Capítulo 2: Oligopolio Referencia: Game Theory with economic applications H. Scott Bierman & Luis Fernández.

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1 Capítulo 2: Oligopolio Referencia: Game Theory with economic applications H. Scott Bierman & Luis Fernández

2 Oligopolios y la teoría de juego
La interdependencia en la toma de decisiones de las empresas en un oligopolio hace necesario utilizar herramientas de teoría de juego. A continuación emplearemos tres modelos de los cuales utilizan conceptos de teoría de juego. Estos son: Modelo de Cournot Modelo de Bertrand Modelo de Baumol, Willig y Panzar

3 Modelo de Cournot Agustín Cournot fue uno de los primeros economistas matemáticos en desarrollar un modelo diseñado para explicar como las empresas seleccionan sus niveles de producción. En el modelo de Cournot, el margen de ganancias de las empresas depende de lo que hacen las otras empresas. Aunque el modelo de Cournot precede la invención de la teoría de juego, fue un importante precessor de los trabajos de Neumann, Morgenstein, Nash, et al. A continuación presentamos una reformulación del modelo de Cournot, utilizando la teoría de juego.

4 Supuestos del modelo El precio esta determinado por la producción total de todas las empresas participantes de la industria. Ninguna empresa controla directamente el precio del producto. Todas las empresas producen el mismo tipo de producto. La mercancía aparece simultáneamente en el mercado. El precio disminuye a medida que aumentamos la producción. Asumimos que existen dos empresas (un duopolio).

5 Modelo de Cournot para un duopolio de camarones (producción en miles de libras de camarones)
Precio = 1.90 – 0.10 QT si 0 ≤ QT ≤19 Precio = 0 si QT >19 (2) QT = QSancho + QPanza (3) Costo Total = Qi donde i = Sancho, Panza Por lo tanto, el costo marginal es igual a 1. (4) Gananciai = Ingreso Total – Costo Total Gananciai = {precio x cantidad} – Qi Gananciai = {1.90 – 0.10 QT} Qi – Qi

6 Modelo de Cournot para un duopolio de camarones continuación
A continuación utilizamos la función de ganancia de una de las empresas para indicar como el nivel de producción depende del nivel de producción de la otra empresa. Gananciasancho = {1.90 – 0.10 (Qsancho + Qpanza)} Qsancho – Qsancho Despejar para Qpanza = 1.90 Qsancho – 0.10Q2sancho Qpanza Qsancho – Qsancho (Para simplificar Qsancho = Qs y Qpanza Qp, πs = Gananciasancho)

7 Modelo de Cournot para un duopolio de camarones continuación
Gananciasancho = 1.90 Qsancho – 0.10Q2sancho Qpanza Qsancho – Qsancho πs = 1.90 Qs – Qs Qs2 – 0.10 QsQp πs = 0.90 Qs – 0.10Qs2 – 0.10 QsQp πs Qs Qs2 = QsQp Dividir por - .10Qs ambos lados - πs Qs Qs2 = Qp 0.10 Qs

8 Modelo de Cournot para un duopolio de camarones continuación
- πs Qs Qs2 = Qp 0.10 Qs -πs Qs Qs2 = Qp 0.10 Qs 0.10 Qs 0.10 Qs πs Qs Qs2 = Qp Notar que 0.10 = 1/10 . Por lo tanto 1/ 0.10 = 1/ 1/10 = 10

9 Modelo de Cournot para un duopolio de camarones continuación
9 - 10πs/ Qs – Qs = Qp Por lo tanto, el nivel de producción de Qp depende del nivel de producción de Qs. Dado que existe una relación entre ambas empresas, tenemos que determinar cual es la mejor respuesta posible . Regresemos a la función de ganancias πs = 0.90 Qs – 0.10Qs2 – 0.10 QsQp

10 Modelo de Cournot para un duopolio de camarones continuación
Derivamos la función de ganancias ( πs) con respecto a Qs y lo igualamos a cero, como condición de primer grado para un máximo. δπs/ δQs = 0.90 – 0.20Qs – 0.10 Qp = 0 Despejamos para Qs 0.90 – 0.10Qp = 0.20 Qs Dividir ambos lados por Qp = Qs Tenemos la mejor respuesta para Qs

11 Modelo de Cournot para un duopolio de camarones continuación
Por simetría, la mejor respuesta para la otra empresa es: Qs = Qp Sustituimos esta expresión en la mejor respuesta de Qs y tenemos lo siguiente: Qp = Qs ( Qs) = Qs

