Identificación de Sistemas

Presentación del tema: "Identificación de Sistemas"— Transcripción de la presentación:

1 Identificación de Sistemas
Modelos parametricos y no parametricos

2 Contenido Modelos parametricos y no parametricos Modelos parametricos
Estructura de los modelos LTI Estructuras de los modelos LTI estándar (Ljung) Modelos no parametricos Respuesta al impulso Respuesta en frecuencia

3 Modelos parametricos y no parametricos

4 El problema de la identificacion
El problema de la identificación consiste en encontrar relaciones matemáticas entre secuencias de entrada y las secuencias de salida. En general t = 1,...N En el caso de un sistema dinámico, el termino φ(t) contendría la información de las entradas y salidas anteriores a t

5 El problema de la identificacion
Entonces, el problema matemático que se formula es la construcción de una función En general se busca una función g que sea parametrizable A toda la familia de funciones candidatas se las denomina estructura del modelo

6 Ejemplo de estructura En el caso de una estructura ARX la correspondencia con la formulación general seria

7 Ejemplo de estructura Por ejemplo, en el caso de una estructura de modelo simple como el ARX de primer orden:

8 Clasificacion de los modelos
De acuerdo a la estructura (al numero de parametros) los modelos se clasifican en, Modelos parametricos Modelos no parametricos

9 Modelos paramétricos A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo Los modelos parametricos tienen un número finito de parámetros AR, ARX, ARMAX, . . .

10 Modelos no paramétricos
El modelo no puede representarse con un número finito de parámetros Respuesta al impulso, respuesta en frecuencia

11 t Y U Proceso Modelo Modelos parametricos

12 Los modelos paramétricos
Los modelos parametricos tienen un número finito de parámetros relacionan las señales de interés del sistema: entradas, salidas, y perturbaciones Y U Modelo

13 Los modelos paramétricos
En general, la estructura del modelo podría ser cualquiera Regresiones lineales Regresiones no lineales Modelos conceptuales “fisicos” Modelos dinámicos Fuzzy o con redes neuronales, Y U Modelo

14 Estructura de los modelos LTI

15 Estructura de los modelos
Los modelos paramétricos se describen en el dominio discreto, puesto que los datos que sirven de base para la identificación se obtienen por muestreo. ZN = {u(1), y(1), u(2), y(2), ..., u(N), y(N)}

16 Estructura de los modelos
Los modelos LTI pueden expresarse como una ecuación en diferencias finitas

17 Estructura de los modelos en terminos del operador de retardo
retardo “puro” con que aparece la entrada en la salida.

18 Funcion de transferencia
La relacion de entrada-salida se puede representar en terminos del operador de retardo como una “Funcion de transferencia”

19 Sistema causal Sistema causal
Un sistema es causal si la respuesta del sistema en un instante t depende sólo de la entrada en ese instante y de instantes anteriores.

20 Sistema causal Sistema causal
Se dice que la funcion de transferencia es propia Es decir, el sistema es realizable

21 Estructuras de los modelos LTI estándar (Ljung)

22 Los modelos paramétricos estándar
A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo En la identificacion de sistemas se recurre a modelos estándar, cuya validez para un amplio rango de sistemas dinámicos ha sido comprobada experimentalmente AR, ARX, ARMAX, . . .

23 Los modelos paramétricos estándar
A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo Al orden del modelo se le denomina complejidad del modelo ARX de segundo orden

24 Los modelos paramétricos estándar
Los modelos encontrados son modelos LTI, representados por relaciones entre polinomios,

25 Presencia de perturbaciones
La salida puede ser calculada en forma exacta una vez conocida la entrada al sistema Pero en la mayoría de los casos esto es imposible debido a que siempre existen señales espurias que afectan al sistema y se escapan de nuestro control.

26 Presencia de perturbaciones
La salida puede ser calculada en forma exacta una vez conocida la entrada al sistema Pero en la mayoría de los casos esto es imposible debido a que siempre existen señales espurias que afectan al sistema y se escapan de nuestro control.

