1 Obtención de datos cinéticos y modelos matemáticos de inactivación y crecimiento EVALUACIÓN DE RIESGOS CUANTITATIVO VALORACIÓN DE LA EXPOSICIÓN EVALUACIÓN.

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1 1 Obtención de datos cinéticos y modelos matemáticos de inactivación y crecimiento EVALUACIÓN DE RIESGOS CUANTITATIVO VALORACIÓN DE LA EXPOSICIÓN EVALUACIÓN DE RIESGOS CUANTITATIVO VALORACIÓN DE LA EXPOSICIÓN

2 As necessary, the food business operators responsible for the manufacture of the product shall conduct studies in accordance with Annex II in order to investigate compliance with the criteria throughout the shelf-life. In particular, this applies to ready-to-eat foods that are able to support the growth of Listeria monocytogenes and that may pose a Listeria monocytogenes risk for public health. COMMISSION REGULATION (EC) No 2073/2005 of 15 November 2005 on microbiological criteria for foodstuffs Article 3

3 When necessary on the basis of the above mentioned studies, the food business operator shall conduct additional studies, which may include: predictive mathematical modelling established for the food in question, using critical growth or survival factors for the micro-organisms of concern in the product, Annex II

4 Análisis de Peligros y Puntos Críticos de Control (APPCC) Análisis de Riesgos Microbiología Predictiva Sistemas de gestión de la seguridad alimentaria

5 5 Obtención de datos cinéticos Termo-resistencia Baro-resistencia Pulso-resistencia Obtención de datos cinéticos Termo-resistencia Baro-resistencia Pulso-resistencia

6 Generalidades sobre los modelos matemáticos predictivos Generalidades sobre los modelos matemáticos predictivos

7 La forma tradicional de establecer la seguridad de un alimento es mediante un test de desafío. El método más antiguo partió de la conservación por calor y es lo que se denomina: Inoculación experimental de envases

8 La técnica tiene inconvenientes:  Es cara  Es lenta  Requiere habilidades microbiológicas y laboratorios  Cuando se cambia la formulación de un producto o un perfil tiempo-temperatura, es necesario repetir el test de desafío

9 La alternativa es entender con más profundidad la respuesta de los microorganismos a los factores medioambientales del alimento y desarrollar la forma de interpolar respuestas microbiológicas mediante cálculo Microbiología Predictiva

10 Campo de estudio que combina elementos de microbiología, matemáticas y estadística para desarrollar modelos que describan y predigan matemáticamente el crecimiento o muerte de los microorganismos, cuando se les somete a condiciones medioambientales específicas (Whiting, 1995). Microbiología Predictiva

11  Los modelos son descripciones simplificadas de la realidad  La realidad descrita por el modelo se denomina Espacio Modelo

12  Los modelos deben reflejar lo que está pasando y deben ser capaces de predecir con precisión los estados presente y futuro de las cosas que describen  Hay que ser conscientes de que un modelo no puede dar una representación total de la realidad. Un modelo particular puede describir algún aspecto de forma muy adecuada mientras que falla en la descripción de otro

13 Suposiciones en modelización Espacio Modelo: No se puede modelizar todo, hay que escoger la parte de la realidad que se quiere modelizar. A esto se le llama espacio modelo y no tiene conexión con el resto de la realidad espacio modelo realidad

14 Se define como todos los factores que juegan un papel en la determinación del fenómeno bajo estudio, los conocidos y no conocidos Espacio modelo:

15 Fenómeno: Los modelos se usan para describir relaciones entre variables dependiente e indepen- dientes. V. dependiente V. Independientes Relación Fenómeno

16 Para poder modelizar un fenómeno en un espacio modelo determinado es necesario entender la relación entre las variables dependiente e independientes. Este ejercicio ayudará a elegir el modelo apropiado Variables dependientes: tiempo de tratamiento Variables independientes: Número final de microorganismos

17 Microbiología predictiva El objetivo de la microbiología predictiva es conseguir un Espacio Modelo para describir un Fenómeno de forma matemática o probabilística Espacio modelo Fenómeno Medioambiente Temperatura pH aw Respuesta microbiana Crecimiento Inactivación

18 La microbiología predictiva no revela, generalmente, comportamientos inesperados de los microorganismos. La microbiología predictiva cuantifica los efectos de la interacción entre dos o más factores y permite la interpolación de combinaciones de factores no comprobados de forma explícita

19 Clasificación de los modelos Modelos de nivel primario: Modelos de nivel secundario: Superficie de respuesta Modelo de Bigelow Modelos de nivel terciario: Tejedor y Martínez