12 Modelo de Cournot para un duopolio de camarones continuación
Despejamos para Qs 4.5 – Qs = Qs Qs = Qs 2.25 = Qs - .25Qs 2.25/ .25 = Qs 3 = Qs El nivel de producción óptimo que representa la mejor respuesta es producir 3 (3 mil camarones)

13 Modelo de Cournot para un duopolio de camarones continuación
Representación gráfica Si representamos gráficamente la mejor respuesta de ambas empresas, podemos obtener la respuesta buscando el punto de intersección. 1er paso: representar la mejor respuesta de cada empresa 2ndo paso: buscar el punto de intersección

14 Modelo de Cournot para un duopolio de camarones continuación
(en miles de libras) Qp 9 Qs = Qp la mejor respuesta de Qs 4.5 3 Qp= Qs la mejor respuesta de Qp Qs (en miles de libras) 9 3 4.5

15 El modelo de Cournot y la competencia perfecta
Anteriormente asumimos la presencia de dos empresas. Veamos a continuación lo que sucede a medida que aumenta en número de empresas. Regresemos a la función de ganancias: Gananciai = {1.90 Qi – 0.10 QT }Qi – Qi Esta expresión se simplifica a: Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 QTQi Si QT =9 tendríamos lo siguiente: Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 (9) Qi = 0 Por lo tanto, si QT ≥ 9, no hay ganancias económicas.

16 El modelo de Cournot y la competencia perfecta continuación
Por lo tanto, QT < 9 Podemos representar QT de la siguiente manera: QT = Qi + Qk Donde k son todas la demás empresas menos la empresa I Por lo tanto la función de ganancia se puede reescribir de la siguiente forma: Gananciai = 1.90 Qi – 0.10 QTQi – Qi Gananciai = 1.90 Qi – 0.10 (Qi+ Qk )Qi – Qi Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 (Qi+ Qk )Qi

17 El modelo de Cournot y la competencia perfecta continuación
Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 Qi Qk Qi Notar lo siguiente: Si Qk ≥ 9 no hay ganancias económicas Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 Qi (9)Qi Gananciai = – 0.10 Qi 2 Regresemos a la función de ganancias Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 (Qi+ Qk )Qi Gananciai = 0.90 Qi – 0.10 Qi Qk Qi Derivar con respecto a Qi δπ/ δQi = .9 – 0.20Qi – 0.10 Qk

18 El modelo de Cournot y la competencia perfecta continuación
Igualamos a cero como condición de primer orden para un máximo δπ/ δQi = .9 – 0.20Qi – 0.10 Qk = 0 Despejamos para Qi .9 – 0.10 Qk = 0.20Qi Multilicamos por 10 ambos lados 9 – Qk = 2 Qi Dividimos por 2 ambos lados 9 – Qk = Qi 2 Ahi tenemos la mejor respuesta para la empresa Qi

19 El modelo de Cournot y la competencia perfecta continuación
Recordar que Qk son las otras empresas además de la empresa Qi . Por lo tanto Qk se puede reescribir de la siguiente forma: Qk = (N-1)Qi Dado que existe una simetría en la mejor respuesta de cada empresa (la mejor respuesta es la misma para cada empresa), es posible reescribir la mejor respuesta de la siguiente forma: 9 – Qk = Qi 2 9 – (N-1)Q* = Q* Despejamos para Q*

20 El modelo de Cournot y la competencia perfecta continuación
9 – (N-1)Q* = 2Q* 9 – NQ* + Q* = 2Q* 9 = 2Q* + NQ* - Q* 9 = Q* + NQ* 9 = Q* (1 + N) Dividimos ambos lados por (1+N) 9/ (1+N) = Q* Es la producción de cada empresa Mientras que la producción de toda la industria es igual a 9N/ (1+N) = NQ*

21 El modelo de Cournot y la competencia perfecta continuación
A medida que aumentamos el número de empresas (aumentamos el número de N), tenemos lo siguiente: Usando el concepto del límite lim 9{N/(1+N} N→∞ 9{∞/(1 + ∞)} = 9 Dado que el precio es dado por la siguiente expresión: P = 1.90 – 0.10 QT Si QT = 9 P = 1.90 – 0.10 (9) = 1 El precio es igual al costo marginal. Es decir, el precio es igual a un precio competitivo.

