@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema 11 * PROBABILIDADES.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema 11 * PROBABILIDADES

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 PROBABILIDAD TOTAL DIAGRAMA DEL ÁRBOL Tema 11.4 * 2º B CS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Si A 1, A 2, A 3, …, A n es un sistema completo de sucesos, todos ellos con probabilidad no nula, y B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas, P(B / A i ), entonces la probabilidad del suceso B viene dado por: P(B) = P(A 1 ).P(B / A 1 ) + P(A 2 ).P(B / A 2 ) + … + P(A n ).P(B / A n ) Ejemplo En una fiesta el 40% son hombres y el resto mujeres, de los cuales el 5% y el 10% respectivamente son rubios. Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea rubia? P(B) = P(A 1 ).P(B / A 1 ) + P(A 2 ).P(B / A 2 ) = = 0,40. 0,05 + 0,60. 0,10 = 0,02 + 0,06 = 0,08 PROBABILIDAD TOTAL

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 Diagrama del árbol Al igual que en Combinatoria, el uso del diagrama de árbol es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. NORMAS para componer un diagrama de árbol: Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento. En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama. Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas. Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramificaciones finales es la unidad.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 EJEMPLO 1 En una urna opaca, A, hay 2 bolas Blancas y 3 Negras. En otro urna opaca, B, hay 5 bolas Blancas y 4 Negras. Se extrae una bola de la urna A y luego otra de la B. a)¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean Blancas?. b)¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca y Negra, en ese orden?. c)¿Y de que sean de distinto color? 2/5 3/5 B N 5/9 4/9 B N 5/9 4/9 B N P(B∩B) = 2/5. 5/9 = 10 / 45 = 0,2222 (a) P(B∩N) = 2/5. 4/9 = 8 / 45 = 0,1778 (b) P(N∩B) = 3/5. 5/9 = 15 / 45 = 0,3333 P(N∩N) = 3/5. 4/9 = 12 / 45 = 0,2667 0,1778+0,3333 = 0,5111 (c)

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 EJEMPLO 2 En una urna opaca hay 3 bolas Blancas y 2 Negras. Se extrae una bola al azar. Si es Blanca se devuelve a la urna; pero si es Negra se devuelve a la urna una bola Blanca. Se extrae otra bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea Negra?. 3/5 2/5 B N 3/5 2/5 B N 4/5 1/5 B N P(B∩B) = 3/5. 3/5 = 9/25 = 0,36 P(B∩N) = 3/5. 2/5 = 5/25 = 0,20 P(N∩B) = 2/5. 4/5 = 8/25 = 0,32 P(N∩N) = 2/5. 1/5 = 2/25 = 0,08 Por la Regla de la suma: P(X∩N)= 0,20 + 0,08 = 0,28

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS7 Ejemplo 3 (sin árbol) En una población africana el 35 % son niños, el 55% son adultos y el resto ancianos. El 20%, el 40% y el 10% respectivamente de niños, adultos y ancianos tienen el SIDA. Tomada una persona al azar. a)¿Cuál es la probabilidad de que tenga el SIDA?. b)¿Cuál es la probabilidad de que no tenga el SIDA?. P(Ni)=0,35 P(Ad)=0,55 P(An)=0,10 P(S) = P(Ni).P(S/Ni) + P(Ad).P(S/Ad) + P(An).P(S/An) = = 0,35.0,20 + 0,55.0,40 + 0,10.0,10 = 0,07 +0,22 + 0,01 = 0,30 P(NS)= 1 – P(S) = 1 – 0,30 = 0,70

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS8 Tres alumnos universitarios se reparten el trabajo de tomar apuntes en clase. Ana realiza 20 páginas a la semana, Beatriz realiza 30 páginas y Carlos 45 páginas. Pero el 4%, el 6 % y el 10 % de las páginas que realizan Ana, Beatriz y Carlos respectivamente tienen errores. Una semana se toma una página al azar. a)¿Cuál es la probabilidad de que tenga errores?. b)¿Cuál es la probabilidad de que no contenga errores?. P(A) = 20/95 = 0,2105 P(B) = 30/95 = 0,3158 P(C) = 45/95 = 0,4737 P(E) = P(A).P(E/A) + P(B).P(E/B) + P(C).P(E/C) = = 0,2105.0,04 + 0,3158.0,06 + 0,4737.0,10 = = 0,008420 +0,018948 + 0,047370 = 0,074738 P(NE)= 1 – P(E) = 1 – 0,074738 = 0,925262 Ejemplo 4 (sin árbol)

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS9 En una urna tenemos 5 bolas blancas y 3 negras. Extraemos una bola al azar. Si es blanca la devolvemos a la urna y extraemos a continuación una segunda bola. Si la primera bola extraída es negra, la cambiamos por una blanca que introducimos en la urna, y extraemos a continuación una segunda bola. a)¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea blanca?. b)¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?. P(B) = 5/8 = 0,625 ; P(N) = 3/8 = 0,375 P(B∩B) = P(B).P(B/B) = 0,625. 0,625 = 0,390625 P(B∩N) = P(B).P(N/B) = 0,625. 0,375 = 0,234375 P(N∩B) = P(N).P(B/N) = 0,375. 6/8 = 0,281250 P(N∩N) = P(N).P(N/N) = 0,375. 2/8 = 0,09375 a)P(2ºB) = 0,390625 + 0,281250 = 0,671875 b)P(2ºN) = 1 – P(2ºB) = 1 – 0,671875 = 0,328125 Ejemplo 5 (sin árbol)

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS10 Ejemplo 6 En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas. Se elige un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad?. ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en la localidad?. Ejemplo 7 En la universidad, Ana, Beatriz y Carlos se alternan la tarea de tomar apuntes. En una semana toman 100, 150 y 250 páginas de apuntes respectivamente. Las páginas con errores son el 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma una página al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga errores?. ¿Y de que no? Ejemplos 6 y 7

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS11 EJEMPLO 6 P(L/A)=0,850,6.0,85= 0,51Chica y viva en L P(A)=0,6 P(NL/A)=0,150,6.0,15= 0,09 Chica y no viva en L P(L/O)=0,70,4.0,7= 0,28 Chico y viva en L P(O)=0,4 P(NL/O)=0,30,4.0,3= 0,12 Chico y no viva en L P(L) = 0,51 + 0,28 = 0,79 P(NL) = 0,09 + 0,12 = 0,21 Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS12 EJEMPLO 7 P(E/A)=0,050,2.0,05= 0,01De Ana y con errores P(A)=0,2 P(NE/A)=0,950,2.0,95= 0,19 De Ana y sin errores P(E/B)=0,030,3.0,03= 0,009 De Bea y con errores P(B)=0,3 P(NE/B)=0,970,3.0,97= 0,291 De Bea y sin errores P(E/C)=0,020,5.0,02= 0,01 De Carlos y con errores P(C)=0,5 P(NE/C)=0,980,5.0,98= 0,49 De Carlos y sin errores P(E) = 0,01+0,009+0,01=0,029P(NE)=0,19+0,291+0,49=0,971