Tema 4. LOS POLÍGONOS.

Presentación del tema: "Tema 4. LOS POLÍGONOS."— Transcripción de la presentación:

1 Tema 4. LOS POLÍGONOS

2 Definición Polígonos: Sean A1, A2,……An n puntos del plano (n3) no alineados de tres en tres. Se denomina Polígono a la unión de los n segmentos, , de tal manera que dos segmentos al cortarse lo hacen solamente en un extremo. Los puntos A1, A2,……An son los vértices del polígono. Los segmentos son los lados del Polígono. . A1 La suma de los lados se denomina Perímetro del polígono. El perímetro siempre es positivo. . . A2 A5 Diagonal Diagonal Diagonal Una diagonal del polígono es un segmento cuyos puntos extremos son vértices no contiguos del polígono. Diagonal Diagonal . . Base A4 A3 El lado sobre el cual el polígono descansa se denomina Base.

3 Definición Polígono convexos: Son aquellos polígonos cuyos lados son bordes de un semiplano que contiene al resto del polígono. Si se extiende cada uno de los lados de un polígono y sus extensiones o prolongaciones no interceptan a otro lado, se dice que el polígono es Convexo. convexo convexo convexo convexo No convexo POLÍGONO REGULAR: Es el polígono convexo que tiene sus lados iguales y sus ángulos son congruentes.

4 Definiciones: Rombo: Un paralelogramo es un rombo sí y solo sí sus cuatro lados iguales Cuadrilátero: Un polígono es un cuadrilátero si y solo si tiene cuatro lados. Paralelogramo: Un cuadrilátero es un paralelogramo sí y solo sí sus lados opuestos son paralelos. Cuadrados: Un paralelogramos es cuadrado sí y solo sí sus cuatro lados son iguales y sus ángulos son rectos Rectángulo: Un paralelogramo es un rectángulo sí y solo sí tiene sus cuatro ángulos rectos

5 Definiciones: Trapecios: un cuadrilátero es un trapecio si y solo si tiene dos lados opuestos paralelos y los otros dos no. Los lados paralelos se llaman bases y los otros lados laterales. El segmento que une los puntos medios de los lados laterales se denomina Base media. Si los lados laterales son iguales se llama trapecio isósceles. Trapecios Isósceles: un trapecio es isósceles si y solo si los dos lados opuestos no paralelos, son iguales Trapecios Rectángulo: un trapecio es rectángulo si y solo si tiene un lado perpendicular a sus bases.

6 Teorema: En un polígono convexo de n lados:
1. La suma de sus ángulos interiores es 180(n-2). n = (5-2) = 540 3. La suma de los ángulos exteriores es 360. = 540 4 3 4’ 3’ 1’ 1 2 2’ 5 5’ 1 + 1’ ’ ’ ’ ’ = 5(180)= 900 ( ) + (1’ + 2’ + 3’ + 4’) = El número de diagonales es 1/2n(n-3) ½ n(n-3) = ½ (5)(2) = 5

7 Corolario: En el polígono regular de n lados
Cada ángulo interior (n-2) 180/n 2. Todo ángulo exterior vale 360/n Corolario: La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo es de 360. Paralelogramo: Es el cuadrilátero cuyo lados opuestos son paralelos Notación: ABCD A B Centro del paralelogramo. . C D Centro del Paralelogramo: Punto de corte de sus diagonales.

8 Propiedades del Paralelogramo.
Teorema: Un cuadrilátero es un paralelogramo sii: 1. Sus lados opuestos son congruentes. 3. Sus ángulos opuestos son congruentes. 2. Tiene 2 lados opuestos paralelos y congruentes. 4. Sus diagonales se bisecan

9 ABCD es un paralelogramo  sus lados opuestos son congruentes
() Hipótesis A B ABCD es un paralelogramo  Tesis AB  DC AD  BC  ’ ’ Demostración: D C 1.- Se traza DB por construcción 2.-   ’ Ángulos Alternos internos entre paralelas 3.-   ’ Ángulos Alternos internos entre paralelas 4.- DB Lado común 5.- △DAB  △BCD A.L.A. 6.- AB  DC y AD  BC Por la congruencia del P5 La tesis es verdadera Luego, el teorema directo es verdadero