22 Observaciones finales del modelo de Cournot
La producción de toda la industria es igual a 9N/ (1+N) = NQ* Si N = 1 → monopolio 9(1)/ (1+(1)) = (1) Q* 4.5 = 9/ 2 = Q* Si tenemos un duopolio (N =2) 9(2)/ (1 + (2)) = (2)Q* 18/ 3 = 2Q* 6 = 2Q* 3 = 6/2 = Q* Cada empresa produce 3 unidades

23 Resumen del procedimiento a seguir para determinar la mejor respuesta
1er paso: Usar la función del precio para obtener el Ingreso Total → Precio = f(Qi , Qk) Ingreso Total para la empresa i → f(Qi , Qk) Qi 2ndo paso: Obtener la función de ganancia para la empresa i Ganancia = Ingreso Total – Costo Total → π(Qi , Qk ) = f(Qi , Qk) Qi – CT (Qi ) 3er paso: Derivar la función de ganancias con respecto al nivel de producción e igualar a cero → δπ/δQi = 0 4to paso: Despejar para Qi para obtener la mejor respuesta.

24 Resumen para obtener el nivel de producción óptimo
1er paso: Una vez obtenemos la mejor respuesta de la empresa i, obtenemos por simetría la mejor respuesta de la empresa k, solamente que cambiamos los símbolos. Por ejemplo: Si la mejor respuesta de la empresa i es la siguiente expresión a – b Qk = Qi Entonces, la mejor respuesta de la empresa k es a – b Qi = Qk 2ndo paso: Sustituir la mejor respuesta de la empresa k en la expresión de la empresa i a – b {a - b Qi} = Qi

25 Resumen para obtener el nivel de producción óptimo
3er paso: Despejar para Qi a – b {a - b Qi} = Qi a – ab + b2 Qi = Qi a – ab = Qi - b2 Qi a – ab = Qi 1 - b2 Por simetría tenemos el nivel de producción que tienen todas las empresas (Qi = Qk)

26 Ejemplo numérico Tenemos dos aerolíneas Coqui Airlines (CA) y Alcapurria Airlines (AA), con ruta de San Juan a Orlando. Cada día tienen que decidir en el número de pasajes ofrecer a descuento. El precio de descuento depende del número de asientos ofrecidos por la aerolínea Coqui (Sc) y la aerolínea Alcapurria (Sa), según la siguiente ecuación: P = $200 - $0.10(Sc + Sa) El costo marginal de viajar un pasajero en esta ruta es dado por la siguiente ecuación: Costo marginal = $100

27 Ejemplo numérico Determinar lo siguiente :
La función de ganancias para cada aerolínea. La mejor respuesta para cada empresa El equilibrio Nash ( el número de pasajes a descuento que venderá cada empresa y el precio que prevalecerá)

28 (A) La función de ganancias para cada aerolínea.
Respuesta: La función de ganancias de la empresa Coqui Airlines es la siguiente: πsc = Ingreso Total – Costo Total πsc = (Precio x cantidad) – (CM x cantidad) [comentario: Cuando el costo marginal (CM) es constante y no hay costo fijo, el Costo Total es igual a CM multiplicado por la cantidad] πsc = {200 – 0.10(Sc + Sa)}Sc – 100 Sc πsc = 200 Sc – 0.10 Sc Sa Sc – 100 Sc πsc = 100 Sc – 0.10 Sc 2 – 0.10 Sa Sc

29 (A) La función de ganancias para cada aerolínea.
Respuesta: La función de ganancias de la empresa Alcapurria Airlines es la siguiente: πsa = Ingreso Total – Costo Total πsa = (Precio x cantidad) – (CM x cantidad) [comentario: Cuando el costo marginal (CM) es constante y no hay costo fijo, el Costo Total es igual a CM multiplicado por la cantidad] πsa = {200 – 0.10(Sc + Sa)}Sa – 100 Sa πsa = 200 Sa – 0.10 Sa Sa Sc – 100 Sa πsa = 100 Sa – 0.10 Sa 2 – 0.10 Sa Sc

30 (B) La mejor respuesta para cada empresa
πsc = 100 Sc – 0.10 Sc 2 – 0.10 Sa Sc Busco la derivada con respecto a Sc, e igualo a cero como condición de 1er orden para un max. δπ Sc /δSc = 100 – 0.20 Sc – 0.10 Sa = 0 Despejo para Sc 100 – 0.10 Sa = 0.20 Sc 500 – 0.5 Sa = Sc Es la mejor respuesta de la Empresa Coqui Airlines Por simetría, la mejor respuesta de la Empresa Alcapurria Airlines es la siguiente 500 – 0.5 Sc = Sa

