Simulacion de sistemas dinamicos

Presentación del tema: "Simulacion de sistemas dinamicos"— Transcripción de la presentación:

1 Simulacion de sistemas dinamicos
Principios básicos de la integración numérica

2 Contenido Solucion numerica a ecuaciones diferenciales
La exactitud de la aproximación Los metodos de Euler

3 Solucion numerica a ecuaciones diferenciales

4 Los modelos en espacio de estado
Los modelos de sistemas dinámicos con parámetros concentrados pueden ser representados usando un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) donde x es el vector de estado, u es el vector de entrada, y t denota el tiempo, la variable independiente a través de la cual se desea estimular Llamado modelo en espacio de estado

5 La trayectoria del estado
La investigación del comportamiento de un sistema dinamico de tiempo continuo requiere una solución de ecuaciones diferenciales Sin embargo, la solucion analitica puede ser dificil o, en algunos casos, imposible Esta situacion plantea la necesidad de los metodos numericos

6 Un modelo simple f(x,t) es la pendiente de x(t) en cada punto (t,x)
F = m*a v0 Coeficiente viscoso = c m f(x,t) es la pendiente de x(t) en cada punto (t,x) t x (t,x) Los metodos numericos aprovechan el conocimiento de la pendiente para estimar la trayectoria del estado

7 El problema estandar Se considera entonces resolver la ecuacion diferencial (ODE) , con condicion inicial: Objetivo: Hallar la solucion x(t) en un intervalo Solucion numerica: implementar un algoritmo computacional algebraico

8 Solución numérica El modelo puede ser simulado usando una expansión en series de Taylor Si se conoce el vector de estado en un instante de tiempo t*, el vector del estado puede calcularse en el instante de tiempo t*+ h, funcion conocida (derivada del estado) Los diferentes métodos de integración numérica difieren en la forma de aproximar las derivadas de mayor orden de f

9 Pasos de los metodos numericos
Primero: discretizar el tiempo Segundo: representar x(t) usando solo los valores discretos del tiempo, ti En general, el tamaño de paso puede ser variable Step size = h

10 Pasos de los metodos numericos
Tercero: estimar el siguiente valor del estado aproximando la derivada, usando los valores discretos Cuarto: iterar el proceso hasta el tiempo final Calculada a partir de f(x,t), y la aproximación de sus derivadas de mayor orden

11 El proceso de la integracion
Trayectoria del estado exacta State vs. Time 5) Next State = Initial Condition + Derivative * Time Step 3) Initial Condition 1) Original Data Error 2) Choose Time Step 4) Evaluate Derivative

12 Efecto del paso de integracion
Efecto del tamaño del paso de integración en la trayectoria estimada Four Time Steps Nine Time Steps State vs. Time State vs. Time

13 La exactitud de la aproximación

14 La exactitud de la aproximación
Error por truncado de la serie de Taylor La exactitud de la aproximación

15 La serie de Taylor

16 El error por truncado de la serie
La expansión de Taylor de orden n es exacta para un polinomio de orden n Más términos de la serie implica error menor En otro caso: Menor valor de h, implica menor error para un número dado de términos

17 El error por truncado de la serie
Es imposible considerar todos los términos en la serie de Taylor Todos los métodos de integración numérica sólo aproximan un cierto número de términos de la serie. Este número puede ser fijo o variable Ejemplo: un algoritmo de orden tres El error por truncado del método crece proporcionalmente con la cuarta potencia del tamaño del paso de integración h

18 Características del orden de integración
Método de integración de orden alto Mayor precisión Mayor costo computacional Tamaño del paso grande Método de integración de bajo orden Menor precisión Menor costo computacional Tamaño del paso pequeño Cual selección es la más económica en una situación dada depende de varios factores

19 Selección del orden del algoritmo de integración
Regla práctica Si el mayor error tolerado en un paso de integración es 10- n, entonces la mejor selección es al menos un algoritmo de orden n para la integración numérica Precisión relativa local = Orden del algoritmo = 4

20 La exactitud de la aproximación
Error por redondeo y error por chopping La exactitud de la aproximación

21 Redondeo y chopping Redondeo y chopping:
Importantes en el comportamiento numerico de los algoritmos Sólo puede ser representado un numero finito de cantidades, y dentro de un rango limitado

