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P3. Junio 2007 1.Calcular la integral real: Respuesta. Calcularemos la integral -RR C ib -ib
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Observemos que |e iaz | = |e ia(x + iy) | = |e -y + iax | = |e -y |, que tiende a cero cuando y→0, lo que implica que z→0 y R→0; por ello, se toma el semiplano superior. Sea C el circuito del dibujo:
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Observa que la función es par par y estamos calculando el doble de I:
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2. Obtener todos los posibles desarrollos en serie de potencias (Taylor y Laurent) de las funciones complejas: Respuesta. a) Desarrollaremos primero en serie de Taylor alrededor de z = 1. Observemos que f(z) tiene un punto singular en z = -1, de modo que el desarrollo será válido para |z – 1| < 2, es decir, |(z – 1)/2| < 1. alrededor de z = 1. Indicar el radio de convergencia de cada una de las series obtenidas.
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Entonces: Ahora desarrollaremos fuera del círculo anterior, es decir, para |z – 1| < 2 ó |(z – 1)/2| < 1, en serie de Laurent. Observemos que |(z – 1)/2| < 1 y entonces:
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b) Observemos que ; entonces derivando las series anteriores obtenemos:
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y
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