Funciones.

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1 Funciones

2 Función Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B. Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y

3 Función Conceptos: Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f. Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (Y), y se denota Rec f. Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor

4 Función Función Continua:
Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión.

5 Función Función Discontinua:
Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica.

6 Función Función Periódica:
Es aquella en la que su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período.

7 Función Conceptos Fundamentales:
La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable dependiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”. Función A B f a x b = f(a) f(x)

8 Función Conceptos Fundamentales Se dirá: f : A B
b € B es la imagen de a € A bajo la función f y se denota por b= f(a) Dom f =A Si (x, y) € f ^ (x, z) € f y = z (Unívoca) Toda función es relación, pero no toda relación es función.

9 Función a b c d e 1 2 3 4 5 6 7 A B f Dominio de f:
Es aquel conjunto en el cual todos sus elementos conjunto de partida existen. Se denota por dom f. Rango o Recorrido de f: Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f. a b c d e 1 2 3 4 5 6 7 A B f

10 Luego para la función f denotada:
Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e} Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7} a b c d e 1 2 3 4 5 6 7 A B f Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

11 Clasificación a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B. Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B. a b c d 1 2 3 4 5 A B f Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A

12 Clasificación b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al menos, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A ≥ # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido. a b c d 1 2 A B f

13 Clasificación c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A. a b c 1 2 3 A B f

14 Función La Respuesta correcta es B

15 Función La Respuesta correcta es D

16 Función La Respuesta correcta es E

17 Función lineal

18 I. Función Lineal Es de la forma f(x) = mx + n con m : Pendiente
n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición). Ejemplo: La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.

19 I. Función Lineal Análisis de la Pendiente
Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente. Si m < 0, entonces la función es decreciente. Si m = 0, entonces la función es constante. Si m > 0, entonces la función es creciente.

20 I. Función Lineal I) X Y n m > 0 n > 0 m < 0 n < 0 II)
III) IV)

21 I. Función Lineal Tipos de funciones especiales:
a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es: 1 2 f(x) x -1

22 I. Función Lineal Tipos de funciones especiales:
b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es: f(x) x ● c f(x) x ● c con c > 0 con c < 0

23 I. Función lineal Propiedades:
El dominio de la función lineal son todos los números IR. Las rectas que tienen la misma m serán paralelas. Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.

24 I. Función Lineal Evaluación de una función lineal:
Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función. Ejemplo La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 200m es: f(x) = 0.8x con x: cantidad de metros recorridos f(x): costo en dolares 3 km = 3000 m Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es: f(3000) = 0.8 · = 2650 Por 3 kilómetros se pagan $2650.

25 I. Función Lineal Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $2.250, se debe resolver la siguiente ecuación: 2250 = 0.8x + 250 2000 = 0.8x 2500 = x Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5 kilómetros.

26 I. Función Lineal Gráficamente 5 3 1 1 2

27 VECTORES

28 INTRODUCCION Magnitud escalar: Cualquier magnitud matemática o física que se pueda representar solamente por un número real. Ejemplos: longitud, área, volumen, temperatura, etc. Magnitud vectorial: Son aquellas entidades en las que además del número que las determina, se requiere conocer la dirección. Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleración, etc. El ente matemático que representa a estas magnitudes se llama vector .

29 VECTORES Q P Definición 1: (Definición Geométrica de un vector)
Definamos el vector como un segmento de recta dirigido. Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q.

30 z y x OPERACIONES CON VECTORES B R = A+B Método del triángulo A B
Adición de vectores A B R = A+B B R = A+B A Método del triángulo Método del paralelogramo.

31 VECTORES EN EL PLANO (R2)
Definición 2: (Definición algebraica de un vector) Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a;b), donde a y b se llaman componentes del vector. (a,b) y x v= (a,b) se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0,0) v

32 Magnitud de un vector: Se denota por v
con: v= (a,b) Dirección del vector (a,b): ángulo medido en radianes, que forma el vector con el semi-eje positivo de las x (abscisas).

