@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 TEMA 4 * 3º ESO Polinomios.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 TEMA 4 * 3º ESO Polinomios

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 TEMA 4.8 * 3º ESO DIVISIÓN DE POLINOMIOS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor. EJEMPLO Sea 20.x 5 y 5.x 2 (20.x 5 ) : (5.x 2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4.x 3 EJEMPLO Sea 2.x 3 y 5.x (2.x 3 ) : (5.x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0,4.x 2 División de monomios

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS Las reglas operativas son : 1. ‑ Reducir dividendo y divisor. 2. ‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. 4. ‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. 5. ‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. 6.- Comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x). DIVISIÓN DE POLINOMIOS

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente. Se multiplica el primer término del cociente hallado por todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo. Obtenemos así un nuevo dividendo. Y se repiten las anteriores operaciones para conseguir los restantes términos del cociente. DIVISIÓN DE POLINOMIOS

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Ejemplo_1 a Sean: P(x) = 6.x 4 + 4.x 3 - 5.x 2 Q(x) = 2.x 2 Hallemos P(x) : Q(x) 6.x 4 + 4.x 3 - 5.x 2 6.x 4 4.x 3 5.x 2 ------------------------ = ------ + -------- - ------ = 2.x 2 2x 2 2.x 2 2.x 2 = 3.x 2 + 2.x - 5 / 2 El resultado es un polinomio, aunque el término independiente sea un número fraccionario.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Ejemplo_1 b Sean: P(x) = x 3 + 4.x 2 - 5 Q(x) = x Hallemos P(x) : Q(x) x 3 + 4.x 2 - 5 x 3 4.x 2 5 ------------------ = ---- + ------ + ---- = x 2 + 4.x – 5/x x x x x El resultado no es un polinomio. La razón es que el último término es una fracción algebraica, no numérica. El grado del último término es negativo (– 1) y en un polinomio el grado de todos y cada uno de los términos es entero y positivo, salvo el del término independiente que es 0.

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Ejemplo_2 de división de polinomios Sea P(x) = x 3 + 4.x 2 - 5 y Q(x) = x + 5 Hallemos P(x) : Q(x) 1.-Están ya ambos reducidos. 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. 3.- El dividendo es incompleto, luego hay que dejar hueco en el término de x. 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 x 3 + 4.x 2 - 5 x + 5 x 2 Pues x 3 : x = x 2 x 3 + 4.x 2 - 5 x + 5 - x 3 - 5.x 2 x 2 Pues se multiplica x 2. (x +5) Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 x 3 + 4.x 2 - 5 x + 5 - x 3 - 5. x 2 x 2 - x 2 - 5 Se repite las operaciones: x 3 + 4.x 2 - 5 x + 5 - x 3 - 5. x 2 x 2 – x + 5 - x 2 - 5 x 2 + 5.x - 5 5.x - 5 - 5.x - 25 - 30

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 5.- Como el resto ( - 30) es de grado menor que el divisor (x + 5) se habrá terminado la división. c(x) = x 2 - x + 5 r(x) = - 30 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).c(x)+r(x) x 3 + 4.x 2 - 5 = (x + 5).(x 2 - x + 5) + (-30) x 3 + 4.x 2 - 5 = x 3 - x 2 + 5.x + 5.x 2 - 5.x + 25 -30 x 3 + 4.x 2 - 5 = x 3 + 4.x 2 - 5

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 Ejemplo 3 de división de polinomios Sea P(x) = x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 y Q(x) = x 2 + 5 Hallemos P(x) : Q(x) 1.-Están ya ambos reducidos. 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO13 x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 x Pues x 3 : x 2 = x x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x Pues se multiplica x. (x 2 +5) Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO14 x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x 4.x 2 - 7.x + 5 Se repite las operaciones: x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x + 4 4.x 2 - 7.x + 5 - 4.x 2 - 20 - 7.x - 15

15 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO15 x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x + 4 4.x 2 - 7.x + 5 - 4.x 2 - 20 - 7.x - 15 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el dividor (x 2 + 5) se habrá terminado la división. C(x) = x+4 R(x) = - 7.x – 15 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)