Teoría de Probabilidad Dr. Salvador García Lumbreras

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1 Teoría de Probabilidad Dr. Salvador García Lumbreras
MÉTODOS CUANTITATIVOS Y SIMULACIÓN Teoría de Probabilidad Dr. Salvador García Lumbreras

2 EXPERIMENTOS EXPERIMENTO. Proceso planeado para obtener observaciones ó recolectar datos. RESULTADO DE EXPERIMENTO. Cualquier posible respuesta del experimento. EVENTO. Subconjunto de varias resultados. Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 2

3 ESPACIO MUESTRA Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento . Ejemplo. Un folder contiene 50 archivos ejecutables. Cuando un virus de computadora ataca un sistema, cada archivo puede ser afectado.  = { 1, 2,.., 50} Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 3

4 PROBABILIDAD Los procesos industriales fabrican productos que puede satisfacer o no los requerimientos de los clientes. La salida de estos procesos está sujeta a los efectos del azar. Debido a esto, las compañía necesitan considerar los aspectos probabilísticos de la situación. Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 4

5 PROBABILIDAD La probabilidad del evento A se define como el cociente de los resultados a favor de A y todos los resultados posibles Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 5

6 VARIABLE ALEATORIA Una variable aleatoria X es una función que asigna un número real a cada punto del Espacio Muestra. X(w) = x Dr. Salvador García L.

7 FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD
pmf = p(x) = P(X = x) p(x) ≥ 0 La probabilidad total es 1: Dr. Salvador García L.

8 EJEMPLO El número de errores X en un programa que consiste de dos módulos, tiene la siguiente función de masa de probabilidad x 1 2 3 p(x) 0.5 0.3 0.1 Dr. Salvador García L.

9 EJEMPLO Determinar si la siguiente función puede servir como pmf de una variable aleatoria Dr. Salvador García L.

10 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
1.0 0.8 0.4 0.0 X Dr. Salvador García L.

11 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
F es una función no decreciente y continua por la derecha Lim F(x) = 0, x -> -∞ Lim F(x) = 1, x -> +∞ Dr. Salvador García L.

12 EJEMPLO Sea X la variable aleatoria con pmf
Entonces, su función de distribución es dada por x 1 2 p(x) 0.1 0.4 0.5 Dr. Salvador García L.

13 EJEMPLO Sea X una variable aleatoria con CDF
Encontrar a) P(x =3); b) P(x ≥ 1) Dr. Salvador García L.

14 MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
donde 1´ = E(X) es el primer momento de X Dr. Salvador García L.

15 K-ésimo MOMENTO CENTRAL DE X
Dr. Salvador García L.

16 VALOR ESPERADO Dr. Salvador García L.

17 EJEMPLO Calcular el número promedio de errores X en un programa que consiste de dos módulos, si se tiene la siguiente función de masa de probabilidad x 1 2 3 p(x) 0.5 0.3 0.1 Dr. Salvador García L.

18 VARIANZA & DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Dr. Salvador García L.

19 EJEMPLO Calcular la varianza y desviación standard de la siguiente variable aleatoria X x 1 2 p(x) 0.1 0.4 0.5 Dr. Salvador García L.

20 PROPIEDADES DE LA VARIANZA
Dr. Salvador García L.

21 FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS
Dr. Salvador García L.

22 PROPIEDADES Dr. Salvador García L.

23 EJEMPLO Sea X una variable aleatoria con pmf
Calcular la media de X mediante su función generatriz de momentos. Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 23

24 EJEMPLO Suponga que Y es una variable aleatoria con función generatriz de momentos Encontrar E[Y] y V[Y]. Dr. Salvador García L.

25 DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Un experimento de Bernoulli tiene exactamente dos posibles resultados, denotados por Éxito (1) o Falla (0), con probabilidades p y q = 1-p respectivamente. MANUFACTURA. Un producto es clasificado como defectuoso o estándar. VOTACIONES. Respuestas: Sí o No Dr. Salvador García L.

26 FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD
La pmf está dada por Por ejemplo si p = 0.6, luego Dr. Salvador García L.

27 MEDIA & VARIANZA Dr. Salvador García L.

28 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La variable aleatoria X representa el número de éxitos en n independientes intentos de Bernoulli Dr. Salvador García L.

29 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La Media & Varianza están dados por Dr. Salvador García L.

30 EJEMPLO DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (parámetros p, n) Dr. Salvador García L.

31 EJEMPLO Un folder tiene 20 archivos ejecutables. Cuando un virus de computadora ataca el sistema, cada archivo tiene una probabilidad de 0.1 de ser afectado. Calcular la probabilidad de tener 5 archivos afectados en un ataque n = 20, x = 5, p = 0.1. Entonces Dr. Salvador García L.

32 DISTRIBUCIÓN DE POISSON
X es una variable Binomial con n grande y la probabilidad de éxito p muy pequeña, de tal forma que np 10. Dr. Salvador García L.

33 DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Media & Varianza: Dr. Salvador García L.

34 DISTRIBUCIÓN DE POISSON (parámetro l)
La función generatriz de momentos de X , MX(t) es Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 34

35 LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON COMO LÍMITE DE LA BINOMIAL
Dr. Salvador García L.

36 DISTRIBUCIÓN DE POISSON
p(X) 0.3 =2 0.1 X Dr. Salvador García L.

37 EL PROCESO POISSON Modelación de la ocurrencia de eventos en cierto intervalos de tiempo. Número de llamadas por minuto a una central telefónica Número de clientes por día en una tienda Número de errores por página en un libro Dr. Salvador García L.

38 EJEMPLO El número promedio de clientes de internet que inician una nueva cuenta es 2 por hora. La probabilidad de la apertura de una cuenta durante este período de tiempo es grande, debido a que existen miles de clientes de internet. Cuál es la probabilidad de que 4 ó más clientes abran una nueva cuenta de internet en las siguientes dos horas? Dr. Salvador García L.

39 EJEMPLO Estas son precisamente las condiciones de Poisson, luego
Dr. Salvador García L.

40 EJEMPLO 97% de los mensajes electrónicos son transmitidos sin error. Cuál es la probabilidad de que de 200 mensajes, al menos 195 serán transmitidos correctamente? Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 40

41 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
La variable X, representa el número de intentos antes del primer éxito con probabilidad p. Dr. Salvador García L.

42 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Media & Varianza Dr. Salvador García L.

43 EJEMPLO Si la probabilidad de encontrar una frase clave en un sitio de internet por parte de un motor de búsqueda es 0.75, cuál es la probabilidad de que el motor de búsqueda encuentre finalmente la frase en el cuarto sitio visitado? Dr. Salvador García L.

44 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA
X número de éxitos en n intentos con probabilidad de éxito p no constante Apropiada en aplicaciones que involucran muestreo sin reemplazo y población de tamaño N. Dr. Salvador García L.

45 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA
Media & Varianza Dr. Salvador García L.

46 EJEMPLO Una caja contiene 6 chips blancos y 4 negros. Si 4 chips se extraen de manera aleatoria de la caja, cuál es la probabilidad de que se extraigan a lo más 2 chips negros? N = 10, n = 4, p = 0.6 y q = 0.4, luego Dr. Salvador García L.

47 EJEMPLO Lotes de 50 piezas son inspeccionados mediante un muestreo simple de 5 piezas extraídas sin reemplazo. Si no se observan defectuosos en la muestra, el lote es aceptado. Calcular la probabilidad de aceptación si se sabe que el lote es 4% defectuoso. Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 47

48 FUNCIÓN DE DENSIDAD Una función f(x) de una variable aleatoria continua X es llamada función de densidad si satisface las siguientes condiciones Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 48

49 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
La función de distribución F(X) describe la probabilidad de que X sea menor o igual que cierto valor b Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 49

50 DISTRIBUCIÓN UNIFORME
f(x) a b X Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 50

51 EJEMPLO La dureza Rockwell para cierto tipo de acero varía de 40 a 60 en esta escala. Sea X la dureza Rockwell la cual se asume que está uniformemente distribuida como se muestra. Cuál es la probabilidad de una dureza Rockwell entre 50 y 55? p(x) 1/20 X Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 51

52 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
f(x) λ X Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 52

53 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL (parámetro l)
La función generatriz de momentos de X , MX(t) es: Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 53

54 EJEMPLO Trabajos son enviados a una impresora a razón de 3 trabajos por hora. Cuál es el tiempo promedio entre trabajos? Cuál es la probabilidad de que el siguiente trabajo sea enviado durante los siguientes 5 minutos? E(X) = 1/3 hrs = 20 minutos Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 54

55 DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución más importante en Estadística.
Una gran cantidad de fenómenos de la vida diaria pueden ser modelados por esta distribución. Variables aleatorias asociadas con mediciones pueden ser consideradas como Normales. Las medias muestrales de cualquier distribución se comportan como una variable normal conforme aumenta el tamaño de muestra (Teorema Central del Límite). Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 55

56 FUNCIÓN DE DENSIDAD Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 56

57 FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN
 + Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 57

58 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Una variable aleatoria X puede ser estandarizada por la transformación Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 58

59 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
La función de densidad es Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 59

60 ÁREAS EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L.

61 ÁREAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
X  + Z Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L.

62 DISTRIBUCIÓN NORMAL La función de distribución F(x) está dada en tabulada al final del texto. Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 62

63 EJEMPLO La vida de cierto componente electrónico está normalmente distribuido con media de 200hrs y desviación estándar de 22hs. Qué porcentaje de los componentes se necesitará remplazar antes de 150 hs? Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 63

64 EJEMPLO Luego, 1.16% de los componentes se espera que duren menos de 150hrs. P(X< 150) Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 64

65 APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Si n > 100 y la probabilidad de éxito p no es cercana a cero, entonces las probabilidades binomiales pueden ser aproximadas por la distribución Normal. Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 65

66 TAMAÑO MÍNIMO DE MUESTRA PARA APLICAR LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 66

67 EJEMPLO Un nuevo virus de computadora ataca un folder con 200 archivos. Cada archivo tiene de manera independiente una probabilidad de 0.2 de ser afectado. Cuál es la probabilidad de que menos de 50 archivos sean afectados? Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 67

68 EJEMPLO Se estandariza el valor de 50 usando la corrección de continuidad. Dr. Salvador García L. Dr. Salvador García L. 68