33 EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio numérico tridimensional. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS z plano yz plano xy orígen y x plano xz

34 módulo de a : VECTOR EN R3 p(a1,a2,a3) z a3 a2 y a1 x
vector a = (a1,a2,a3) de R3 módulo de a :

35 Igualdad: Dos vectores u y v son iguales u=v si tienen la misma magnitud y dirección
Si y solo si

36 SUMA Producto por un escalar

37 Vectores unitarios: Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.
Nota: En R2 y en R3 existen vectores que nos permiten representar cualquier otro vector en términos de ellos. Se les llaman vectores unitarios canónicos y se representan por

38 vectores unitarios canónicos i, j , k
Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente. x z y i j k

39 Definición Paralelismo de vectores
Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Dado:

40 Función cuadrática

41 II. Función Cuadrática f(x) = ax² + bx + c Son de la forma: Gráfica:
Siempre es una parábola, dependiendo su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c. f(x) = ax² + bx + c

42 II. Función Cuadrática Concavidad:
El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo. x y x y a > 0, Abierta hacia arriba a < 0, Abierta hacia abajo

43 II. Función Cuadrática Eje de simetría y vértice:
El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y , que pasa por el vértice de la parábola Y DETERMINA CON RECTAS PARALELAS AL EYE X LA MISMA DISTANCIA A SUS CORTES. -b 2a X=

44 II. Función Cuadrática · ·
Además, la recta x = , corresponde al Eje de simetría. -b 2a _ b² - 4ac 4a x y -b 2a x y _ b² - 4ac 4a -b 2a a > 0 a < 0

45 II. Función Cuadrática · Intersección con los ejes
Intersección con el eje Y El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y. Sus coordenadas son (0, c) c y x

46 II. Función Cuadrática Intersección con el eje X
para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática. Se define el discriminante como: D = b² - 4ac

47 II. Función Cuadrática ·
Y X a > 0 a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X. (x = x , 0) 1 2

48 II. Función Cuadrática · ·
b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X Y X a > 0 (x ,0) y (x , 0) 1 2

49 II. Función Cuadrática Y X a > 0 c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X Y SUS RAICES SON IMAGINARIAS.

50 II. Función Cuadrática Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general. Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión: x = -b +√b²- 4ac 2a 1 x = -b ±√b²- 4ac 2a x = -b -√b²- 4ac 2a 2 Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f(x) = ax² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas (x ,0) y (x , 0) 1 2

51 II. Función Cuadrática Tipos de soluciones D = b² - 4ac
Dependen del valor del Discriminante Si D = 0, 2 soluciones reales iguales Si D > 0, 2 soluciones reales distintas Si D < 0, 2 soluciones complejas distintas D = b² - 4ac

52 Ecuaciones lineales

53 Término independiente
DEFINICIÓN: Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Término independiente coeficientes incógnitas

54 ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución o soluciones. “Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.”

55 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Dos incógnitas: ax + by = c Una recta en el plano Tres incógnitas: ax + by + cz = d Un plano en el espacio Más de tres incógnitas “Hiperplanos”

56 Coeficientes del sistema
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como: Coeficientes del sistema incógnitas términos independientes m ecuaciones n incógnitas

57 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Una solución de un sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna

58 1.2.3 - SOLUCIONES Incompatible Sin solución Sistemas de
ecuaciones lineales Determinado Solución única Compatible Con solución Indeterminado Infinitas soluciones Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece Un sistema de ecuaciones lineales no puede tener exactamente dos soluciones, tres soluciones, cuatro soluciones, ...

59 SISTEMA HOMOGÉNEO Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0. En caso contrario se dice que es no homogéneo. Estos sistemas son siempre compatibles ya que x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 llamada solución trivial, es siempre solución del sistema. Será determinado si ésta es la única solución del sistema.

60 SISTEMAS EQUIVALENTES
Sistemas equivalentes: dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones. (Es necesario que tengan el mismo número de incógnitas. Para resolver un sistema es útil convertirlo en otro equivalente que sea fácilmente resoluble.(Sistemas escalonados) Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente: I. Intercambiar entre sí dos ecuaciones II. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero. III. Sumar miembro a miembro una ecuación a otra ecuación.

61 Sistema escalonado compatible determinado
SISTEMAS ESCALONADOS Un sistema escalonado es aquel en el que los coeficientes de la incógnitas situados por debajo de la diagonal principal (elementos que repiten subíndice) son nulos. Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles (De abajo a arriba) Sistema escalonado compatible determinado (x,y,z) = (6,-2,-5/2)

62 SISTEMAS ESCALONADOS Sistemas escalonados compatibles indeterminados

63 Sistemas incompatibles
SISTEMA ESCALONADO Sistemas incompatibles Este sistema es incompatible porque no hay ninguna solución (x, y, z) que pueda cumplir la tercera ecuación (la última ecuación no tiene sentido)

64 Método de Gauss Para convertir un sistema como: en un sistema escalonado, se pueden dar los siguientes pasos: I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero. II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1. III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii) IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones. Nota: Si al hacer Gauss queda un “cuadrado” hay que seguir haciendo ceros.