10 Luego, el teorema recíproco es verdadero
ABCD es un paralelogramo  sus lados opuestos son congruentes () Hipótesis AB  DC AD  BC Tesis A B   ’ ’ ABCD es un paralelogramo D C Demostración 1.- DB Es lado común 2.- △DAB  △BCD L.L.L 3.-   ’ y   ’ Por la congruencia de △s del P2 4.- AB ∥ DC y AD ∥ BC ∠s alternos internos congruentes La tesis es verdadera Luego, el teorema recíproco es verdadero En conclusión el Teorema: ABCD es un paralelogramo  sus lados opuestos son congruentes, es verdadero

11 Luego, el teorema directo es verdadero
Teorema: Un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diagonales son congruentes. () Hipótesis ABCD es un paralelogramo AC  BD Tesis ∠A, ∠B, ∠C y ∠D miden 90 A B Demostración 1.- △ACB  △BDA  △CAD  △DBC L.L.L. 2.- ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 Suma de ángulos 3.- ∠A  ∠B ∠C  ∠D = Luego, es un rectángulo D C La tesis es verdadera Luego, el teorema directo es verdadero

12 Luego, el teorema directo es verdadero
Teorema: Un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diagonales son congruentes. () Hipótesis ABCD es un paralelogramo Tesis AC  BD ∠A, ∠B, ∠C y ∠D miden 90 A B D C Demostración 1.- △ACD  △ BDC L.A.L. 2.- AC  BD Por la congruencia del paso 1 La tesis es verdadera Luego, el teorema directo es verdadero

13 Luego, el teorema recíproco es verdadero
Teorema: Un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diagonales son congruentes. ()) Hipótesis ABCD es un paralelogramo AC  BD Tesis ∠A, ∠B, ∠C y ∠D miden 90 A B Demostración 1.- △ACB  △BDA  △CAD  △DBC L.L.L. 2.- ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 Suma de ángulos 3.- ∠A  ∠B ∠C  ∠D = Luego, es un rectángulo D C La tesis es verdadera Luego, el teorema recíproco es verdadero En conclusión el Teorema: Un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diagonales son congruentes, es verdadero.

14 Luego, el teorema directo es verdadero
Teorema: Un paralelogramo es un rombo si y sólo si sus diagonales son perpendiculares. A () Hipótesis ABCD es un rombo Tesis AC  DB  B D M Demostración 1.- AB  BC  CD  DA Propiedades del paralelogramo 2.- AC y DB se bisecan en M Propiedades del paralelogramo 3.-M es punto medio Propiedades del paralelogramo 4.-MB  MB y MA  MC Por 3 5.- DAM   BAM L.L.L. (1,4) 6.- DMA  BMA por P4 7.- AC  DB Ángulos adyacentes congruentes C La tesis es verdadera Luego, el teorema directo es verdadero

15 Luego, el teorema recíproco es verdadero
Teorema: Un paralelogramo es un rombo si y sólo si sus diagonales son perpendiculares. A () Hipótesis ABCD paralelogramo AC  DB Tesis ABCD es un rombo  B D M Demostración 1.- AB  CD y BC  DA Propiedades del paralelogramo 2.- AC y DB se bisecan en M Propiedades del paralelogramo 3.-M es punto medio Propiedades del paralelogramo 4.-MD  MB y MA  MC Por P3 5.- AMD  AMB   CMB   CMD L.L.L. (1,4) Y LAL(Hip 2, P3) 6.-AB  BC  CD  DA Lados correspondientes en s s 7.- ABCD es un rombo Def. de rombo, P6 C La tesis es verdadera Luego, el teorema recíproco es verdadero En conclusión el Teorema: Un paralelogramo es un rombo si y sólo si sus diagonales son perpendiculares, es verdadero.

