Gabriela Messineo Sistemas Dinámicos

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1 Gabriela Messineo Sistemas Dinámicos - 2009
Caracterización Fractal de Señales Ultrasónicas de Materiales Policristalinos P. Barat (1997) Gabriela Messineo Sistemas Dinámicos

2 Resumen Se utiliza la geometría fractal para caracterizar señales temporales discretas provenientes del scattering provocado por la estructura policristalina de dos metales, aluminio y latón. Se evalúa la dimensión fractal de estas señales mediante el box-counting y el análisis de reescalado de rango de Hurst. La dimensión fractal de las señales es única, aún cambiando el tiempo de muestreo. Las señales del aluminio presentan carácter de auto-similitud y naturaleza anti-persistente; las que provienen del latón tienen naturaleza auto-afín y persistente. Las señales del latón poseen multifractalidad En este trabajo se presenta el concepto de geometría fractal para caracterizar señales ultrasónicas discretas que provienen del scattering de dos materiales policristalinos, aluminio y latón. Para obtener estas señales se utiliza el método de pulso-eco. La dimensión fractal de las señales se obtien utilizando la técnica de box-counting y el análisis de reescalado de rango de Hurst. Estas señales poseen dimensión fractal única, aún cambiando el período de muestreo. Señales del aluminio: auto similitud y anti persistencia. Señales del latón: auto afinidad y persistencia. Multifractalidad.

3 Algunas definiciones previas
Multifractalidad: conjunto formado por una jerarquía de subconjuntos, cada uno de ellos de carácter fractal. Este conjunto y cada una de sus partes debe ser invariable bajo transformaciones de cambio de escala. Auto-similitud: las partes pequeñas se parecen al todo sin importar la escala utilizada. Ej.: Conjunto de Cantor Auto-afinidad: la similitud es aproximada o estadística. Ej.: un árbol y sus ramas Persistencia: una serie temporal es persistente cuando tiene efectos de memoria a largo plazo. La perisistencia es medida por el coeficiente de Hurst. Multifractalidad: conjunto formado por una jerarquía de subconjuntos, cada uno de ellos de carácter fractal. Este conjunto y cada una de sus partes debe ser invariable bajo transformaciones de cambio de escala. Auto-similitud: las partes pequeñas se parecen al todo sin importar la escala utilizada. Ej.: Conjunto de Cantor. Auto-afinidad: la similitud es aproximada o estadística. Ej.: un árbol y sus ramas. Persistencia: una serie temporal es persistente cuando tiene efectos de memoria a largo plazo. La perisistencia es medida por el coeficiente de Hurst.

4 Introducción Microestructura de Técnica de pulso-eco
materiales policristalinos Técnica de pulso-eco Se mide: Atenuación: depende de la geometría, los transductores, etc. Velocidad de propagación: no es sensible a las variaciones en la microestructura. TRANSDUCTOR TRANSMISOR-RECEPTOR MATERIAL La onda incidente se encuentra con los micro granos del material y sufre “scattering”. Entonces en el transductor, además de aparecer el eco Proveniente de la pared opuesta, aparece una señal muy irregular entre dos ecos sucesivos. Esta señal de “scattering” presenta información sobre la microestructura y su variación espacial. La técnica de pulso-eco consiste en colocar un transductor ultrasónico sobre una de las caras planas de una muestra de material y enviar un pulso ultrasónico de corta duración a través de la muestra. Luego, con el mismo transductor actuando como receptor, se registran los ecos que provienen de la otra cara cuando es alcanzada por el pulso. La técnica de pulso-eco se usa frecuentemente para la exploración de la microestructura de materiales policristalinos realizando una medición de la atenuación y la velocidad de propagación en muestras de caras paralelas. Estas mediciones no son demasiado exitosas, ya que la velocidad de la onda es insensible a los microgramos y la atenuación depende de diversos factores. Con esta técnica, la atenuación acumulada sufrida por el pulso incidente durante su propagación a lo largo de la muestra en uno y otro sentido es medida por la amplitud de los sucesivos ecos que se reflejan en la cara opuesta a donde está colocado el transductor. Pero este pulso también interactúa con la microestructura del material y sufre scattering, el que se manifiesta mediante señales muy irregulares que aparecen entre dos ecos sucesivos. Se plantea en el trabajo que esta señal de scattering retiene algo de información sobre la microestructura y su variación espacial