65 GAUSS: COMPATIBLE DETERMINADO
Hacer ceros Hacer ceros Clasificación: Sistema compatible determinado Solución: (x,y,z) = (6,-2,-5/2) Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en un punto.

66 GAUSS: COMPATIBLE INDETERMINADO
Hacer ceros Hacer ceros Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones Solución: Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta

67 Clasificación: Sistema Incompatible
GAUSS: INCOMPATIBLE Hacer ceros Hacer ceros Clasificación: Sistema Incompatible Solución: No existe solución Interpretación geométrica: Tres planos que no se cortan

68 Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones
GAUSS : CASO ESPECIAL Hacer ceros Hacer ceros Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones Solución: (x,y,z) = (2 - , , 1)    R Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta

69 1.º Se identifican las incógnitas.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.º Se identifican las incógnitas. 2.º Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones. 3.º Se resuelve el sistema. 4.º Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema.

70 REGLA DE CRAMER Si Anxn.Xnx1 = Bnx1 es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas tal que |A| ≠ 0, entonces cada variable se calcula mediante: Ai representa a la matriz obtenida a partir de A, sustituyendo la columna i de A por la columna B de los términos independientes.

71 RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. CON LA REGLA DE CRAMER
Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema utilizando la regla de Cramer.

72 SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES

73 ÍNDICE Inecuaciones lineales de dos incógnitas Sistemas de inecuaciones lineales Problemas textuales de sistemas de inecuaciones (1º bachillerato) de programación lineal (2º bachillerato)

74 La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano.
1 / 4 La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano. Los pasos a seguir para resolverla son: 1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual) 2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación. 3er paso: colorear el semiplano solución. 

75  Resuelve la inecuación: Represento la recta: Despejo la variable y:
2 / 4 Resuelve la inecuación: Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: x y 1 -1 3 -6 Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está es la solución. 

76  Algunas inecuaciones son sencillas:
3 / 4 Algunas inecuaciones son sencillas: Si la inecuación tiene una sola variable, la recta es paralela a alguno de los ejes. d b Asocia cada inecuación con su solución c e a 

77 Asocia cada inecuación con su solución
4 / 4 Resuelve las inecuaciones: Asocia cada inecuación con su solución d c b a 

78 1 / 5 La solución de un sistema de inecuaciones de dos incógnitas es una región (si existe). Los pasos a seguir para resolverla son: 1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual) 2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación. 3er paso: colorear el semiplano solución. 

79 Resuelve el sistema de inecuaciones:
2 / 5 Resuelve el sistema de inecuaciones: 1er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: x y 1 4 -2 -5 Elijo el punto (2,2), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

80 Resuelve el sistema de inecuaciones:
3 / 5 Resuelve el sistema de inecuaciones: 1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación 2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: x y 2 1 -2 3 Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

81  Resuelve el sistema de inecuaciones:
4 / 5 Resuelve el sistema de inecuaciones: 1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación 2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación 3er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores 

82 Resuelve los sistemas de inecuaciones:
5 / 5 Resuelve los sistemas de inecuaciones: Asocia cada sistema con su solución d a c b 

83 Programación lineal

84 Ejemplo Gepetto quiere maximizar sus beneficios.
Gepetto S.L., manufactura muñecos y trenes de madera. Cada muñeco: Produce un beneficio neto de 3 dolares. Requiere 2 horas de trabajo de acabado. Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria. Cada tren: Produce un beneficio neto de 2 dolares. Requiere 1 hora de trabajo de acabado. Requiere 1 hora trabajo de carpinteria. Cada semana Gepetto puede disponer de: Todo el material que necesite. Solamente 100 horas de acabado. Solamente 80 horas de carpinteria. También: La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite). La demanda de muñecos es como mucho 40. Gepetto quiere maximizar sus beneficios. ¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?

85 Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).
Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana y = nº de trenes Función Objetivo. En cualquier PPL, la decisión a tomar es como maximizar (normalmente el beneficio) o minimizar (el coste) de alguna función de las variables de decisión. Esta función a maximizar o minimizar se llama función objetivo. Restricciones Son desigualdades que limitan los posibles valores de las variables de decisión. En este problema las restricciones vienen dadas por la disponibilidad de horas de acabado y carpintería y por la demanda de muñecos. También suele haber restricciones de signo o no negatividad: x ≥ 0 y ≥ 0 El objetivo de Gepetto es elegir valores de x e y para maximizar 3x + 2y. Usaremos la variable z para denotar el valor de la función objetivo. La función objetivo de Gepetto es: Max z = 3x + 2y

86 Restricciones Cuando x e y crecen, la función objetivo de Gepetto también crece. Pero no puede crecer indefinidamente porque, para Gepetto, los valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones: Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de acabado pueden ser usadas. Restricción 2: no más de 80 horas de tiempo de carpinteria pueden ser usadas. Restricción 3: limitación de demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos. Estas tres restricciones pueden expresarse matematicamente por las siguientes desigualdades: Restricción 1: 2 x + y ≤ 100 Restricción 2: x + y ≤ 80 Restricción 3: x ≤ 40 Además, tenemos las restricciones de signo: x ≥ 0 e y ≥ 0

87 Formulación matemática del PPL
Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana y = nº de trenes producidos a la semana Muñeco Tren Beneficio 3 2 Acabado 1 ≤ 100 Carpintería ≤ 80 Demanda ≤ 40 Max z = 3x + 2y (función objetivo) 2 x + y ≤ (acabado) x + y ≤ (carpinteria) x ≤ 40 (demanda muñecos) x ≥ (restricción de signo) y ≥ (restricción de signo)

88 Formulación matemática del PPL
Para el problema de Gepetto, combinando las restricciones de signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones, tenemos el siguiente modelo de optimización: Max z = 3x + 2y (función objetivo) Sujeto a (s.a:) 2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado) x + y ≤ 80 (restricción de carpinteria) x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos) x ≥ 0 (restricción de signo) y ≥ 0 (restricción de signo)

89 Restricciones de Gepetto
Región factible La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano delimitada por el sistema de desigualdades que forman las restricciones. x = 40 e y = 20 está en la región factible porque satisfacen todas las restricciones de Gepetto. Sin embargo, x = 15, y = 70 no está en la región factible porque este punto no satisface la restricción de carpinteria [ > 80]. Restricciones de Gepetto 2x + y ≤ 100 (restricción finalizado) x + y ≤ (restricción carpintería) x ≤ (restricción demanda) x ≥ (restricción signo) y ≥ (restricción signo)

90 Solución óptima Se puede demostrar que la solución óptima de un PPL está siempre en la frontera de la región factible, en un vértice (si la solución es única) o en un segmento entre dos vértices contiguos (si hay infinitas soluciones) Para un problema de maximización, una solución óptima es un punto en la región factible en el cual la función objetivo tiene un valor máximo. Para un problema de minimización, una solución óptima es un punto en la región factible en el cual la función objetivo tiene un valor mínimo. La mayoría de PPL tienen solamente una solución óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen solución óptima, y otros PPL tienen un número infinito de soluciones. Más adelante veremos que la solución del PPL de Gepetto es x = 20 e y = 60. Esta solución da un valor de la función objetivo de: z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 € Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución óptima, estamos diciendo que, en ningún punto en la región factible, la función objetivo tiene un valor (beneficio) superior a 180.

91 Problemas de programación lineal
1 / 6 Problemas de programación lineal Los pasos a seguir para resolverlo son: 1er paso: plantear el sistema de inecuaciones e identificar la función objetivo. 2º paso: resolver el sistema de inecuaciones dibujando la región solución. 3er paso: dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el punto de la región solución que la optimiza. 4º paso: escribir la solución con una frase si es posible. 

92 2 / 6 Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima? 1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.) Chocolate x 0’5x 5x Manzana y 1y 6y Disponible 9 60 La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor posible:

93 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
3 / 6 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Tabla de valores: Despejo la variable y: x y 2 8 6 Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN. 3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Tabla de valores: Despejo la variable y: x y 6 5 12 Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

94 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
4 / 6 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones 5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores La solución del problema está en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas). 6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo El vector de la función objetivo es: Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

95 5 / 6 7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está más alejado. Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el mismo valor a la función objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la función objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la región factible más alejados están los valores óptimos: máximo y mínimo. Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema. SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se obtienen 147 €. 

