L A ESTIMACION DE PARAMETROS 1. /31 CONTENIDO Principio fundamental de la estimación de parámetros Un metodo grafico para la estimacion de parametros.

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1 L A ESTIMACION DE PARAMETROS 1

2 /31 CONTENIDO Principio fundamental de la estimación de parámetros Un metodo grafico para la estimacion de parametros Ajuste de los parametros en una computadora 2

3 P RINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 3

4 /31 E L PROCESO DEL MODELADO Definir los objetivosPreparar la informacionFormular el modeloEstimar los parametrosValidar el modelo Qué sistema queremos modelar Para qué queremos modelar Bajo qué condiciones experimentales se va a usar el modelo 4

5 /31 E L PROCESO DEL MODELADO Pruebas preparatorias Definir el protocolo del experimento y Recoger los datos –Estimar ganancias –Constantes de tiempo –Retardos –Tipos de señal –Lazo abierto o cerrado Definir los objetivosPreparar la informacionFormular el modeloEstimar los parametrosValidar el modelo 5

6 /31 E L PROCESO DEL MODELADO Definir la estructura y complejidad del modelo Modelos de entrada/salida –No parametricos –Respuesta al impulso/paso finita (FIR/FSR) –Parametricos –Funcion de transferencia, auto-regresivo (ARX) Espacio de estados –Modelo en espacio de estados lineales Modelo ({  }) Definir los objetivosPreparar la informacionFormular el modeloEstimar los parametrosValidar el modelo 6

7 /31 E L PROCESO DEL MODELADO Seleccionar el modelo que mejor se ajuste a los datos Tres aproximaciones –Metodos graficos –Metodos analiticos –Metodos computacionales Modelo ({  * }) Definir los objetivosPreparar la informacionFormular el modeloEstimar los parametrosValidar el modelo 7

8 /31 E L PROCESO DEL MODELADO ¿Puede el modelo explicar otros datos medidos? Los límites de confianza del modelo son aceptables? Definir los objetivosPreparar la informacionFormular el modeloEstimar los parametrosValidar el modelo 8

9 /31 L A ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MODELO t t Y U U Y Proceso Modelo La estimacion de los parametros consiste en ajustar los parámetros de una estructura de modelo elegida con el fin de ajustar la salida del modelo a los datos medidos de la salida del sistema 9 Definir los objetivosPreparar la informacion Formular el modeloEstimar los parametros Validar el modelo

10 /31 L A ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MODELO El ajuste de los parametros se puede realizar: Con metodos graficos El metodo de la curva de reaccion Mediante un procedimiento ejecutado en una computadora Minimizacion de una funcion objetivo (optimizacion) 10 Objetivo del curso

11 U N METODO GRAFICO PARA LA ESTIMACION DE PARAMETROS 11

12 /31 E L METODO DE LA CURVA DE REACCIÓN DEL PROCESO ¿Por qué usar el metodo de la curva de reaccion? Realmente no necesitamos un modelo más preciso Estamos interesados en el diseño de un controlador PID Otras razones No tenemos todos los datos necesarios para desarrollar un modelo fundamental del proceso (muy complejo) No tenemos tiempo para desarrollar un modelo fundamental del proceso (muy complejo) Los experimentos no son faciles de realizar (especialmente en los procesos quimicos) 12

13 /31 P ASOS DEL PROCESO DE IDENTIFICACION Permitir que el proceso alcance el estado estacionario Aplicar un paso en la variable de entrada Recoger lo datos de la respuesta de salida hasta que la ganancia del proceso alcance el estado estacionario Llevar a cabo el cálculo gráfico de curva de reacción del proceso 13

14 /31 El metodo de la curva de reacción del proceso permite identificar solo algunos modelos simples: Primer orden mas tiempo muerto (FOPDT ) Segundo orden más tiempo muerto (SOPDT) C LASES DE MODELOS OBTENIDOS 14

15 /31 P RIMER ORDEN MAS TIEMPO MUERTO 15

16 /31 P RIMER ORDEN MAS TIEMPO MUERTO 16

17 A JUSTE DE LOS PARAMETROS EN UNA COMPUTADORA 17

18 /31 PROCEDIMIENTO PARA LA ESTIMACION DE LOS PARAMETROS 18

19 /31 L A ESTRUCTURA DE LOS MODELOS En general, la estructura del modelo podría ser cualquiera Regresiones lineales Regresiones no lineales Modelos dinámicos fuzzy o redes neuronales, Modelos tipo ‘ tailor-made” 19