27 Presencia de perturbaciones
Hay muchas fuentes y causas de perturbaciones, Y U Proceso perturbaciones ruido a la entrada del sistema ruido que entra en alguna parte dentro del sistema ruido a la salida del sistema entradas exógenas al sistema

28 Sistema generador de datos
Con el fin de simplificar la representacion se considera que todas las perturbaciones entran en la salida

29 Caracterización de las perturbaciones
Una simple aproximación de v(t) podría ser donde e(t) es un proceso “ruido blanco”

30 Sistema generador de datos

31 Sistema generador de datos
G(q) modela la parte determinista. H(q) modela la parte estocástica.

32 Sistema generador de datos
Observaciones: v(t), es un proceso estocástico. Pero las perturbaciones que observamos son realizaciones del proceso estocástico En los métodos de estimación de parametros discretos los errores de modelización se incluyen en v(t)

33 Respuesta impulsiva y el modelo de ruido
Un modelo LTI puede ser especificado por : la funcion densidad de probabilidad de e(t)

34 Familias de modelos (Ljung)
Es posible agrupar los modelos en dos bloques: Modelos en que

35 Modelos en que H(q) = 1 Modelos de media ajustada, MA
modelos de respuesta impulso finita (FIR)

36 Modelos en que H(q) = 1 Modelos del error en la salida, OE.

37 Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos autoregresivos con variables exógenas, ARX

38 Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos autoregresivos de media móvil y variables exógenas, ARMAX G y H tienen el mismo denominador

39 Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos Box-Jenkins, BJ
y Una propiedad particular de esta estructura es que G y H no tienen parámetros comunes.

40 Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos ARARX Modelos ARARMAX

41 Estructura PEM Todas estas familias de modelos se puede representar por Util para elaborar algoritmos ya que sus resultados cubren todos los casos especiales

42 Estructura PEM Util para elaborar algoritmos ya que sus resultados cubren todos los casos especiales

43 Ejercicio Escriba un modelo de segundo orden con un retardo para cada uno de los modelos propuestos Modelo de media ajustada, MA Modelo del error en la salida, OE Modelo autoregresivo con variable exógena, ARX Modelo autoregresivo de media móvil y variable exógena, ARMAX Modelo Box-Jenkins, BJ Introduzca este modelo en matlab

44 Modelos no parametricos
Y U Proceso Modelo Modelos no parametricos

45 Respuesta al impulso

46 Respuesta impulsiva En terminos de la respuesta impulsiva, , la expresión general de un modelo LTI discreto es del tipo Para sistemas estables

47 Respuesta impulsiva La respuesta impulsiva, puede verse como un operador Para sistemas estables

48 Respuesta impulsiva La respuesta al impulso del sistema es simplemente
la serie que resulta de la division de los polinomios del numerador por el denominador de la funcion de transferencia

49 Respuesta impulsiva Ejercicio: Dado el sistema LTI
Encontrar los coeficientes de la respuesta impulsiva y = [ ]

50 Sistema generador de datos
Se supone el sistema generador de datos dado por

51 q es el operador retardo
La presencia de ruido Se supone el sistema generador de datos dado por q es el operador retardo e es un ruido blanco

52 Respuesta al impulso Consiste en aplicar como entrada al proceso una señal impulso de tiempo discreto

53 Salida para una entrada pulso
La salida esta dada por En terminos de la respuesta al impulso

54 Salida para una entrada pulso
Amplitud del pulso La salida es la respuesta al impulso mas un termino de incertidumbre

55 Ejemplos

56 Ejemplo 1 Encontrar la respuesta al impulso del sistema
Ver ident_elg_Ej1.m

57 Ejemplo 1 Respuesta impulsiva con ruido Respuesta del sistema
Respuesta impulsiva sin ruido

58 Ejemplo 2 Encontrar la respuesta al impulso del sistema:

59 Respuesta en frecuencia

60 La respuesta en frecuencia
Es posible determinar la respuesta en frecuencia utilizando la transformada de Fourier de las señales de entrada y salida: Si la entrada tiene energía finita

61 Ejemplo

62 Ejemplo 4 Determinar la respuesta en frecuencia del sistema descrito en el ejemplo 1.

63 Fuentes Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Belaustegui C., Orda C., Galarza C., Procesos Estocásticos. Notas de clase. Universidad de Buenos Aires, Departamento de Electrónica, 17 de Marzo 2005. Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003 Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003 López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002

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