31 (c) El equilibrio Nash Para obtener el equilibrio Nash, sustituyo la mejor respuesta de una empresa en la mejor respuesta de la otra empresa. 500 – 0.5 Sa = Sc 500 – 0.5 [500 – 0.5 Sc] = Sc Despejar para Sc 500 – Sc = Sc = Sc Sc = 0.75 Sc 250/0.75 = Sc = Sc Por simetría = Sa

32 (c) Equilibrio Nash continuación
Dado que Sc = Sa = Sc + Sc = = 667 Sustituye en la función de precio P = $200 - $0.10(Sc + Sa) P = $200 - $0.10 (667) P = $200 - $67 = $133

33 Recordar lo siguiente Función de ganancias = Ingreso total – costo total Ingreso Total = Precio x cantidad ( (Sc + Sa)) x Si i = c, a El costo marginal es la derivada de la función de costo total con respecto a la producción o cantidad. Es decir, Costo marginal = δCosto Total/ δSi i = c, a Si el costo marginal = δCosto Total/ δSi = z Entonces, el Costo total = zSi i = c, a (No hay costo fijo)

34 Recordar lo siguiente Para buscar la mejor respuesta derivar la función de ganancias con respecto al nivel de producción e igualar a cero → δπ/δSi = 0 Y luego despejar para Si para obtener la mejor respuesta. Para buscar un simple derivada recuerda estas simples reglas: y = f(x) = xa → δy/δx = axa-1 y = f(x) = dxa →δy/δx = adxa-1

35 Recordar lo siguiente Ejemplos de algunas derivadas y = f(x) = x2 → δy/δx = 2x y = f(x) = 3x2 →δy/δx = (2)3x = 6x y = f(x) = zx →δy/δx = z Observar lo siguiente: si y = f(x) = zx1 →δy/δx = 1zx1-1= 1zx0 = z

36 Recordar lo siguiente Para buscar el equilibrio Nash, recuerda que una vez obtengas la mejor respuesta para la empresa i ( i = c, a), tenemos simetría. Sustituye y despeja para obtener el valor de la cantidad para cada empresa.

37 El modelo de Bertrand Joseph Bertrand desarrollo un modelo de oligopolio donde las empresas seleccionan su propio precio. El modelo tiene los siguientes supuestos básicos: En este modelo, cada empresa anuncia su precio sin saber el precio que cada empresa va a seleccionar. Los costos de producción de cada empresa son conocimiento común. Cada empresas ofrece el mismo producto. No hay diferenciación por marca. En el caso de un duopolio, si una empresa fija un precio por debajo de su competidor se lleva todo el mercado.

38 Equilibrio Nash en el modelo de Bertrand.
En el cado de un duopolio, si una empresa vende el mismo precio que su competencia, se llevará la mitad del mercado. Le conviene vender un poquito por debajo de su competencia para así llevarse el mercado completo. Pero cada empresa sabe que la mejor respuesta es vender un poco por debajo de su competencia. Por lo tanto, ambas empresas terminan ofreciendo el producto a un precio igual al costo marginal.

39 Equilibrio Nash en el modelo de Bertrand – ejemplo numérico
Costo marginal para cada empresa: $0.25 Si la empresa Taino ofrece pastelillos a $1, la empresa Caribe ofrece pastelillos a $0.99 y se lleva el 100% del mercado. Si la empresa Taino ofrece pastelillos a $0.50, la empresa Caribe ofrece pastelillos a $0.49 y se lleva el 100% del mercado, … Finalmente, la empresa Taino ofrece pastelillos a $0.25, la empresa Caribe ofrece pastelillos a $0.25 y se lleva cada una el 50% del mercado. Como la empresa Taino sabe que la mejor respuesta de la empresa Caribe es ofrecer su producto a un precio un poco por debajo de su precio, sabe que la mejor respuesta ante este escenario es ofrecer su producto a un precio igual al costo marginal.

40 Modelo de Bertrand con restricción en capacidad
Un caso especial del modelo de Bertrand es cuando asumimos que existe una restricción en la capacidad de las empresas, de tal manera que ninguna empresa tiene la capacidad de suplir todo el mercado existente. Supongamos que hay dos empresas en un oligopolio con la siguiente restricción en la capacidad: Ci = 0.25 Qi para 0 ≤ Qi ≤ 0.5 = ∞ para Qi > 0.5 Es decir, si la empresa produce entre 0 y 0.5 unidades del producto (donde 1 = mil)

41 Modelo de Bertrand con restricción en capacidad
Supongamos que las empresas enfrentan la siguiente función de precios: P = 2.00 – (Qbacalao + Qsalmón) si Qbacalao + Qsalmón) ≤ 2 = 0 si Qbacalao + Qsalmón) >2 Finalmente, supongamos que cada empresa fija los siguientes precios: Empresa Bacalao = $1.20 Empresa Salmón = $1.30

42 Modelo de Bertrand con restricción en capacidad
Dado que la Empresa Bacalao vende más barato, los consumidores inicialmente van a esta empresa. La demanda inicial para esta empresa es de 0.8 ¿De donde sale ese 0.8? P = Qbacalao Sustituimos $1.20 en el precio (P) 1.20 = Qbacalao Qbacalao = 2.00 – 1.20 = 0.8 Pero como existe una restricción en la capacidad de 0.5, terminamos con un exceso de demanda. Este sobrante lo termina supliendo la empresa Salmón.

43 Modelo de Bertrand con restricción en capacidad – análisis gráfico
Precio $1.20 Esceso de demanda Cantidad de la empresa Bacalao 0.5 0.8

44 Modelo de Bertrand con restricción en capacidad – perspectiva de la empresa Salmón
Si la empresa Salmón fija el precio en $1.30, solamente puede vender 0.2 ¿De donde sale este resultado? Psalmón = 2.00 – Qsalmón Sustituimos Psalmón = = Qsalmón Qsalmón =2.00 – 1.30 = 0.7 Dado que la Empresa Bacalao ya vende 0.5, el sobrante lo suple la Empresa Salmón. (0.7 – 0.5=0.2)

45 Modelo de Bertrand con restricción en capacidad – ¿Cuál es la estrategia dominante?
La Empresa Bacalao tiene tres escenarios de precios para considerar: $0.25 ≤ Pbacalao ≤$1.00 $1.00 < Pbacalao ≤$1.50 Pbacalao < $1.50 Si la Empresa fija su precio entre $0.25 y $1, habrá exceso de demanda, debido a la restricción de capacidad. Por ejemplo, si Pbacalao = $1.00 Entonces, Pbacalao = 2 – Qbacalao 1 = 2 – Qbacalao Qbacalao = 2 – 1 = 1→ Tenemos un exceso de demanda de 0.5

46 Modelo de Bertrand con restricción en capacidad – ¿Cuál es la estrategia dominante?
Si selecciona un precio igual a $1.50, no hay exceso de demanda. Pbacalao = 2 – Qbacalao 1.5 = 2 – Qbacalao Qbacalao = 2 – 1.5 = 0.5 La cantidad demandada es igual a la restricción de capacidad. Si la empresa Bacalao fija un precio mayor de $1.5, la empresa Salmón estaría limitado por su restricción de capacidad, de no poder vender más de 0.5 unidades del producto.

47 Modelo de Bertrand con restricción en capacidad – ¿Cuál es la estrategia dominante?
Ante los tres escenarios descritos, la empresa Salmón tiene como mejor respuesta las siguientes acciones: Si Bacalao fija el precio entre $0.25 y $1.00, la mejor respuesta de Salmón es fijar el precio en $1. Esto es así debido a que la restricción en la capacidad de Bacalao limita lo máximo que puede vender Bacalao a 0.5 unidades. La Empresa Salmón puede suplir el excedente de la demanda, fijando el precio en $1.

48 Modelo de Bertrand con restricción en capacidad – ¿Cuál es la estrategia dominante?
Si Bacalao fija el precio entre $1.00 y $1.50, la mejor respuesta de Salmón es fijar el precio un poco por debajo del precio de la Empresa Bacalao. De esta manera, Salmón vende toda su capacidad. Mientras que a Bacalao le toca el residual. Si ambos venden el mismo precio, se dividen el mercado Debido a que existe simetría entre las respuestas de ambas empresas, ambas empresas terminan fijando el precio en $1. ¿Por qué?

49 Modelo de Bertrand con restricción en capacidad – ¿Cuál es la estrategia dominante?
P = 2.00 – (Qbacalao + Qsalmón) 1 = 2.00 – (Qbacalao + Qsalmón) Dado que ambas fijan el mismo precio, ambas venden la misma cantidad. Por lo tanto, Qbacalao = Qsalmón = Q 1 = 2.00 – 2Q 2Q = 2.00 – Q = 1 Q = ½ = 0.5 → ambas empresas utilizan su capacidad al máximo.