprende un arco igual a la trescientos sesentava parte de un círculo cuyo centro es el vértice de dicho ángulo. Su símbolo (°). El grado sexagesimal posee 60 minutos y cada minuto 60 segundos. El radián. es el ángulo central que teniendo su vértice en el centro de un círculo, subtiende un arco de longitud igual a la que corresponde al radio de dicho círculo. Se representa (rad). Para transformar de grados a radianes se usa la relación: Nro. Rad x = n° Para transformar de radianes a grados se usa la relación: No x = Nro. rad. CLASES DE ÁNGULOS. Nulos, agudos, rectos, obtusos, complementarios, suplementarios, de cualquier magnitud, de una vuelta.

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13 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS.
El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama Seno del ángulo: • El cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama Coseno del ángulo: • El cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama Tangente del ángulo: • El cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto se llama Cotangente del ángulo:

14 El cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente se llama Secante del ángulo:
• El cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto se llama Cosecante del ángulo; Si se analizan las funciones del ángulo b se llegan a las siguientes conclusiones:

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17 FÓRMULAS

18 Fórmulas Variaciones

19 A estas parejas de funciones se las denomina cofunciones, dándose que; siendo a y b, ángulos complementarios una de las funciones de las parejas, es igual a la cofunción de su ángulo complementario. De esto se tiene que, si existe en alguna aplicación por ejemplo, esto es igual a ( x es el complemento). Con números; VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Se pueden hallar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60° por métodos sencillos y sin utilizar calculadora, si tomamos en cuenta la definición de las funciones y los valores de los lados de un triángulo equilátero (los 3 lados y sus tres ángulos son iguales) tenemos:

20 Si trazamos una bisectriz por un ángulo, este triangulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. La bisectriz es a su vez altura y mediatriz del lado opuesto. Separando un triángulo tenemos: Un triángulo rectángulo con sus lados y ángulos conocidos.

21 Calcular los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30 y 60. Ej:
Para las funciones de 45 usamos un triángulo rectángulo isósceles (los catetos son iguales y sus ángulos opuestos son iguales y miden 45) veamos: Ejemplos:

22 Se puede hacer práctica de la operatoria algebraica con los valores de las funciones trigonométricas por ejemplo: Halle el valor de la siguiente expresión: Este tipo de ejercicios se realizan efectuando las operaciones algebraicas con los valores de estas funciones así:

23 x Ctg Csc Tan Sec Sen Cos 1 + =
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES. Se derivan las siguientes identidades básicas llamadas identidades pitagóricas. identidades recíprocas : x Ctg Csc Tan Sec Sen Cos 2 1 + = identidades de cociente.

24 Sí consideramos un ángulo en posición estándar (algunos otros autores lo llaman posición normal) y escogemos un punto P de coordenadas (x,y) en el lado terminal del ángulo como se indica en la figura y si tomamos la distancia de O a P, d (OP) Entonces y  opuesto, x  adyacente r  hipotenusa, entonces tenemos que: Observando el grafico tenemos:

25 Estas expresiones nos dan un modelo sobre el cual basamos nuestra definición extendida para cualquier ángulo  en posición normal, tal como lo ilustramos a continuación:

26 Si consideramos a P como un punto (x,y) cualquiera distinto de (0,0), en el lado terminal del ángulo  en posición estándar, si es la distancia entre (0,0) y (x,y), entonces las seis funciones trigonométricas de  se definen: Los valores de las funciones trigonométricas dependerán exclusivamente del valor de , independientemente donde se escoja el punto P de coordenadas.

27 Del cuadrante en que este el lado terminal del ángulo dependerán los signos de las funciones trigonométricas. Recuerde que r es una distancia, por lo tanto siempre va a ser positiva. Existe una regla nemotécnica que permite recordar fácilmente los signos de las funciones trigonométricas de ángulos en los cuatro cuadrantes a saber:

28 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES.
Definición: El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe. Por ejemplo, el seno del número real , es simplemente, el seno del ángulo de  radianes (que como usted sabe, es Sen 30= ½). De esta manera, no hay en realidad nada nuevo al evaluar la función trigonométrica de un número real.

29 La circunferencia unitaria es muy útil para describir las funciones trigonométricas de los números reales. Como veremos mas adelante, de este resultado podemos obtener algunas propiedades importantes de las funciones seno y coseno. Debido al papel jugado por la circunferencia en este análisis, las funciones trigonométricas se refieren algunas veces a las funciones circulares. Ya que (x, y) está situado en la circunferencia unitaria, se deduce que: 1 x  1 y 1 y  1

30 De lo anterior podemos deducir que:
Dominio y Rango. Las observaciones anteriores indican que tanto Cos t y Sen t pueden ser cualquier número real del intervalo 1, 1. Así obtenemos las funciones seno y coseno. y Ambas con dominio en los números reales y como rango, el intervalo 1, 1. .

31 Fórmulas para la suma y resta de senos, cosenos y tangentes de dos ángulos.
Estas fórmulas las podemos aplicar tanto en la comprobación de identidades, así como a la solución de ecuaciones trigonométricas.

32 Fórmulas del ángulo doble.
Estas fórmulas no solamente se aplican cuando el ángulo tiene esta forma, sino que se las puede utilizar para otros ángulos que tiene la misma relación. Fórmulas de ángulo mitad.

33 . LEY DE LOS SENOS LEY DE LOS COSENOS

34 Áreas y perímetros de figuras geométricas

35 Volúmenes y áreas de figuras geométricas

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38 Bibliografía Wikipedia