Resolución de Sistemas Lineales

Presentación del tema: "Resolución de Sistemas Lineales"— Transcripción de la presentación:

1 Resolución de Sistemas Lineales
Métodos directos

2 Generalidades

3 Sistemas fáciles de resolver
Matrices diagonales Matrices triangulares inferiores Matrices triangulares superiores

4 Métodos Directos: Eliminación de Gauss
Triangularización operaciones elementales Sustitución hacia atrás

5 Fase de Reducción

6 Reducción para EG

7 Eliminación de Gauss

8 Resolver todo por reducción

9 Pivoteo Permutar filas (equivale a premultiplicar A por una matriz P)
fila pivote p Dividir por números pequeños también puede amplificar los errores numéricos Guardar un vector de permutación

10 Ejemplo: necesidad de pivoteo en EG

11 Conclusión Se hubiera obtenido lo mismo partiendo de:

12 Normalización (escalado)

13 Método de Gauss-Jordan

14 Alternativas: EG – desc LU

15 Factorización LU

16 Ejemplo

17 Algoritmo de factorización LU

18

19 Método de Factorización QR
A=QR Q: ortogonal R: triangular superior Q-1 = QT A x = b QR x = b Q y = b => y = QT b R x = y ¿Cómo efectuar la descomposición QR?

20 Características de Q Las columnas de Q forman un conjunto ortogonal de vectores Un conjunto de vectores es ortogonal si y sólo si cada par u,v tal que uv verifica que (u,v) = 0

21 CM: Encontrar la solución de:

22 Calculo de inversas

23 Sistemas lineales especiales

24 Factorización de Choleski

25 Factorización de Choleski
Esto es posible siempre que A sea: Simétrica Definida positiva Es decir:

26 Teorema: factorización de Choleski

27 Cálculo de los elementos de M

28 Evaluación de determinantes
Teorema: sobre cómo afectan al determinante las operaciones elementales entre filas

29 Teorema

30 Ejemplo

31 Observar:

32 Lectura obligatoria Gerald págs