EL MÉTODO DE LA SECANTE Y SECANTE MODIFICADA

Presentación del tema: "EL MÉTODO DE LA SECANTE Y SECANTE MODIFICADA"— Transcripción de la presentación:

1 EL MÉTODO DE LA SECANTE Y SECANTE MODIFICADA
Métodos Abiertos

2 El Método de la Secante Se deriva del método de Newton-Raphson
Se aproxima la derivada mediante diferencia finita dividida hacia atrás

3 Fórmula de la Secante Se obtiene la fórmula de la secante:
Se observa que este método requiere 2 valores iniciales de x. Sin embargo, no se necesita que f(x) cambie de signo, por lo que no es un método cerrado.

4 Algoritmo para la Secante
1) Se dan 2 valores: Xi y Xi-1 2) Se calcula f(xi) y f(xi-1) 3) Se obtiene Xi+1 mediante la fórmula de la secante 4) Se vuelve al paso 2 para encontrar una nueva raíz

5 Diferencia entre Secante y Falsa Posición
Si recordamos la fórmula de la falsa posición: Y vemos la fórmula de la secante:

6 Diferencia entre Secante y Falsa Posición
Se diferencian por la forma en que uno de los valores iniciales se reemplaza con la aproximación.

7 Ejemplo del Método de Secante
Problema 6.5 (Chapra, Canale): Determine la menor raíz real de: a) Gráficamente b) Usando el método de la secante para un valor de Es con tres cifras significativas

8 Resolución Problema 6.5 a) Gráficamente x y -1 30.5 -0.5 4.56 -11 1
-11 1 -18.5 2 -7 3 8.5 4 13 5 -8.5

9 Resolución Problema 6.5 b) Por el método de la secante (Es<0.05%)
Iteración xi-1 xi xi+1 Es(%) 1 -1 - 2 35.7 3 8.7 4 0.52 5 0.004

10 Método de la Secante Modificado
Se aproxima la derivada de la función con un método de cambio fraccionario de la variable. Se reemplaza en la ecuación de Newton-Raphson

11 Fórmula de la Secante Modificada
Con lo que se obtiene la fórmula de la secante modificada: Nótese que ahora solo se requiere un valor de x inicial y el valor del cambio fraccionario.

12 Ejemplo del Método de Secante Modificado
Problema 6.7 (Chapra, Canale): Calcule la raíz real de x3.3=79, con el método de la secante modificado que cumpla con Es=0.1%. Intente diferentes valores de δ y analice los resultados.

13 Resolución Problema 6.7 Para δ=0.01 x=3.758707344 Iteración xi xi+δxi
3.5 3.535 3.7803 - 2 3.8181 3.7589 0.5 3 3.7964 3.7587 0.005

14 Resolución Problema 6.7 Para δ=0.1 x=3.758707344 Iteración xi xi+δxi
3.5 3.85 3.7723 - 2 4.1495 3.7592 0.3 3 4.1351 3.7587 0.01

15 Ejemplo Programado en MatLab …