Organización de la clase Enfoque Introducción Conceptos previos Algoritmo 5.2 (versión simple) Cleaner & Pirámides Clean Shortest Odd Hole Detector (4.2)

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1 Organización de la clase Enfoque Introducción Conceptos previos Algoritmo 5.2 (versión simple) Cleaner & Pirámides Clean Shortest Odd Hole Detector (4.2) Algoritmo 5.2 (versión rápida)

2 Enfoque Como empezamos a leer Como terminamos leyendo Pregunten, pregunten y pregunten. Entendamos primero las ideas, después las demostraciones

3 Introducción Berge Graph, definición Berge  Perfecto (conjetura fuerte) Diferencias con el algoritmo anterior Este algoritmo resuelve la búsqueda general de odd-holes ?

4 Conceptos Previos Joyas (Jewels) Pirámides Major Clean Cleaner

5 Joyas 1 (Jewels)

6 Joyas 2 (Jewels) Si hay una joya en un grafo  hay un O-H Dem: –Si |P| es par  v1-P-v4-v3-v2-v1 es un O-H –Si |P| es impar  v1-P-v4-v5-v1 es un O-H Algoritmo: –Enumerar todos los conj. de 5 vértices O(n 5 ) –Verificar si cumplen las condiciones O(n 2 ) / O(n)

7 Pirámides 1

8 Pirámides 2 Si hay una pirámide en un grafo  hay un O-H Dem: –Dos caminos P a y P b tienen la misma paridad en su long.  la suma de estas es par  si le sumamos un lado del triángulo y como no hay cuerdas entre P a y P b tenemos un O-H Algoritmo: –Existe un algoritmo que en O(n 9 ) detecta si hay o no una pirámide.

9 Major Un major es un vértice de G tal que su conjunto de vecinos en C no está en un camino de 2 ejes de C.

10 Clean Un O-H es clean si no tiene ningún major.

11 Cleaner 1 Si C es un O-H en G, un subconjunto X  V(G) es un cleaner para C si X contiene a todos los vértices que son major para C y X  V(C) es un subconjunto de un camino de 2 ejes de C

12 Cleaner 2

13 Cleaner 3

14 NO Cleaner 4 Este conj. de vértices no es un cleaner pues su intersección con C no es un subconj. de un camino de 2 ejes

15 Algoritmo 5.2 (versión simple) 1 Orden O(|V(G)| 12 ) Pasos –Si G tiene pirámides Devolver FALSE (2.2 – O(n 9 )) –Si G tiene joyas Devolver FALSE (3.1 – O(n 6 )) –Corremos 5.1 y obtenemos o bien que G no es Berge o O(n 5 ) subconjuntos tal que si C es un SOH en G y todo major de C tiene por lo menos 4 vecinos  uno de los subconjuntos es cleaner para C (O(n 6 ), próxima clase) –Para cada subconjunto X obtenido en el paso anterior Enumero todos los subconjuntos Y, tales que |V(Y)| ≤ 3 (son O(n 3 )) Para cada grafo G \ (X \ Y) aplicar 4.2 O(n 4 ) –Si G no tiene O-H se verifica el complemento y si este tampoco tiene un O-H  G es Berge

16 Algoritmo 5.2 (versión simple) 2 Tenemos n 5 subconjuntos tal que si G tenía un S-O-H C  uno de los subconjuntos, X, es un cleaner para C  por ser cleaner, X tiene todos los majors de C y a lo sumo 3 nodos de C  a X le saco los nodos de C y los nodos que quedan los saco de G  me queda en G, C como S-O-H y clean (pues saque todos sus majors)  puedo aplicar el C-S-O-H detector (algoritmo 4.2)

17 Cleaner & Pirámides 1 Teorema:  m Major de C, C-S-O-H en G sin pirámides, m tiene al menos 4 vecinos en C Dem: –Supongo que m tiene 0 o 1 vecino en C  m no es Major ABS !!

18 Cleaner & Pirámides 2 –Supongo que m tiene 2 vecinos (separados por un camino de más de 2 ejes)  P 1 o P 2 es un camino de long. impar  3  P a y el major forman un O-H menor a C ABS !!

19 Cleaner & Pirámides 3 –Supongo que m tiene 3 vecinos en C i) Si 2 vecinos son consecutivos  se forma una pirámide ABS !!

20 Cleaner & Pirámides 4 –Supongo que m tiene 3 vecinos en C ii) Sean P 1, P 2 y P 3 los subcaminos formados por los 3 vecinos, P a tiene long. impar  P a y el major forman un O-H menor a C ABS !!

21 Algoritmo 4.2 1 Clean Shortest Odd Hole Detector Orden O(|V(G)| 4 ) Pasos –Para cada u, v  V(G) Calcular P(u,v), camino mínimo entre u y v –Para cada terna u, v, w  V(G) Ver si  P(u,v), P(v,w), P(w,u) –Si forman un O-H »Devolver TRUE –Si no »Devolver FALSE

22 Algoritmo 4.2 2 Clean Shortest Odd Hole Detector Complejidad del algoritmo 4.2 –Cálculo de todos los caminos mínimos: O(n 3 ) –Hay O(n 3 ) ternas de vértices, para cada una calculo si los caminos mínimos entre sus vértices forman un odd hole –O(n 3 ) * O(n) = O(n 4 )

23 Algoritmo 5.2 (versión rápida) 1 Orden O(|V(G)| 9 ) Pasos –Si G tiene pirámides Devolver FALSE (2.2 – O(n 9 )) –Si G tiene joyas Devolver FALSE (3.1 – O(n 6 )) –Corremos 5.1 y obtenemos o bien que G no es Berge o O(n 5 ) subconjuntos tal que si C es un SOH en G y todo major de C tiene por lo menos 4 vecinos  uno de los subconjuntos es cleaner para C O(n 6 )

24 Algoritmo 5.2 (versión rápida) 2 –Para cada X obtenido en el punto anterior Para cada x, y  V(G) encuentro P(x,y), el camino más corto sin vértices internos en X. Si , sea r(x,y) su longitud. Para cada y1  V(G)\X y para cada camino x1-x3-x2 de G\y1 chequear los siguiente: –r (x1, y1), r (x2, y1) existen –r (x2, y1) = r (x1, y1) + 1 = r (x1, y2) = k –r (x3, y1), r (x3, y2) ≥ k Donde y2 es el vecino de y1 en P (x2,y1) Si encontramos x1,x2,x3,y  Hay un OH –Si procedemos igual con el complemento de G y no encontramos un OH  el grafo es Berge