20 /31 S ALIDA MEDIDA Y SALIDA DEL MODELO Error del modelo 20

21 /31 E L ERROR DEL MODELO El error de predicción del modelo se define como es la salida estimada por el modelo en el instante t. 21

22 /31 E JEMPLO : SISTEMA DE PRIMER ORDEN SIN RETARDO Podemos asumir en el ejemplo que el sistema se puede representar con un modelo de primer orden sin retardo El modelado experimental consiste en ajustar los parámetros del modelo con el fin de que la salida del modelo se aproxime a los datos medidos 22

23 /31 O BJETIVOS DE LOS MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PARAMÉTRICOS Los métodos de estimación de parametros tienen por objetivo entonces estimar los parámetros del modelo considerado, de forma que, en algun sentido, el error de predicción sea mínimo. 23 La estimacion de los parametros involucra un proceso de OPTIMIZACION

24 /31 O BJETIVOS DE LOS MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PARAMÉTRICOS Existen distintos criterios para realizar este ajuste de parámetros, entre los que cabe destacar el método de los mínimos cuadrados 24 La estimacion de los parametros involucra un proceso de OPTIMIZACION

25 /31 O BJETIVOS DEL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS El problema a resolver consiste en hallar el vector de parámetros estimados tal que se minimize la funcion de costo: Funcion de costo, o Funcion de perdidas 25

26 /31 E JEMPLO 1: MODELO CON UN PARAMETRO 26 Se asumen las medidas de entrada salida mostradas en la figura

27 /31 E JEMPLO 1: MODELO CON UN PARAMETRO 27 Se asume la estructura del modelo Ganancia unitaria

28 /31 E JEMPLO 1: MODELO CON UN PARAMETRO 28 Valor de la funcion de costo para diferentes valores del parametro (en este caso la constante de tiempo)

29 /31 E JEMPLO 2: MODELO CON DOS PARAMETROS 29 Se asume la estructura del modelo Ganancia tambien desconocida

30 /31 E JEMPLO 2: MODELO CON DOS PARAMETROS 30 Curvas de nivel de la funcion de costo para diferentes valores de los parametros (en este caso la ganancia y la constante de tiempo)

31 /31 PROCEDIMIENTO PARA LA ESTIMACION DE LOS PARAMETROS 31

32 /31 L OS MODELOS 32 Los modelos tipicamente tienen un número finito de parámetros (denominados modelos parametricos) Relacionan las señales de interés del sistema: Entradas Salidas posiblemente Estados y Perturbaciones estructura y complejidad Modelo ({  }) Formular el modelo

33 /31 E L PROCESO DEL MODELADO Seleccionar el modelo que mejor se ajuste a los datos Modelo ({  * }) Definir los objetivosPreparar la informacionFormular el modeloEstimar los parametrosValidar el modelo 33

34 /31 L OS MODELOS Los modelos tipicamente tienen un número finito de parámetros (denominados modelos parametricos) Relacionan las señales de interés del sistema: Entradas Salidas posiblemente Estados y Perturbaciones estructura y complejidad Modelo ({  }) Formular el modelo

35 /31 L OS DATOS Los datos medidos sirven de base para la estimacion de los parametros se obtienen por muestreo. Seleccionar el modelo que mejor se ajuste a los datos Modelo ({  * })

36 /31 E L PROBLEMA DE LA ESTIMACION DE LOS PARAMETROS El problema a resolver consiste en hallar el vector de parámetros estimados tal que se minimize una funcion de costo. Modelo ({  * }) Asumiendo la existencia de tal juego de parametros Por ejemplo:

37 /31 P RESENCIA DE PERTURBACIONES Hay muchas fuentes y causas de perturbaciones, Y U Proceso perturbaciones –ruido a la entrada del sistema –ruido que entra en alguna parte dentro del sistema –ruido a la salida del sistema –entradas exógenas al sistema

38 /31 L OS PARAMETROS ESTIMADOS Siendo obtenidos de un experimento bajo la presencia de señales aleatorias Y es necesario estudiar sus propiedades estadisticas 38 ¡Los parametros estimados son variables aleatorias!

39 /31 I DENTIFICABILIDAD Si existe el vector de parámetros que minimiza el error es denominado el vector de parámetros “verdadero” 39 Se dice entonces que el modelo es identificable

40 /31 FUENTES Morten Knudsen, Experimental modelling of dynamic systems (Lecture notes). Department of Control Engineering, Aalborg University. 2004. 40