5 Introducción Policristalinidad variación espacial microscópica imposible predecir la totalmente aleatoria señal de scattering La caracterización de la estructura de materiales policristalinos debe realizarse con algún análisis estadístico El pulso ultrasónico recorre la misma estructura de ida y vuelta una y otra vez La amplitud decrece como resultado de la absorción y el scattering Este movimiento produce un cambio de escala y puede dar origen a estructuras auto similares a la señal completa El reconocimiento de la propiedad de auto similitud en la señal aparentemente aleatoria y desordenada puede usarse para caracterizar la estructura y su variación espacial Los mecanismos individuales de interacción de la onda acústica con una microestructura se conoce bien, pero no sirve para el análisis de las señales de scattering provenientes de una microestructura desconocida porque es imposible predecir, aún con una probabilidad a priori, el tipo de interacción que sufrirá la señal durante su trayecto. Esto se debe a la aleatoriedad inherente a la variación espacial de la microestructura. Por lo tanto, la caracterización de materiales policristalinos sólo puede llevarse a cabo mediante algún análisis estadístico apropiado. El pulso ultrasónico recorre la misma estructura una y otra vez en sus sucesivas reflexiones. A causa de la absorción y el scattering la amplitud del pulso decrece lentamente. Esto produce un cambio de escala en la amplitud de la señal de scattering y puede resultar una estructura auto similar a la señal completa. Esta propiedad puede ser usada para caracterizar la variación espacial de a microestructura.

6 Técnicas usadas para la evaluación de la dimensión fractal
Se necesitan al menos dos técnicas diferentes para realizar una evaluación fehaciente de la dimensión fractal de una serie temporal. Box-counting Método de reescalado de rango de Hurst Se necesitan al menos dos técnicas diferentes para realizar una evaluación fehaciente de la dimensión fractal de una serie temporal. Box-counting. Método de reescalado de rango de Hurst.

7 Método box-counting Se considera la dimensión de box-counting, que en R2 se define como Donde M es el menor número de subconjuntos que se necesita para cubrir un subconjunto acotado que pertenece a R2 y d es la longitud del lado de M. Se considera la dimensión de box-counting, que en R2 se define como Donde M es el menor número de subconjuntos que se necesita para cubrir un subconjunto acotado que pertenece a R2 y l es la longitud del lado de M.

8 Método box-counting El procedimiento de estimación se lleva a cabo de la siguiente manera: La señal discreta con N puntos de muestreo se normaliza en tiempo y amplitud, de modo de quedar en un cuadrado de 1x1. b) Se elige un conjunto de tamaños de cubos: de manera que dm tienda a cero lentamente. En teoría la dimensión fractal es independiente de la resolución temporal por la propiedad de invariancia de escala de los fractales, es decir que dm puede ser infinitamente pequeño. Pero para señales discretas el menor dm será 1/N, tal que em sea igual a la unidad (un período de muestreo). En la práctica se busca que sea un múltiplo del período de muestreo. En este trabajo se usó em=100. c) Se cubre el cuadrado unidad con cuadrados de lado em. Para cada dm se cuenta el número de cuadrados necesarios para cubrir la señal entera. d) Se grafica log(M) vs log(1/d) para distintos valores de m y se estima la dimensión, DBC, como la pendiente de la recta que aproxima a los puntos mediante mínimos cuadrados. La dimensión de box-counting de la señal temporal discreta se estima simplemente usando el método de box-counting. El procedimiento de estimación se lleva a cabo de la siguiente manera: La señal discreta con N puntos de muestreo se normaliza en tiempo y amplitud, de modo de quedar en un cuadrado de 1x1. b) Se elige un conjunto de tamaños de cubos: de manera que lm tienda a cero lentamente. En teoría la dimensión fractal es independiente de la resolución temporal por la propiedad de invariancia de escala de los fractales, es decir que lm puede ser infinitamente pequeño. Pero para señales discretas el menor lm será 1/N, tal que em sea igual a la unidad (un período de muestreo). En la práctica se busca que sea un múltiplo del período de muestreo. En este trabajo se usó em=100, es decir que en cada “cajita” habrá 100 muestras. c) Se cubre el cuadrado unidad con cuadrados de lado em. Para cada lm se cuenta el número de cuadrados necesarios para cubrir la señal entera, M. d) Se grafica log(M) vs log(1/d) para distintos valores de m y se estima la dimensión, DBC, como la pendiente de la recta que aproxima a los puntos mediante mínimos cuadrados.

9 Análisis de reescalado de rango de Hurst
Desarrollo estadístico Análisis y caracterización de series temporales ruidosas sin periodicidad pero que mantienen la correlación a largo plazo. Conjunto de datos temporales de dimensión N Media Desviación standard Separación acumulada de la media El análisis de reescalado de rango también se llama análisis R/S (rango/desviación Standard). Se basa en un nuevo desarrollo estadístico y brinda un enfoque para el análisis y la caracterización de series temporales ruidosas que no tienen una periodicidad subyacente pero sí una correlación a largo plazo. Este análisis se lleva a cabo sobre una serie temporal de dimensión N a los que se les calcula la media, la desviación Standard y la separación de la media, que se calcula como separación acumulada. Esta última van a ser N valores, para 0<n<=N.

10 Análisis de reescalado de rango de Hurst
El rango de separación acumulada de la media es El rango reescalado compara la separación acumulada con la desviación standard del conjunto de datos. Para observar la tendencia dentro de un conjunto de datos se divide el conjunto en subconjuntos más pequeños y se hace este análisis para cada parte y luego se calcula el promedio. Primero se calcula para N/2, luego N/4, N/8 y así siguiendo. A partir de ello se hace un gráfico log-log de R/S vs. el rango de división y se estima el coeficiente de Hurst, H, a partir de la pendiente de la recta que ajusta a los puntos. 1 aleatorio antipersistente persistente 0.5 Se calcula el rango de separación acumulada, R. Finalmente se obtiene el rango reescalado (R/S)N=R(N)/S(N). Este análisis compara la separación acumulada y la desviación standard del conjunto de datos y da un solo valor para todo el conjunto de datos. Para ver la tendencia dentro de un conjunto de datos el conjunto grande se divide en partes y el análisis R/S se lleva a cabo en cada parte. El procedimiento consiste en calcula R/S1 para N. Luego se divide el conjunto en dos conjuntos de N/2 datos, se calcula R/S para cada parte y se promedia para obtener R/S2. Este procedimiento se repite para N/4, N/8… Se grafica R/SN vs su respectivo rango de división en escala logarítmica y se ajustan los puntos con una recta de acuerdo al criterio de mínimos cuadrados. El coeficiente de Hurst, H, es la pendiente de dicha recta. 0<=H<=1 H=0.5 conjunto de datos perfectamente aleatorio. H>0.5 conjunto persistente. H<0.5 conjunto antipersistente. Para los conjuntos de datos persistentes, si la tendencia o comportamiento del conjunto es creciente o decreciente sobre cierto intervalo unitario de tiempo, continuará creciendo o decreciendo sobre dicho intervalo.

11 Análisis de reescalado de rango de Hurst
Relación entre el coeficiente de Hurst y la dimensión fractal: D=2-H Análisis de tendencia experimental del rango sobre la desviación standard (ROSETA): Se basa en el método anterior Brinda un mayor grado de información útil: espectro de coeficientes de Hurst y dimensiones fractales El conjunto original se subdivide en conjuntos más pequeños y éstos son tratados como un conjunto de datos completo al que se le aplica el algoritmo R/S. Se genera una dimensión fractal para cada segmento de datos y a través de ello se obtiene un espectro de dimensiones fractales. Permite analizar la desviación de los datos en cada sección de la dimensión fractal global y predecir si la señal discreta tiene carácter multifractal. La relación entre el coeficiente de Hurst y la dimensión fractal es D=2-H. Análisis de tendencia experimental del rango sobre la desviación Standard (ROSETA). Se basa en el método anterior pero brinda un mayor grado de información en forma de espectro de los coeficientes de Hurst y por lo tanto las dimensiones fractales. El conjunto original de datos se divide en conjuntos más pequeños y cada nuevo subconjunto se trata como un conjunto completo de datos y se le aplica el algoritmo R/S. Esto genera una dimensión fractal para cada segmento de datos y ayuda a analizar la desviación que ocurre en cada segmento con respecto a la dimensión fractal global y ayuda a predecir cuándo las señales tienen carácter multifractal.