16 1.- NO  BM Por construción
Teorema: Si una recta pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es paralela a uno de sus lados, entonces corta al tercer lado en su punto medio. A Hipótesis ABC con M pto medio de AB l pasa por M y l  BC Tesis N es pto medio de AC   M N  ’ ’ ’’ B O C Demostración 1.- NO  BM Por construción 2.-MNOB es un paralelogramo Por Def. de paralelogramo 3.-   ’ y ’  ’’ s correspondientes entre s 5.-   ’’ transitividad entre 3 y 4 6.-   ’ s correspondientes entre s

17 Teorema: Si una recta pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es paralela a uno de sus lados, entonces corta al tercer lado en su punto medio. A Hipótesis ABC con M pto medio de AB l pasa por M y l  BC Tesis N es pto medio de AC   M N   ’ ’ ’’ Demostración 7.- BM  AM M pto medio de BA 8.- AM  BM  NO BM y NO lados opuestos de un paralelogramo, 9.-  ANM  NCO A.L.A. (8, 5 y 6) 10.- AN  NC Lados correspondientes de s congruentes 11.- N Pto medio P10 B O C La tesis es verdadera En conclusión el Teorema: Si una recta pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es paralela a uno de sus lados, entonces corta al tercer lado en su punto medio, es verdadero.

18 Teorema: El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad. A Hipótesis  ABC con M y N ptos medios de AB y AC Tesis MN  BC MN = BC/2 D   N E M ’    ’ Demostración 1.- CD  AB Por construcción 2.- Se prolonga MN hasta cortar CD en E por construcción 3.-   ’ Ángulos congruentes entre  s 4.-   ’ Opuestos por el vértice 5.- AN  NC N pto medio de AC 6.- ANM  CNE A.L.A. 7.- BM  MA M Pto medio de AB 8.- CE  MA Congruencia del paso 5 9.- CE  BM Transitividad entre 6 y 7 B C

19 9.- BMEC Es un paralelogramo (par de lados paralelos y congruentes)
Teorema: El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad. A Hipótesis  ABC con M y N ptos medios de AB y AC Tesis MN  BC MN = BC/2 D   N E M ’    ’ Demostración B C 9.- BMEC Es un paralelogramo (par de lados paralelos y congruentes) 10.- MN  BC Lados opuestos de un paralelogramo Conclusión 1. La tesis 1 es verdadera 11.- MN + NE  BC Suma de Segmentos 12.- MN  NE Por la congruencia del paso 5 13.- 2MN = BC Sustitución de 12 en 11, suma de términos semejantes 14.- MN = BC/2 Despeje en 13 Conclusión 2. La tesis 2 es verdadera En conclusión el Teorema: El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad, es verdadero.

20 TEOREMA: La base media de un trapecio es paralela a las bases e igual a la
semisuma de ellas. Hipótesis ABCD es un trapecio MN es base media Tesis MN ∥ CD ∥ AB A B   M N   ’ ’ E  D C Demostración 1.- AB ∥CD Def. de trapecio 2.- AM  MC M es Pto. Medio de AC 3.- BN  ND N es Pto. Medio de BD 4.- Se traza AN y se prolonga hasta cortarse con CD en E Por construcción 5.-   ’ Opuestos por el vértice 6.-   ’ Alternos internos entre ∥s 7.- △ABN  △ EDN A.L.A. 8.- AN  NE Por la congruencia anterior

21 TEOREMA: La base media de un trapecio es paralela a las bases e igual a la
semisuma de ellas. Hipótesis ABCD es un trapecio MN es base media Tesis MN ∥ CD ∥ AB A B   M N   ’ ’ E  C D Demostración 9.- AB  DE Congruencia del paso 7 10.- CE = CD + DE Suma de segmentos 11.- CE = CD + AB Sustitución de 9 en 10 12.- MN = ½ CE MN une los Ptos. Medios del △ACE 13.- MN = ½ (AB + CD) PM. Sustitución de 11 en 12 14.- MN ∥ CD MN une los ptos. Medios del △ACE 15.- MN ∥ AB PM. Transitividad entre 1, 14 La tesis 2 es verdadera La tesis 1 es verdadera En conclusión el Teorema: : La base media de un trapecio es paralela a las bases e igual a la semisuma de ellas, es verdadero.

22 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías: DURÁN, Darío La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data. PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México: Thomson Editores S.A. HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa