Andrés Camilo Suárez Leaño 17/06/2015

Presentación del tema: "Andrés Camilo Suárez Leaño 17/06/2015"— Transcripción de la presentación:

1 Andrés Camilo Suárez Leaño 17/06/2015
FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA Aplicaciones de la Ecuación de Schrödinger Andrés Camilo Suárez Leaño 17/06/2015

2 Ecuación de Schrodinger
La ecuación de Schrödinger, desarrollada por el físico austríaco Erwin Schrödinger en 1925, describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las partículas microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.

3 Con el avenimiento de la mecánica cuántica en 1927, se articularon la hipótesis de Louis de Broglie y el principio de indeterminación de Heisenberg.  Para aplicar el carácter ondulatorio del electrón, se define una función de onda, y, y utilizando la ecuación de onda de Schrödinger, que matemáticamente es una ecuación diferencial de segundo grado, es decir, una ecuación en la cual intervienen derivadas segundas de la función Y : Al resolver la ecuación diferencial, se obtiene que la función y depende de una serie de parámetros, que se corresponden con los números cuánticos, tal y como se define en el modelo atómico de Bohr. La ecuación sólo se plasmará cuando esos parámetros tomen determinados valores permitidos (los mismos valores que se indicaron para el modelo de Bohr).  Por otro lado, el cuadrado de la función de ondas y2, corresponde a la probabilidad de encontrar al electrón en una región determinada, con lo cual se está introduciendo en el modelo el principio de incertidumbre de Heisenberg.Por ello, en este modelo aparece el concepto de orbital (región del espacio en la que hay una alta probabilidad de encontrar al electrón) No debe confundirse el concepto de orbital con el de órbita, que corresponde al modelo de Bohr: una órbita es una trayectoria perfectamente definida que sigue el electrón, y por tanto es un concepto muy alejado de la mecánica probabilística.

4 Ecuación de Schrödinger caso: Electrón Libre
Aunque la ecuación de Schrödinger no puede ser derivada, se puede demostrar que es consistente con los experimentos. La prueba más válida de un modelo es si describe fielmente el mundo real. La naturaleza ondulatoria del electrón, ha sido claramente demostrada como en el experimento de Davisson-Germer y otros. Esto plantea la pregunta de "¿Cuál es la naturaleza de una onda?". Respondemos en retrospectiva, diciendo que la onda es la función de onda del electrón. A partir de la expresión para una onda de propagación en una dimensión, se puede realizar la conexión con la ecuación de Schrödinger. Este proceso hace uso de la fórmula de De Broglie entre la longitud de onda y el momento, y la fórmula de Planck entre la frecuencia y la energía.

5 Es más fácil mostrar la relación con la ecuación de Schrodinger, generalizando esta función de onda a una forma exponencial compleja, mediante la fórmula de Euler. Esta es la forma estándar de la función de onda de una partícula libre. Si ahora se toman las derivadas parciales de esta función de onda con respecto a la posición y el tiempo, se puede demostrar que estas derivadas están relacionadas con el momento y la energía, respectivamente. Cuando una operación sobre una función devuelve una constante multiplicada por la función, esa constante se denomina valor propio, y la función es una función propia. Las fórmulas anteriores pueden reordenarse como sigue.

6 Es costumbre desarrollar los "operadores" de la mecánica cuántica, para los correspondientes observables físicos. La conexión con la ecuación de Schrödinger puede llevarse a cabo, examinando las expresiones de energía de ondas y partículas: Aceptando la equivalencia de estas dos expresiones de la energía, y poniéndolas en ambos operadores de la mecánica cuántica, nos lleva a la ecuación de Schrodinger

7 Ecuación de Schrodinger Caso: Pozo de Potencial Infinito
El pozo de potencial infinito es un tópico en la mecánica cuántica, uno de los primeros problemas que se enseñan a los estudiantes de Física Cuántica. Enunciado de forma más intuitiva, este problema no es otra cosa que una partícula dentro de una caja para la que no actúa ninguna otra fuerza (como la gravedad) mas allá de las que ejercerán la paredes de la caja cuando cuando la partícula se acerque a ellas, haciendo imposible que se salga de la caja. El hecho de no haber considerado la gravedad o un modelo más realista de la fuerza (o, equivalentemente, del potencial del que deriva la fuerza) ejercida por las paredes tiene la única función de hacer el problema más sencillo de resolver; sin embargo, otro más realista llegará a conclusiones muy similares a las estudiada en este. La solución de la ecuación de Schrödinguer (mediante la cual "habla" la teoría de la mecánica cuántica) a este problema nos mostrará, además de otras cosas más sutiles, que la partícula dentro de una caja no puede tener cualquier energía, sino que dichos valores posibles se encontran "cuantizados". Es decir, que el valor de la energía total que tiene la partícula no puede ser cualquiera, sino que siempre (que un observador lo mida) podrá únicamente tener determinados valores singulares que dependerán de las dimensiones de la caja, sin importar nada más.

8 Un pozo de potencial infinito, en general, tiene la pared izquierda en un punto x=a y la derecha en x=b, (a<b). Esta información es equivalente a decir que la pared izquierda se encuentra en el punto a y que el pozo tiene anchura L. La relación entre ambas, claramente, es L=b-a. Normalmente, cuando se plantea este problema se deja como variable únicamente la anchura del potencial, pero no su posición en el eje de coordenadas, a menudo impuesta por el enunciado del problema. En tal caso, las dos opciones por excelencia son que el pozo se encuentra centrado en el origen, con la pared izquierda en x=-L/2 y la derecha en x=L/2, o bien que tiene una pared en x=0 y otra en x=L. Dichas elecciones, como veremos, tienen repercusión sobre las funciones matemáticas necesarias para describir la función de onda solución, aunque las energías permitidas, como cabe esperar, solo dependerán de cuál es la anchura del pozo, y no del hecho que artificialmente y como instrumento matemático "coloquemos" un eje de coordenadas paralelo al pozo de potencial y de que a alguno de sus puntos le llamemos x=0. Resolvamos la ecuación de Shrödinguer independiente del tiempo

9 Fuera del pozo, la función de onda debe ser igual a cero ya que, por hipótesis, al decir que la altura del pozo es infinita, queremos indicar que es completamente seguro que las partículas no pueden atravesar dichas barreras de potencial. Dado que la función de onda es una función continua, por muy poco que nos alejemos de a por la izquierda o de b por la derecha el valor de la función será igual a cero, por lo que también debe serlo en los extremos a y b para que se trate de una función continua. Sin embargo, a muy poco que nos introduzcamos dentro del pozo, la función de onda tomará otros valores distintos de cero. Resolvamos la ecuación de Schrödinguer dentro del pozo, donde U(x)=0: Dado que hemos decidido tomar a y b genéricos, lo más sencillo es usar una solución general de esta ecuación difierencial en términos de exponenciales complejas. donde hemos definido