20 Los modelos de nivel primario describen cambios en el número de microorganismos u otras respuestas microbianas con el tiempo. inactivación crecimiento

21 Los modelos secundarios describen las respuestas de los parámetros de los modelos Primarios (D, μ, λ) a los cambios en las condiciones medioambientales Ln(spec.g.rate) NaCl (%) pH superficie de respuesta

22 Los modelos terciarios son programas de ordenador que transforman a los modelos primarios y secundarios en herramientas de facil uso para los usuarios del modelo Inactivación crecimiento

23 Consideraciones en el desarrollo de un modelo  Precisión en el ajuste.  Capacidad de predecir combinaciones de factores no probadas.  Incorporación de todos los factores relevantes.  Que tenga el mínimo número de parámetros.  Especificación del término de error.  Los parámetros deben tener un significado biológico y valores realistas.  Reparametrización si se mejoran las propiedades estadísticas.

24 Modelos primarios de inactivación/supervivencia

25 Obtención de datos cinéticos de termoresistencia Tratamiento isotermo (Tª constante) Tratamiento no isotermo (Rampa de Tª) (Rampa de Tª-Tª constante)

26 TRATAMIENTO TÉRMICO DE Lactobacillus plantarum EN SUERO DE JUGO DE NARANJA Llenado de capilares (100 μl) Cerrado a la llama Tratamiento térmico Siembra y recuento 50- 57.5 ºC durante 10 a 120 s L. plantarum CECT (220) [ ] inicial Fase estacionaria 9 x 10 8 ufc/ml

27 Capilares Data logger Baño calentamientoBaño enfriamiento Tratamiento térmico de los capilares

28 Detalle termorresistómetro

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32 Modelos de inactivación: Velocidad alta de muerte de los microorganismos por la acción de un agente activo Modelos de supervivencia: Disminución de la carga microbiana de forma mas lenta y no implica esterilidad comercial Los modelos matemáticos son los mismos en ambos casos

33 Modelos primarios La modelización matemática comenzó en 1920 con los cálculos de tiempo de destrucción térmica. Los valores D y Z se usaron con éxito para asegurar que los alimentos enlatados estaban libres de riesgo de alteración por Cl. botulinum Estos modelos establecen la relación existente entre el tiempo y la inactivación de un microorganismo a una temperatura dada. A) Modelos logarítmicos

34 Los datos experimentales para la obtención de los parámetros, D y Z, que definen la inactivación de los microorganismos se pueden analizar de diferentes maneras:  Dos regresiones lineales consecutivas  Una regresión no lineal en un solo paso

35 DTDTDTDT Tiempo de exposición Log. supervivientes 1 2 3 Curva de supervivencia

36 z Temperatura Log D T D T1 D T2 T1T1T1T1 T2T2T2T2 Curva de muerte térmica

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38 log NNo D t R TT z R           1 10 Tratamiento isotérmico Una regresión no lineal

39 . Parámetros cinéticos predichos para dos cepas de Bacillus cereus TemperatureD value (min) (ºC) AV TZ415AV Z421 LinearNon-linearLinearNon-linear 85 90 95 100 105 16  5 a 3.9  0.7 0.94  0.17 0.22  0.06 ND 17.1  0.5 a 4.04  0.08 0.95  0.02 0.225  0.007 ND 40  20 a 11  3 2.5  0.4 0.60  0.19 ND 39  3 a 9.8  0.5 2.48  0.06 0.63  0.03 z (ºC) 8.1  0.37.97  0.108.0  0.68.4  0.2 ND not determined. a D value  confidence interval (95%).

40 Curvas de equivalencia

41 Residuos normales con media cero

42 CÁLCULO DE LAS REGIONES DE CONFIANZA

43 Regiones de confianza conjunta

44 D (min) Z (ºC) 12345 6 8 10 12 14 118 ºC Z (ºC) 24681012 6 8 10 12 14 115 ºC Efecto del pH sobre el valor D del B. stearothermophilus en ensaladilla D (min)

45 D (min) Z (ºC) 11,21,41,61,82 6 8 10 12 14 121 ºC D (min) Z (ºC) 012 6 8 10 12 14 125 ºC Efecto del pH sobre el valor D del B. stearothermophilus en ensaladilla

46 Tiempo de exposición Log. supervivientes 1 2 3 Diferentes tipos de curvas de supervivencia Hombro Cola Lineal Concavidad hacia abajo Concavidad hacia arriba

