MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. M.C.U

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1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. M.C.U
Se llama Circular Uniforme porque: CIRCULAR: Su camino o Trayectoria es una Circunferencia. UNIFORME: recorre distancias o espacios iguales en tiempos también iguales. SE REPRESENTA M.C.U Son ejemplos del M.C.U. el movimiento que realiza el segundero mecánico de un reloj, la elice de un ventilador, el movimiento del CD en un equipo de sonido, la rotación de la tierra sobre su eje.”: El estudio del Movimiento Circular Uniforme fue ampliamente expuesto por los Científicos: El Holandes Cristian Huygens ( ) y el Aleman Enrique Herz ( ).

2 Movimiento de Traslación
Movimiento de Rotación

3 Cuantos radianes tiene la circunferencia?
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME RADIAN: Se llama Radian al arco de longitud igual a un Radio. Un Radian 2 3 1 Cuantos radianes tiene la circunferencia? 0,2832 4 Radio 6 5 Luego: La circunferencia tiene 6,2832 Radianes 6,2832 = 2x3,1416 = 2xπ = 2π

4 La Circunferencia es Igual a 2π Radianes
RELACION ENTRE RADIANES Y GRADOS La Circunferencia en el sistema sexagecimal es igual a grados Π 2 90 3Π 4 Π 4 135 45 En el sistema Circular La Circunferencia es Igual a 2π Radianes La equivalencia de algunos angulos es. π 180 2π Para trasformar Grados a Radianes Utilizamos la Formula: Nr = Ng x π Ng= Numero de grados Nr=Numero de radianes 360 7Π 4 225 315 Para trasformar Radianes a Grados Utilizamos la Formula: Ng = Nr x Ng= Numero de grados π Nr=Numero de radianes 5Π 4 270 3Π 2

5 2 π 120° = 3 Ahora Simplificamos Ejemplo 1 2
Transformar grados a Radianes 10 30 60 Ng x π Nr = Nr = 120 x π Nr = 120 x π 180 180 180 90 Ahora Simplificamos 45 2 15 π 120° = 3 3

6 Ng = 300° 5 π/3 = 300° Ejemplo 2 Transformar 5 π/3 Radianes a Grados
Nr x 180 Ng = 5π/3 x 180 Ng = Ng = 5π x 180 π π 3 π Ng = 5 x 180 900 Ng = Ng = 300° 3 3 5 π/3 = 300°

7 El angulo de 60 grados en el sistema Circular corresponde a un angulo de.
π/6 Radianes π/2 Radianes π/3 Radianes π/4 Radianes

8 Uno de los arcos corresponde a un ángulo de 3π/4 Radianes aproximadamente.
1. 2. Uno Dos Tres Cuatro 4. 3.

9 El angulo de 7π/6 corresponde a un angulo en grados de.
180° 150° 210° 240°

10 PERIODO ( T ) E n el movimiento circular, se llama Periódo al tiempo que tarda el movil en dar una vuelta completa. Se representa con la Letra T . Mayúscula. Para calcular el Periodo lo podemos hacer mediante una de las siguientes formulas. t 1 T T = T = n N t = Tiempo n = número de vueltas N = Frecuencia 60 seg 24 horas 1 año 12 horas 60 min El periodo del segundero de Un reloj es igual a: El periodo del minutero de Un reloj es igual a: El periodo de la tierra en su movimiento de Rotación sobre su eje es. El periodo de la tierra en su movimiento de traslacion, al rededor del sol. es El periodo del horero de Un reloj es igual a:

11 El periodo de la tierra en su movimiento de rotación sobre su eje es
Un segundo Un día Un año Una hora

12 El periodo de la Luna en su movimiento alrededor de la tierra es
5 dias 15 días 28 dias 30 dias

13 El tiempo que tarda la tierra en dar una vuelta completa alrededor del sol es de.
24 Horas 60 segundos 365 Días 30 Días Aprox.

14 t EJEMPLO 1 T = t n T = t n EJEMPLO 2 T = n Un disco esta animado de M.C.U. y da 120 vueltas por minuto (R.P.M.). Calcular su periodo. Un disco de larga duración gira 33 R.P.M. Cuan será el valor del período.? 120 Vueltas 33 v 1 Min = 60 Segundos 1 Min = 60 Segundos Datos. Datos. n = 33 v n = 120 v t = 6 0 seg t = 6 0 seg T =? T =? T= T= T = 0,5 sg. T = 1,81 sg.

15 Un segundo Dos segundos Tres segundos Veinte segundos
El periodo de un disco en M.C.U es de 0,5 segundos, entonces cuando un estudiante afirma: en dar cuatro vueltas el disco tardaría. Un segundo Dos segundos Tres segundos Veinte segundos

16 FRECUENCIA Se llama Frecuencia al numero de Vueltas que da en un segundo y se la representa con la letra N. Los calculos se realizan mediante las siguientes expresiones. n n: Numero de vueltas N = t t: Tiempo 1 T: Periodo N = T UNIDADES DE LA FRECUENCIA ( N ). N Las unidades son: Vueltas / seg = Ciclos / seg = Herz

17 Ejemplo 1. Ejemplo 2. Un móvil en dar una vuelta completa gasta un tiempo de 0,04 segundos , calcular la frecuencia. Una rueda gira 180 r.p.m. Calcular su frecuencia. n = 180 vueltas t = 1 min = 60 segundos T = 0,04 segundos N =? N =? Datos Datos 0,04 seg 60 seg 180 v 1 N = n T N = t 1 N = N = N = 25 v/s = 25 Herz N = 3 v/s = 3 Herz

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19 DISTANCIA ANGULAR d (&)
Supongamos que el cuerpo gira en una circunferencia de radio R y pasa de la posición A a la posición B describiendo un angulo ϴ R A B ϴ La distancia angular d(&) d (&) Esta dada por la formula: ϴ x R d (&) = ϴ x R si ϴ esta medido en Radianes. d (&) = ϴx R x π si ϴ esta medido en grados. 180

20 ϴ ϴ = d (&) x 360º 2πR POSICION ANGULAR. (ϴ)
Nos permite determinar el angulo cuando el cuerpo se encuentra en un punto cualquiera del círculo de radio R y se representa por el simbolo ( ϴ ) El cuerpo ha pasado de la Posición A a la Posicion B El ANGULO ϴ es la POSICION ANGULAR ϴ B Es igual a la longitud del arco d (&) d (&) por 360º que tiene el circulo dividido por el PERIMETRO de la circunferencia = 2πR A R Matemáticamente se expresa: ϴ = d (&) x 360º 2πR 360 grados 2πR radianes

21 EJEMPLO EJEMPLO Un Trabajador desea saber que cantidad de alambre necesita para cercar un arco de un terreno circular que tiene 54 grados y un radio de 20 metros. Un satelite se encuentra circulando dentro del cinturon de la orbita Geo-estacionaria. Calcular la distancia recorrida por este satelite si el angulo ϴ = 30° ϴ = 54° R = 20m Datos. Datos. ϴ = 30° d (&) = ? d (&) ϴ R= 4x108 m R 54° 20 m d (&) = ϴx R x π 180 d (&) = 30°x 4x108 m x 3,1416 180 d (&) = ϴx R x π 180 Remplazamos d (&) = m d (&) = 54x 20 m x 3,1416 180 d (&) = kms d (&) = 18,84 m La distancia recorrida por el satelite cuando el angulo central es de 30° es de: kilometros. R/ El Trabajador debe comprar 18,4 m De alambre para cercar su terreno.

22 Tiempo que tarda en dar una vuelta completa.
VELOCIDAD ANGULAR T = Periódo Tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Un cuerpo con M.C.U pasa de la Posición A a la Posición B y gasta un tiempo t y además. Describe un ángulo ϴ ϴ Entonces lo hace con una velocidad angular ( W ), B Se define: 2π W = Si el angulo es mayor de 360° W T ϴ W = Si el angulo es menor de 360° Y el tiempo es muy corto t R A t = tiempo muy corto UNIDADES Las unidades con que se expresa la velocidad angular son: Radianes Grados W = W = Seg Seg

23 En primer lugar calculamos el periodo T
EJEMPLO EJEMPLO Un reloj gasta 10 segundos en recorrer un angulo de 40 grados. Cual es la velocidad angular? t = 10 seg Calcular la velocidad angular que tiene un movil con M.R.U, si da 4 vueltas en 8 segundos? W= ? ϴ = 40 ° n = 4v t = 8 seg W = ? DATOS DATOS Ahora calculamos la velocidad angular En primer lugar calculamos el periodo T t 8 seg T = T = 2 seg T = Como ϴ< 360° entonces utilizamos la formula. n 4 vueltas 2π 2π ϴ w = w = W = 2 seg T t Remplazamos Π radianes / seg 40 grados w = W = 10 seg w = 3, rad / seg Grados Seg W = 4

24 Esta expresión se puede escribir
EJEMPLO Cual será la velocidad angular que realiza un cuerpo al dar una vuelta al rededor del circulo? Al dar una vuelta el angulo ϴ = 2π radianes. Luego. DATOS Esta expresión se puede escribir ϴ = 2π radianes 1 N N = ---- t = T T W = ? 2π x 1 SABEMOS QUE ϴ 2π W = W = ---- W = ---- T T T 2π x 1 Remplazando tenemos W = T

25 Remplazando en la igualdad tenemos.
VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL ( V ) Cuando el segundero de un reloj da una vuelta completa, el vector velocidad habrá girado un angulo de 360° describiendo una circunferencia de longitud 2πR en un periódo T, y como la velocidad es constante y según lo visto en el M.R.U tenemos: UNIDADES DE LA VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL. Son las mismas unidades que se utilizan para la velocidad en el M.R.U m/s Cm/s p/sg 2πR T V d V = t C = d = 2πR 1 V = Pero N = ----- T t = T V =2πRN Pero W =2πN Remplazando tenemos. Remplazando en la igualdad tenemos. V = w.R

26 EJEMPLO. EJEMPLO. Un movil con M.C.U que tiene un radio de 40 cms, gasta 0,2 seg. En dar una vuelta completa. Cual será su velocidad lineal. Un disco esta animado de M.C.U y da 180 R.P.M cual será su velocidad lineal o tangencial, si el disco tiene un diametro de 4 cms. DATOS DATOS n = 180 v R = 40 cm R = 2 cm T= 0,2 seg N = ? V = ? V= ? n 180v 2πR N= N= N= 3 herz V = t 60seg T 2 x 3,1416 x 40 cm V = 2πRN V = 0,2 seg V = 2x3,1416x2cmx3 v/seg cm V =1256, V = 75,39 cms/seg seg

27 En primer lugar calculamos la FRECUENCIA N
EJEMPLO. Un disco de larga duración gira 33 R.P.M. Calcular su frecuencia, su velocidad angular y su velocidad lineal si el radio mide 30 cms. DATOS En primer lugar calculamos la FRECUENCIA N Finalmente calculamos la Velocidad lineal o Tangencial V= wxR Ahora obtenemos la velocidad angular W=2πN n = 33 vueltas R = 30 cm N = ? w= ? V= ? n 33 vueltas N= N= N= 0,55 herz t 60seg w = 2πN w = 2x3,1416 radx0,55 v/seg w = 3,45 rad/seg V =w x R V =3,45 rad/seg x 30 cms V = 103,5 cms/seg

28 ACELERACION CENTRIFUGA ( a (+))
ACELERACION CENTRIPETA O NORMAL ( aN) La aceleración centripeta o Normal aN se debe al cambio de dirección del vector velocidad tangencial, esta aceleracion siempre esta dirigida hacia centro del movimiento, razon por la cual su signo es negativo. ACELERACION CENTRIFUGA ( a (+)) La aceleración centrifuga es al misma aceleración centripeta, pero se diferencia porque siempre esta dirigida hacia afuera y su valor se lo considera Positivo, las formulas que se utilizan para sus calculos son las mismas que para la aceleración centrípeta. Esta aceleracion es producto de la tercera ley Newton . Ley de Accion y Reaccion que estudiaremos posteriormente. 2πR 2πR at Ec.2 Ec.1 T = V = V T a V - 2πV aN Ec.3 aN = at T - 4π2R - 2π 2πR x aN = aN = Hacemos operaciones. T POR DEFINICION. LA ACELERACION NORMAL SE DEFINE Hacemos operaciones. Y finalmente la formula para aN Ahora remplazamos la ecuación 1 en la ecuación 3 Finalmente remplazamos la ecuación 2 en la ecuación 3 T T De la Ecuación 1 despejamos el Periódo T SABEMOS QUE - 2πV - V2 aN = aN = 2πR V R

29 EJEMPLO Una piedra gira en un circulo que tiene de radio 2 metros y el giro completo lo hace en 4 segundos. Cual será el valor de la aceleración centripeta o normal.? R = 2 T = 4 aN = ? DATOS - 4 x 9,86 x 2 4,93 m 4 π2 R = aN = = T2 16 s2 El radio de la tierra es de 6400 km. Cual es la velocidad lineal y cual su aceleración centrípeta? DATOS km 2 x3,1416x6400 R= 6400 km 2 π R = 1675,52 V = = h 24 T T= 24 horas km -(1675,52)2 - v2 = - 438,65 V= ? aN = = h2 6400 R aN= ?

30 TRASMISION DE MOVIMIENTO CIRCULAR
Como hemos visto anteriormente, en todo movimiento circular se presentan dos velocidades, la velocidad lineal (V) y la velocidad angular (W) Teniendo en cuenta estas velocidades analicemos que sucede cuando el movimiento circular se trasmite de una rueda a otra. Lo haremos en dos casos. TRASMISION EN CIRCULOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS. TRASMISION EN CIRCULOS CONECTADOS.

31 TRASMISION EN CIRCULOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS
Suponga que dos cuerpos A y B estan pegados sobre un disco que gira con M.C.U. como muestra la figura. Al analizar el movimiento de los cuepos A y B que podemos decir de sus velocidades? A tiene mayor velocidad que B? Porque? B tiene mayor velocidad que A? Porque? A y B tienen la misma velocidad? Porque?

32 CONCLUSION. Vb > Va 2πR > 2πr T T Wa = Wb 2π = 2π T T R r ϴ
El cuerpo B tiene mayor Velocidad lineal V, ya que debe recorrer mayor distancia que el cuerpo A. Los cuerpos A y B tienen la misma Velocidad Angular W, ya que en cada punto barren el mismo angulo

33 EJEMPLO El circulo menor inscrito tiene un radio de 4 cms. el circulo mayor circunscrito tiene 10 cms. de radio, si su periodo es de 2 seg. Calcular. Las velocidades lineales y angulares de cada uno de ellos. DATOS V1= 2πR T R= 10 cm. V1= 2x3,1416x10cm 2 seg V1=31,41 cm seg r= 4 cm. T= 2 seg. V2= 2πr T V2= 2x3,1416x4cm 2 seg V2=12,56 cm seg V1= ? W1= V1 R W1= 31,41 cm/s 10 cm W1=3,141 rad seg V2= ? W1= ? W2= V2 r W2= 12,56 cm/s 4 cm W2=3,141 rad seg W2= ? V1 > V La V1 es dos y media veces mayor que la V2 W1 = W La W1 es IGUAL a W2

34 TRASMISION EN CIRCULOS CONECTADOS.
V1 = W1x R V1 = V2 Este movimiento se lo ve a diario en: fabricas, industrias, tornos, motores, bicicletas, etc. Aqui la rueda de Radio mayor R, trasmite su movimiento a la rueda de radio menor r o viceversa, debido a la tension de la cadena, la velocidad lineal de los bordes de las ruedas es IGUAL. Por tanto: V2 = W2x r SE SABE QUE: DESPEJANDO W1 Y W2 IGUALAMOS Todo movimiento circular, se puede trasmitir de un circulo a otro mediante el uso de cadenas, correas, engranajes REMPLAZAMOS W1= 2πN1 W1x R R = W2xr W2= 2πN2 W2 x r W1 x R 2π x N1 x R = 2π x N2 x r W1= W2 = r N1 x R = N2 x r

35 La rueda grande da 38,16 revoluciones.
EJEMPLO 1 Dos ruedas una de 8 cm. otra de 2 cm. de radio estan conectadas por una cadena, si la primera tiene una velocidad angular de 4 Rad/seg. Calcular: La velocidad angular de la rueda pequeña. Las frecuencias de las dos ruedas Cuantas R.P.M da cada rueda. 8 cm 2 cm DATOS R= 8 cm W2 = W1 x R r W2 =4 r/s x 8cm 2 cm W2 = 16 rad seg r = 2 cm 4 rad/seg W1= N1 = W1 2π N1 = 4 r/s 6,2832 r N1 = 0,636 Herz W2= La rueda grande da 38,16 revoluciones. La rueda pequeña da 152,76 revoluciones. ? N1= ? N2 = W2 2π N2 = 16 r/s 6,2832 r N2 = 2,546 Herz N2= ? r.p.m1= ? r.p.m1 = 0,636 x 60 = 38,16 r.p.m2= ? r.p.m2 = 2,546 x 60 = 152,76

36 EJEMPLO 2 Una bicicleta tiene una rueda de 20 cm de radio atras y otra de 40 cm. delante. Si el ciclista lleva una velocidad de 60 cm/s. Calcular: Las velocidades angulares de cada una. Las frecuencias de las dos ruedas Cuantas R.P.M da cada rueda. 40 cm 20cm DATOS R= 40 cm W1 = V1 r W1 = 60 cm/s 20 cm W1 = 3 rad seg r = 20 cm V1= 60 cm/s La rueda grande da 14,28 revoluciones, mientras que la rueda pequeña da 28,62 revoluciones W2 = V2 r W1 = 60 cm/s 40 cm W1 = 1,5 rad seg V2= 60 cm/s W1= ? N1 = W1 2π N1 = 3 r/s 6,2832 r N1 = 0,477 Herz W2= ? N1= ? N2 = W2 2π N2 = 1,5 r/s 6,2832 r N2 = 0,238 Herz N2= ? r.p.m1= ? r.p.m1 = 0,4776 x 60 = 28,62 r.p.m2= ? r.p.m2 = 0,238 x 60 = 14,28

37 EJERCICIOS 1 Dos poleas de 10 cm y 30 cm de radio respectivamente, se hallan conectadas por una correa, si la polea de radio menor gira a la velocidad de 12 ciclos/seg. Cuantas vueltas por minuto dará la segunda rueda. 5. Dos poleas de 5 y 12 cms de radio respectivamente, están conectadas por una cadena, la velocidad angular de la menor es de 0,8 radianes por segundo, cual es la velocidad angular de la rueda mayor. 2. Dos poleas de 15 cm y 20 cm de radio respectivamente giran conectadas por una banda. Si la frecuencia de la polea de menor radio es de 28 Hertz. Cual será la frecuencia de la polea de radio mayor. 6. El circulo menor inscrito tiene un radio de 2 cms. el circulo mayor circunscrito tiene 6 cms. de radio, si su periodo es de 0,5 seg. Calcular. Las velocidades lineales y angulares de cada uno de ellos. 3. Un disco gira a 78 rpm y tiene un radio de 4 centímetros. Calcular: su frecuencia, periodo, velocidad angular, velocidad lineal y aceleración centrípeta. 7. Una bicicleta tiene una rueda de 35 cm de radio atrás y otra de 45 cm. delante. Si el ciclista lleva una velocidad de50 cm/s. Calcular: Las velocidades angulares de cada una. Las frecuencias de las dos ruedas Cuantas R.P.M da cada rueda. 4. Dos ruedas, una de Radio 18 cms y otra de radio 7 cms están conectadas por una cadena, si la polea de radio menor tiene un periodo de 0,5 segundos, cual es el periodo y frecuencia de la polea de radio mayor.

38 AUTOEVALUACION Que es radian? Que es velocidad angular? Cuales son las unidades de la velocidad angular? Que es velocidad lineal o tangencial? Cuales son las unidades de la velocidad lineal o tangencial? Que es frecuencia? Cuales son las unidades de la frecuencia? Que es periodo? Cuales son las expresiones que sirven para obtener el periodo? Que se hace para pasar directamente la frecuencia a rpm? Que es posición angular? Que es distancia angular? En que consiste la trasmisión de movimiento circular? Que se hace para pasar directamente la r.p.m a frecuencia?