22 Representación en punto fijo
Representación en punto fijo de un número binario real Scientific 22 21 20 . 2-1 2-2 2-3 Fractions ⅛ Decimal 4 2 1 .5 .25 .125

23 Valor de un número binario real
Valor del número binario en base 10 Scientific 22 21 20 . 2-1 2-2 2-3 Fractions ⅛ Decimal 4 2 1 .5 .25 .125 = /2 + 1/8 = = = 5 ⅝

24 Notación exponencial Las siguientes son representaciones equivalentes de 1.234 El punto decimal “flota”, de acuerdo con la selección del valor del exponente 123, x 10-2 12, x 10-1 1, x 100 x 101 x 102 x 103 x 104

25 Partes de un número de punto flotante
Signo de la mantisa Localizacion del punto decimal Mantisa Exponente Signo del exponente Base x 10-3 Representacion normalizada

26 Formato de Simple Precisión
32 bits Mantisa (23 bits) Exponente (8 bits) Signo de la mantisa (1 bit)

27 Normalización de la mantisa
La mantisa está normalizada, es decir el número a la izquierda del punto decimal es SIEMPRE “1“ El número “1“ no se escribe en la mantisa Ejemplo 1<= mantisa < 2 “uno” fantasma Mantisa Representación = La separacion cada cuatro ceros para mayor claridad

28 Normalización de la mantisa
La mantisa está normalizada, es decir el número a la izquierda del punto decimal es SIEMPRE “1“ El número “1“ no se escribe en la mantisa. Se asume. En cierto modo la mantisa tiene 24 bits El menor valor 1<= mantisa < 2 Mantisa Representación en base 10 ≈ Aproximadamente seis digitos significativos

29 El exponente - 127<= exponente <= 128 135 - 127 = 8 (valor real)
Los siguientes ocho bits especifican el exponente, en la forma de exceso-n El valor del exponente es más grande en n que el exponente real Para simple precisión el exceso es 127 Ejemplo - 127<= exponente <= 128 Exponente Representación = 8 (valor real)

30 Ejemplo de un número en simple precisión
1.112 = 130 – 127 = 3 0 = mantisa positiva  23 = 14.0

31 El valor mas pequeño en simple precisión
1.002 = 000 – 127 = – 127 0 = mantisa positiva  2 – 127 ≈ 10 – 38

32 El valor más grande en simple precisión
1.002 = 255 – 127 = + 128 0/1 = mantisa pos/neg ± 2.00  = ± NaN ≈ ±

33 Rango de los numeros El rango de los numeros esta definido como:
+2-126× (1+0) = 2-126 +2127× (2-2-23) smallest largest 2127(2-2-23) 2-126 Positive overflow Positive underflow

34 Implicación de la representación en punto flotante
Redondeo y chopping: Importantes en el comportamiento numerico de los algoritmos Afectan la exactitud de la representación de un número real en un computador

35 El error por redondeo z : un número real que se quiere representar en un computador Sea fl(z) : la representación de z en el computador Error por chopping Error por redondeo Simple precisión n = 23: Un número real en simple precisión tiene aproximadamente de seis decimales significativos

36 Épsilon de la máquina El épsilon de la máquina, eps, es el número más pequeño tal que epsilon = 1; while (1 + epsilon > 1) epsilon = epsilon / 2; epsilon = epsilon * 2; end épsilon de la máquina Simple precisión

37 El error por redondeo en la integración numérica
Asumamos que se emplea un algoritmo de orden tres Asumamos: h = 0.001

38 Efecto del error por redondeo
El error por redondeo es importante en la integración numérica porque números pequeños son sumados a números muy grandes seis digitos El término de segundo orden no contribuye en forma significativa

39 Efecto del error por redondeo
En consecuencia, el uso de simple precisión en una máquina de 32 bits para algoritmos de integración de orden mayor que dos puede ser un problema En realidad el efecto no es tan pronunciado ya que los algoritmos de orden alto permiten tamaños del paso mayores No es una buena razón usar simple precisión en un algoritmo de integración, excepto en Euler

40 Formato de Doble Precisión
64 bits Mantisa (52 bits) Exponente (11 bits) Signo de la mantisa (1 bit) Doble Precisión

41 El estándar IEEE 754 Precision Single (32 bit) Double (64 bit) Sign
Exponent 8 bits 11 bits Notation Excess-127 Excess-1023 Range 2-126 to 2127 to 21023 Mantissa 23 52 Decimal digits  7  15 Value range  to 1038  to 10300

42 Codificación del formato IEEE 754
Single Precision Double Precision Represented Object Exponent Fraction non-zero +/- denormalized number 1~254 anything 1~2046 +/- floating-point numbers 255 2047 +/- infinity NaN (Not a Number)

43 El error por redondeo en doble precisión
Una representación en doble precisión en una máquina de 32 bits proporciona aproximadamente 14 dígitos significativos catorce digitos Desafortunadamente, las operaciones son más costosas computacionamente

44 La exactitud de la aproximación
Error combinado total La exactitud de la aproximación

45 Error numérico total E = | Error Total |  +
Asumiendo una expansión de Taylor de primer orden, el error numérico total es la suma de los error de truncado y de redondeo E = | Error Total |  +

46 Otros errores Los errores examinados en esta sección no consideran los errores propios del modelado: Errores en el modelo conceptual Errores paramédicos Otro tipo de error a tener en cuenta en la etapa de simulación es el error por acumulación, que se considerara a continuación

47 El error por acumulación
Debido al redondeo y truncado x(t* + h) no puede ser conocido con exactitud Este error será heredado en el siguiente paso de integración como un error en la condición inicial State vs. Time Four Time Steps El error se acumula cuando la integración numérica se ejecuta

48 El error por acumulación
Si el sistema es estable, el error en las condiciones iniciales decae a cero con el tiempo Indica que el error en las condiciones iniciales en un paso de integración no afecta demasiado a la simulación total Para sistemas analíticamente inestables la situación es diferente No se puede asumir que el error de integración global es proporcional al error de integración por paso

49 Error local vs. Error global
Asumiendo un paso de integración constante h Para n pasos en una simulación El error relativo global es entonces “error relativo local” Error relativo local = Error relativo global = 0.001

50 Verificación de la simulación
En conclusion: Asumiendo que el modelo conceptual refleja la realidad suficientemente, se debe verificar que la simulación numérica replica las trayectorias analíticas dentro de ciertas tolerancias Este proceso es denominado verificación de la simulación

51 Euler, Léonard Los metodos de Euler

52 El metodo de Euler explicito
f(x(t)) Todos los valores de la derecha conocidos

53 El metodo de Euler explicito
Estimación del próximo valor del estado en el método de Euler explícito

54 El metodo de Euler explicito
Algoritmo La simulación no requiere ninguna integración dentro de un paso de integración

55 Ejemplo Use el metodo de Euler para resolver
En este caso, el metodo de Euler explicito da:

56 Ejemplo n tn yn fn= - yn+1 yn+1= yn+Dt fn 0.000 1.000 0.100 1 0.1
0.000 1.000 0.100 1 0.1 0.900 0.190 2 0.2 0.810 0.271 3 0.3 0.729 0.344 4 0.4 0.656 0.410 5 0.5 0.590 0.469 6 0.6 0.531 0.522 7 0.7 0.478 0.570 8 0.8 0.430 0.613 9 0.9 0.387 0.651

57 Ejemplo Solucion analitica

58 Ejercicio a) Dt = 2 b) Dt = 1 c) Dt = 0.5 d) Dt = 0.1
Usando el metodo de Euler resolver Para 0 < x < 10, con x(0) = 0; a) Dt = 2 b) Dt = 1 c) Dt = d) Dt = 0.1

59 Ejercicio Solucion exacta x(t) = 1- e-t
Solucion aproximada usando Euler explícito Dt = 2 Dt = 1 Dt = 0.5 Dt = 0.1 x(t) t

60 El metodo de Euler implicito
f(x(t)) La ecuacion es implicita in xk+1 .

61 El metodo de Euler explicito
Estimación del próximo valor del estado en el método de Euler implícito

62 Lazo algebraico En el método de Euler de implícito es necesario resolver la presencia de un lazo algebraico Ejemplo: PSpice Este tipo de algoritmos son referidos como técnicas de integración implícita

63 Fuentes Cellier, F.E. and E. Kofman (2006), Continuous System Simulation, Springer-Verlag, New York

64 FIN