47 Los hombros se han atribuido:  a la necesidad de mas de un evento dañino  a la necesidad de una activación de las esporas

48 Teoría vitalista Presencia de colas Distribución de termorresistencia Teoría mecanicista La termorresistencia depende del ciclo celular en que se recoja la célula

49 Presencia de artefactos experimentales mezcla de poblaciones La curva de supervivencia es una forma acumulativa de distribución de eventos letales con el tiempo Cada organismo individual o espora de una población muere a un tiempo específico Otras explicaciones Nueva aproximación

50 0816243240 Time (min) 85°C 90°C 95°C 100°C S(t) (N/No) AVTZ415 strain 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 Curvas con hombros

51 n        a t - e S(t) Función de supervivencia a= Scala n= Forma MODELO DE WEIBULL

52 El parámetro de forma “n” se puede considerar como un índice de comportamiento Si n >1 describe una curva con hombro Si n < 1 describe una curva con cola Si n = 1 la curva de supervivencia sera lineal en coordenadas semilogarítmicas y se comportará como una reacción de primer orden El parámetro de escala “a”se puede considerar como una constante de velocidad de reacción. Similar al Valor D

53 0.003.206.409.6012.8016.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 95°C 97.5°C 100°C 102.5°C 105°C S(t) (N/No) AVZ421 strain Curvas de supervivencia Time (min)

54  n1a tc   Función Gama Medida de la resistencia térmica

55 Comparación entre el número supervivientes experimentales y predichos t N (min) N obs N W N B 0 4 8 12 16 19900000 13266000 8360000 3450000 1417000 19900000 13710010 7629650 3759861 1688864 24130989 12433299 6406158 3300722 1700671 A f -1.101.20

56 Parámetros para la distribución de Weibull y valor D TWeibull distributionBigelow model (ºC)scale (a)shape (n)tc (min)D (min) 95.0 97.5 100.0 102.5 105.0 8.3 4.5 2.10 1.35 0.65 1.36 1.72 1.58 2.03 1.69 8.0 4.0 1.85 1.20 0.58 14  5 a 5.9  1.5 2.5  0.5 1.5  0.5 0.76  0.18 z (ºC)(8.9)8.1

57 0.002.404.807.209.6012.00 Tiempo (min) 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 Fracción supervivientes Curva de supervivencia para Bacillus pumillus en condiciones isotérmicas

58 0.00 2.20 4.40 6.60 8.80 11.00 Time (min) -15 -12 -9 -6 -3 0 90 º C a=5.47, n=0.32 Ln fraction of survivors Curva de supervivencia para Bacillus pumillus mediante Weibull en condiciones isotérmicas

59 Ventajas de los métodos no isotérmicos  Se obtiene una gran información de cada experimento  Se ahorra tiempo  Se ahorra material y costo en mano de obra  Son mas cercanos a lo que en realidad pasa en un proceso industrial Métodos no isotérmicos

60 Tratamiento no isotérmico                             n i z TT R t D Log N No Log R 1 10 1 Ecuación 1

61 a z TT z TT D z N No Log R R 110 ln 0 0                    a=Velocidad de calentamiento Ecuación 2

62 0 1 2 3 4 5 6 7 116118120122124126128 Temperatura (ºC) Log N experimental predicho Bacillus stearothermophilus

63 (Log Nexp - Log N cal) Frecuencia Distribución de residuos

64 Regiones de confianza conjunta D (min) z (°C) 1 1.52 2.5 3 3.5 4 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 125 ºC 124 ºC123 ºC 122 ºC

65 TemperatureD (min) (ºC) non-isothermalIsothermal a 85 90 95 100 16.0 3.93 0.96 0.236 17.1 a 4.04 a 0.95 a 0.225 a z (  C) 8.197.97 a A f b 1.11 Bacillus cereus

66 Modelos secundarios de inactivación

67 Los modelos secundarios describen las respuestas de los parámetros de los modelos primarios a los cambios en las condiciones medioambientales Ln(spec.g.rate) NaCl (%) pH superficie de respuesta

68 Modelos secundarios Tanto los parámetros que definen las curvas de Inactivación D ó z, como los que definen las curvas De crecimiento , se ven afectados por factores Mediombientales pH, ClNa, aw, entre otros.