12 Experimento PC material osciloscopio
Generador de pulsos osciloscopio material RS 232 Transductor: frecuencia central 5 Mhz. Cristal 12.5 mm Período de muestreo de la señal de scattering: 10 ns (fs=100 Mhz) Número de puntos de muestra que conforman la señal: 4500 Se utilizaron los dos métodos descriptos previamente para estimar la dimensión fractal de la señal temporal. Para evaluar la invariancia del método se cambió la frecuencia de muestreo a la mitad y se evaluaron sólo 2700 muestras. Un transductor ultrasónico con frecuencia central 5 MHz y un cristal de diámetro 12.5 mm es excitado por un generador de pulsos para generar un pulso ultrasónico de corta duración en las muestras de caras planas y paralelas. Las señales de scattering se reciben en el mismo transductor. Debe prestarse mucha atención a que las caras de la muestra sean paralelas. La señal recibida se muestrea a 100 MHz y se almacenan inicialmente en la memoria de un osciloscopio digital para ser guardados luego en una PC para su posterior procesamiento. Se elige un número de muestra igual a Esto fue suficiente para dar una estimación exacta de la dimensión fractal sin hacer muy largos los tiempos computacionales. Luego se utilizaron los métodos descritos anteriormente para estimar la dimensión fractal. Para juzgar la invariancia de la dimensión fractal se bajó la frecuencia de muestreo a la mitad y se tomaron sólo 2700 puntos de muestreo. Luego se evaluó la dimensión fractal por box-counting.

13 Resultados y discusión
Señales temporales correspondientes al aluminio y al latón: ALUMINIO LATÓN No brindan mucha información, excepto por su aparente aleatoriedad en la zona de scattering. Dimensiones fractales estimadas para ambos materiales por medio de los dos métodos: En las figuras se ven las señales correspondientes a ambos materiales. Puede verse que no brindan demasiada información más allá de su aparente aleatoriedad. También se observa que las señales de scattering ocupan más tiempo de la señal total que los ecos, por lo tanto las dimensiones fractales están determinadas mayormente por la naturaleza de las porciones de señal provenientes del scattering. En la tabla observamos las dimensiones fractales calculadas por ambos métodos. Puede verse que para el aluminio es bastante similar la dimensión estimada por ambos medios, mientras que para el latón difiere bastante. Material Espesor (mm) DBC D=2-H Atenuación (dB/cm) Aluminio 9.92 1.58 1.59 1.16 Latón 9.99 1.39 1.43 3.34

14 Resultados y discusión
La señal que proviene del aluminio presenta muchas más oscilaciones que la del latón y su dimensión fractal es mayor. La mayor oscilación se debe a un mayor scattering comparado con el proveniente del latón para un pulso de ultrasonido idéntico. La figura muestra que el scattering es mayor en el aluminio. Sin embargo el latón tiene mayor atenuación, lo que significa que el pulso ultrasónico es absorbido en mayor medida que en el aluminio. A causa de esta mayor atenuación en el latón la amplitud de las oscilaciones disminuyen mucho, lo que hace que la dimensión fractal evaluada por métodos independientes difiera, y la señal tiene carácter auto afín. En cambio en el caso del aluminio, que no es tan atenuador y produce mayor scattering, las señales de scattering son más oscilatorias y las dimensiones fractales estudiadas son casi las mismas, por lo que su carácter es auto similar. La señal de scattering correspondiente al aluminio es mucho más oscilatoria que la que viene del latón, y su dimensión fractal es mayor. Esta mayor oscilación se debe a un mayor scattering comparado con el latón para un pulso idéntico. Para entender este fenómeno más claramente se evaluaron las velocidades de propagación en ambos metales, a partir de ellas se determinó la región de caminos idénticos para cada material, la que cae en la región de señal de scattering. En la figura se muestran los valores RMS de las amplitudes de estas señales de scattering contra los valores del punto medio de los caminos idénticos de viaje de las ubicaciones identificadas, que muestra que el scattering es mayor en el aluminio. Sin embargo el latón tiene mayor atenuación, lo que significa que el pulso ultrasónico es absorbido en mayor medida que en el aluminio. Esto puede interpretarse teniendo en cuenta la diferencia de los mecanismos de interacción del pulso ultrasónico con la microestructura. El latón, siendo una aleación, se forma por una transformación controlada por difusión. Tiene átomos de cobre y zinc dispersos aleatoriamente en sus puntos de entramado, lo que causa una variación en su composición con cambios en la estructura de la trama de punto a punto dentro de los granos. Debido a esto los granos en el latón están separados en un número de secciones más pequeñas que difieren en orientación cristalográfica y densidad entre sí y con respecto a la estructura original. El efecto de esto es que en un grano cada región de su estructura puede producir scattering por sí misma y el grano original lo hace como una unidad. Las diferencias de fase que introducen estas secciones individuales en las ondas puede causar scattering incoherente, que puede hacer que las ondas interfieran entre sí y se generen señales menos oscilatorias. Estos efectos no se presentan en el aluminio que está formado por una sola fase. También debido a la estructura tan desordenada del latón el pulso ultrasónico se absorbe en mayor medida y se observa una mayor atenuación. A causa de esta mayor atenuación en el latón la amplitud de las oscilaciones disminuye mucho en cada paso, lo que hace que la dimensión fractal evaluada por métodos independientes difiera, lo que hace que la señal tenga carácter auto afín. En cambio en el caso del aluminio, que no es tan atenuador y produce mayor scattering, las señales de scattering son más oscilatorias y las dimensiones fractales estudiadas son casi las mismas, por lo que su carácter es auto similar.

15 Resultados y discusión
Para la señal completa H(aluminio)=0.41<0.5 H(latón)=0.56>0.5 Antipersistente Persistente ESPECTROS DE COEFICIENTES DE HURST (ROSETA) ALUMINIO LATÓN Para la señal completa HAl=0.41<0.5, entonces la señal es antipersistente. Esto se debe a las fuertes oscilaciones presentes en la señal de scattering del aluminio. En cambio, el latón tiene una naturaleza persistente debido a su naturaleza menos oscilatoria. En las figuras se muestran los espectros de Hurst de ambas señales. Estos espectros se evaluaron dividiendo la señal en 2, 4, 8 y 16 partes y se graficaron vs. el rango del número de puntos de datos tomado. En el caso del aluminio el coeficiente de Hurst de los primeros conjuntos es mayor que para los siguientes, es decir, decrece a medida que pasa el tiempo. En el latón se observa el fenómeno contrario. Esto quiere decir que la dimensión fractal aumenta a medida que pasa el tiempo en el caso del aluminio, y en el latón ocurre lo opuesto. Explicación: el pulso que se aplica a la muestra se dispersa debido a que su frente de onda es esférico y debido a este “desparramamiento”, luego de algunas reflexiones entre las caras paralelas de la muestra, el rayo se dispersa tanto que toda la muestra está “sonificada”. Esta energía acústica dispersa también sufre scattering en diferentes lugares de la muestra y alcanza el receptor en distintos momentos, se une a las oscilaciones ya manifestadas y aumenta la dimensión fractal. Este efecto sólo puede observarse luego de un tiempo desde que la onda comenzó a propagarse, y en el caso del aluminio se atenúa muy poco. En el caso del latón esta situación no aparece debido a la gran absorción de energía acústica. También en el caso del latón, como la energía acústica del pulso incidente se atenúa ya durante las primeras reflexiones, la intensidad que sufre sacttering también es menor, y por lo tanto su dimensión fractal. Las variaciones de los coeficientes de Hurst obtenidos de los diferentes conjuntos de datos son pequeñas en el aluminio en comparación con las del latón, las diferentes secciones de datos tienen diferentes dimensiones fractales. Por lo tanto el patrón de señal de scattering del latón tiene una multifractalidad suave en el caso del latón debido a la presencia de fuertes inhomogeneidades en la microestructura de la muestra. En el caso del aluminio el coeficiente de Hurst de los primeros conjuntos es mayor que para los siguientes, es decir, decrece a medida que pasa el tiempo. En el latón se observa el fenómeno contrario. Esto quiere decir que la dimensión fractal aumenta a medida que pasa el tiempo en el caso del aluminio, y en el latón ocurre lo opuesto. Las dimensiones fractales estimadas con fs=100 Mhz y con fs=50 MHz son idénticas por el método de box-counting.

16 Conclusión La evolución temporal de las señales de scattering son muy
irregulares y el análisis fractal es útil para caracterizarlas. La microestructura que causa más scattering y menos absorción de la señal de excitación genera señales de mayor dimensión fractal y de carácter auto similar. Este trabajo promete grandes desarrollos en la caracterización de la microestructura de materiales policristalinos.