69 Los modelos probabilísticos o matemáticos que relacionan las variables dependientes, parámetros cinéticos, con los factores medioambientales son los denominados modelos secundarios

70 Modelos secundarios de inactivción Modelo basado en la ecuación de Arrhenius (Davey, 1993) Lnk = c 0 +(c 1 /T)+c 2 pH+c 3 (pH) 2 + 

71 Modelo basado en la ecuación de Bigelow (Mafart y Leguérinel, 1998) LogD = LogD*-(1/z T )(T-T*)-(1/z pH ) 2 (pH-pH*) 2 + 

72 Modelo cuadrático polinomial (Fernández y col., 1996) LogD = c 1 +c 2 T+c 3 pH+c 4 (T  pH)+c 5 T 2 +c 6 (pH) 2 + 

73 Modelo básico (Fernández y col., 1996) LogD = c 1 +c 2 T+c 3 pH+ 

74 Curvas con colas o con hombros Modelo basado en la distribución de Frecuencia de Weibull (Fernández y col., 2001)

75 Obtención de datos y modelos matemáticos de crecimiento

76 Obtención de curvas de crecimiento

77 Microorganismo de colección Condiciones de recuperación Condiciones de crecimiento en medio de referencia Curva de crecimiento en el alimento

78 Microorganismo de colección Se obtiene de colecciones tipo en forma liofilizada: CECT (Colección Española de Cultivos Tipo) ATCC (American Type Culture Collection)

79 Condiciones de recuperación Siguiendo las instrucciones de la colección: Transferir el liófilo a medio líquido de referencia para el microorganismo a su temperatura de crecimiento

80 Condiciones de crecimiento en medio de referencia Específicas para cada microorganismo: Medio líquido de referencia para el microorganismo a su temperatura de crecimiento Toma de muestra a intervalos y lectura de absorbancia en espectrofotómetro: Absorbancia Densidad óptica Crecimiento Obtener población homogénea

81 Curva de crecimiento en el alimento Se parte de un vial de microorganismo crecido anteriormente Inoculación en el alimento a estudio a la temperatura problema Recuento en placa a intervalos determinados

82 Diseño Experimental Obtención de Datos Ajustar Curvas Determiar Cinéticas Modelizar Parámetros Ajustados Validar Microbiología predictiva

83 Crecimiento de Salmonella typhimurium en medio de referencia (TSB) a 37 ºC Fase Latencia Fase log Fase estacionaria

84 Modelos matemáticos de de crecimiento

85 Los modelos de nivel primario describen cambios en el número de microorganismos u otras respuestas microbianas con el tiempo. crecimiento

86 Bacterial growth curves at different temperatures Constant spec.rate Modelos primarios de crecimiento

87 Tipo de modelos Crecimiento/no crecimiento Tiempo para crecimiento Modelos de crecimiento Es la situación mas simple El parámetro a medir es el tiempo desde la inoculación hasta la aparición de turbidez o formación de toxina Son modelos sofisticados a través de los cuales se deducen distintos parámetros que definen el crecimiento de la bacteria

88 =(4.61+0.00228*A7-0.276*B7+0.000026*(A7*B7)- 0.000000724*(A7)^2+0.00415*(B7)^2) Tiempo formación toxina C. botulinum Heat timeInc.tempPrediction (ln)Prediction (days) 2763.1723.78 2782.7315.40 27102.3310.31 27121.977.14 27250.381.47 156.763.4732.05 156.783.0420.90 156.7102.6514.09 156.7122.289.82 156.7250.752.11

89 Exponencial Logístico Gompertz Baranyi

90 El modelo primario más utilizado ha sido la ecuación de Gompertz. La ecuación es una función doble exponencial con cuatro parámetros que describe una curva sigmoidea asimétrica Y t =A*Cexp{-exp[-B(t-M)]} Modelos de crecimiento

91 Y t = logarítmo de UFC por mililitro en el tiempo t A= logarítmo de la concentración inicial C= Cambio en el número de células entre el inóculo y la fase estacionaria B= ritmo de crecimiento relativo M= tiempo al que se alcanza el ritmo máximo de crecimiento

92 lag Ln X max Ln X 0  (tiempo) Parámetros de crecimiento bacteriano. Clásicos A C M M-(1/B) BC/e

93 Los cuatro parámetros se pueden relacionar matemáticamente con características culturales familiares a los microbiólogos.  = Velocidad de crecimiento exponencial {[log(cfu/g)]/hr} BC/e GT =Tiempo de generación (hr) Ln(2)*e/CB = Duración fase de latencia (hr) M-1/B

94 Los parámetros de la función de Gompertz se pueden determinar mediante una regresión no lineal, tal como se hacía para la determinación de los parámetros de las curvas de inactivación Para un buen ajuste se necesitan como mínimo 10 puntos por curva de crecimiento

95 La ecuación de Gompertz ha sido reparametrizada para poder obtener los parámetros  directamente (Zwietering y col). lnN t /N o = Bexp{-exp[(  e/B)( -t)+1]} C=  e/B B=(  e/C) +1

96 Modelo de Baranyi y Robert Para solucionar los defectos del modelo de Gompertz Baranyi y Robert proponen un modelo nuevo. Incluye una fase de crecimiento exponencial lineal  (x) Incluye una fase de latencia que se calcula mediante una función de ajuste  (t)

97 La solución para el logaritmo natural de la concentración de células y=lnx(t), es: Y o =lnx(t o ) logarítmo de la concentración de células a tiempo 0 y max =lnx max logarítmo de la concentración máxima de células m= Parámetro de curvatura

98 La función A(t) es el retraso gradual en el tiempo h o = -ln  o

99  o = Estado fisiológico de las células a tiempo 0 Z 1 (t)= La cantidad por célula de una sustancia crítica que causa un cuello de botella en el crecimiento

100 Gompertz Lag: 8.6 h   1.11 h -1 Error: 0.10 Arctangent Lag: 8.5 h   1.35 h -1 Error: 0.14 Baranyi Lag: 7.6 h   0.97 h -1 Error: 0.07 Modelos log concentr vs tiempo

101 Constant b-value (Ratkowsky) Sqr(slope) at different temperatures Modelos secundarios de crecimiento

102 Los modelos secundarios de crecimiento se pueden Agrupar en tres categorías:  Modelos de raiz cuadrada (Bélenrádek)  Modelos basados en la ecuación de Arrhenius (Davey)  Modelos polinomiales o de superficie de respuesta

103 Lineal Polinómicos Raíz cuadrada Modelos secundarios de crecimiento

104 Superficie de respuesta Es una ecuación de regresión ajustada usando técnicas de regresión normales y que puede contener términos lineales, cuadráticos, cúbicos incluyendo interacciones. La ecuación es totalmente descriptiva del grupo particular de datos usados para su cálculo y sin implicar relaciones Teóricas o mecanísticas.

105 Ejemplos Relación lineal para describir alteración en pescado (Spencer y Baines 1964) Velocidad de alteración (k)= K o (1+aT) a= constante lineal K o = Velocidad a 0ºC T= Temperatura

106 Se han utilizado ecuaciones polinómicas para Predecir el valor de los parámetros B y M de la Ecuación de Gompertz en función del pH, Atmósfera anaeróbica y aeróbica, la concentración de NaCl y la temperatura de almacenamiento en Salmonella y Listeria (Gibson y col 1988, Buchanan y col 1989)

107 Los modelos actuales son deterministas Modelos probabilísticos que describan la Variabilidad y las incertidumbre Modelo de Weibull Evolución

108 Factores a tener en cuenta en Estudios cinéticos

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113 Clostridium sporogenes

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115 MAP pH Tratamiento térmico suave Baja actividad de agua Refrigeración Para conseguir alargar la vida del alimento Antimicrobianos naturales + + Conservadores (ClNa, NO 2 )

116 Otras consideraciones a tener en cuenta en estudios cinéticos

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118  Daño subletal: Primeros estudios aseguraban que el efecto de las tecnologías emergentes sobre los microorganismos era un caso de “todo o nada” (Simpson et al. 1999; Dutreux et al. 2000; Russell et al. 2000; Ravishankar et al. 2002; Ulmer et al. 2002; Wuytack et al. 2003)Primeros estudios aseguraban que el efecto de las tecnologías emergentes sobre los microorganismos era un caso de “todo o nada” (Simpson et al. 1999; Dutreux et al. 2000; Russell et al. 2000; Ravishankar et al. 2002; Ulmer et al. 2002; Wuytack et al. 2003) Estudios posteriores ya indican la presencia de células con daño subletal a ciertas condiciones de tratamiento (Aronsson et al. 2004; Lado et al. 2004; Yaqub et al. 2004; García et al. 2005, 2006, 2007; Rodrigo et al. 2007).Estudios posteriores ya indican la presencia de células con daño subletal a ciertas condiciones de tratamiento (Aronsson et al. 2004; Lado et al. 2004; Yaqub et al. 2004; García et al. 2005, 2006, 2007; Rodrigo et al. 2007). Posibles causas de modificaciones genéticas y/o proteicas

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120 Una de las causas propuestas son los efectos de las tecnologías de procesado de alimentos Una de las causas propuestas son los efectos de las tecnologías de procesado de alimentos

121  Mecanismos de inactivación de estas tecnologías afectan principalmente a la membrana celular de microorganismos. Modificaciones genéticas y/o proteicas Technology Mechanism of inactivation Possible hazard for food safety Heat Protein, DNA, RNA denaturisation Mutation High Pressure Changes in membrane structure and functionality Transformation Electric Pulsed Fields Changes in membrane structure and functionality Transformation Ionizing Radiations DNA, RNA denaturisation Mutation UV light DNA, RNA denaturisation Mutation Natural Antimicrobials Changes in membrane structure and functionality Transformation Lado andYousef (2002)

122 Efecto de PEF y HHP sobre microorganismos Agente estresante Muerte microorganismo Irreversible Reversible Daño subletal Recuperación célula Formación poros Introducción material genético ajeno al moo Modificaciones en membrana celular Cambios estructurales Degradación proteína Cambios en resistencia a tto, antibióticos, antimicrobianos, etc

123  Interés de organismos internacionales por el estudio de cambios en resistencia de microorganismos a antibióticos o antimicrobianos The EFSA Journal (2007) **** Foodborne antimicrobial resistance as a biological hazard Modificaciones genéticas y/o proteicas

124 Evaluación y validación de los modelos

125  Con nuevos datos obtenidos de forma independiente  En condiciones reales de elaboración del alimento  A través de ciertos índices (Estadísticamente) Cómo se puede validar un modelo

126 VALIDACIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS MODELOS La validación es una de las etapas más importantes en el desarrollo de un modelo de inactivación o de crecimiento. Dos fases Validación matemática Validación en alimento

127 Índices estadísticos  Coeficiente de determinación  Estudio de los residuos  Datos influyentes  Multicolinealidad  Índices para evaluar modelos en microbiología de alimentos

128 Coeficiente de determinación Este coeficiente indica la proporción de variabilidad de las observaciones de la variable dependiente (lnK) explicada por el conjunto de las variables independientes consideradas en cada caso.

129 Estudio de los residuos Los residuos se definen como la diferencia entre el valor observado de la variable dependiente y el valor ajustado en el modelo.

130 Pruebas habituales para los residuos Descriptivas básicas Test de normalidad (Kolmogorov-Smirnov) Linealidad, homocedasticidad (igual varianza) y valores atípicos Autocorrelación entre residuos consecutivos (Durbin-Watson)

131 Normalidad gráfico P-P de los Residuos Valor observado,4,3,2,1,0-,1-,2-,3-,4-,5 Valor Normal esperado,4,3,2,1 0,0 -,1 -,2 -,3 -,4

132 valores ajustados 1,51,0,50,0-,5-1,0 -1,5,3,2,1,0 -,1 -,2 -,3 -,4 -,5 residuos Homocedasticidad y valores atípicos

133 Linealidad

134 Autocorrelación 0 4 4-d l 4-d u dudu dldl 2 0<d<d l = aceptamos correlación positiva d l <d<d u = test no concluyente d u <d<4-d u = no autocorrelación 4-d u <d<4-d l = test no concluyente 4-d l <d<4= autocorrelación negativa

135 número datos Número de variables 1 2 3 4 d l d u 15 16 17 18 19 0.95 1.23 0.83 1.40 0.98 1.24 0.86 1.40 Tabla test Durbin-Watson

136 Datos influyentes En algunos problemas se observa que un número pequeño de observaciones tienen una influencia exagerada sobre el modelo ajustado. Una forma de averiguar la presencia de datos influyentes es mediante la distancia de Cook. Se considera que un dato es influyente si el valor de la distancia de Cook que le corresponde es mayor de 1

137 Valores máximos de la Distancia de Cook para cada uno de los modelos analizados

138 Nuevos datos obtenidos de forma independiente Hay dos índices que nos pueden dar de forma rápida la diferencia entre los valores predichos por el modelo y aquellos obtenidos de forma independiente para distintas combinaciones de las variables independientes Hay dos índices que nos pueden dar de forma rápida la diferencia entre los valores predichos por el modelo y aquellos obtenidos de forma independiente para distintas combinaciones de las variables independientes BIAS Factor de exactitud

139 Valores del factor BIAS para cada uno de los modelos analizados

140 Valores del factor de exactitud para cada uno de los modelos analizados

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142 Every model is wrong. The question is, how much wrong still useful it can be. (Box and Draper)

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