96 Resuelve los problemas:
6 / 6 Resuelve los problemas: Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio? Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1,19 el tipo A y a 0,89 el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta? Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 y la de montaña a 90. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo? ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 y el autobús a 375. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar? a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59,40 . c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de  d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de

97 MÉTODO SIMPLEX

98 Ejemplo de Simplex: Vamos a resolver el siguiente problema: Maximizar
Z = f(x1,x2) = 3x1 + 2x2 Sujeto a: 2x1 + x2 ≤ 18 2x1 + 3x2  ≤ 42 3x1 + x2  ≤ 24 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

99 Se consideran los siguientes pasos:
1.      Convertir las desigualdades en igualdades: Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, este caso s1, s2, s3 para convertirlas en igualdades y formar el sistema de ecuaciones estandar. Usando en simplex el siguiente criterio: Signo: Introducir ≤ sn

100 FORMA ESTANDAR: 2x1 + x2 + s1 = 18 2x1 + 3x2 + s2 = 42 3x1 + x2 + s3 = 24

101 2. Igualar la función objetivo a cero y despues agregar la variables de holgura del sistema anterior: Z - 3 x1 - 2 x2 = 0 Para este caso en particular la funcion objetivo ocupa la ultima fila del tablero, pero de preferencia siempre se devera de colocar como la primer fila Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de Fo para convertirlo en negativo y cuando maximizamos tomamos el valor (+) negativo de Fo para convertirlo en positivo. 3. Escribir el tablero inicial simplex: En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: 

102 Tablero Inicial Base Variable de decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 2 1 18 3 42 24 Z -3 -2

103 Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base Para escoger la variable de decisión que entra en la base, (FLECHA ROJA PARTE SUPERIOR), observamos la ultima fila, la cual muestra los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente más negativo (en valor absoluto). En este caso, la variable x1 de coeficiente - 3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige cualquiera de ellos. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color azulado).

104 B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, (FLECHA ROJA COSTADO IZQUIERDO) se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, S3. Esta fila se llama fila pivote (en color azulado).  

105 Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución
Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 2 1 18 18/2 = 9 3 42 42/2 = 21 24 24/3 = 8 Z -3 -2

106 5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex.
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3, este indica que la variable de decisión X1 entra y la variable de holgura S3 sale. 5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex. Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila por el pivote operacional “3”, ya que este se debe convertir en 1. A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. 

107 Resultado de Iteración No. 1
Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1/3 1 -2/3 2 f(S1) – 2 f(X1) 7/3 26 f(S2) – 2 f(X1) -1/3 8 (1/3) X1 Z -1 24 f(Z) + 3 f(X1)

108 Como en los elementos de la última fila hay un numero negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso: La variable que entra en la base es x2, por ser la columna pivote que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos los términos de la columna solución entre los términos de la nueva columna pivote:   y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la fila pivote y la variable de holgura que sale es S1. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Y se opera de forma análoga a la anterior iteración 

109 Iteración No. 2 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1/3 1 -2/3 2 2/(1/3) = 6 7/3 26 26/(7/3) = 78/7 -1/3 8 8/(1/3) = 24 Z -1 24

110 Resultado de Iteración No. 2
Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1 3 -2 6 3X2 -7 4 12 f(S2) – (7/3) f(X2) -1 f(X1) – (1/3) f(X2) Z 30 f(Z) + f(X2)

111 Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso: La variable que entra en la base es S3, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es S2. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. Obtenemos la tabla: 

112 No se toma por ser negativo
Iteración No. 3 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1 3 -2 6 No se toma por ser negativo -7 4 12 12/4 = 3 -1 6/1 = 6 Z 30

113 Resultado de Iteración No. 3
Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1 -1/2 12 f(X2) + 2 f(S3) -7/4 3 (1/4) S3 -3/4 f(X1) – f(S3) Z 5/4 33 f(Z) + f(S3)

114 Tablero Final Base Variable de decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 1 -1/2 12 -7/4 3 -3/4 Z 5/4 33

115 Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima. Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33.

116 Estadística y probabilidades

117 Conceptos Básicos Experimento Aleatorio: Proceso en observación
Evento Elemental: -“Resultado” de un experimento indivisible -“Mutualmente Excluyentes”: si ocurre uno no existe posibilidad de observar otro “Equiprobable” : Cada evento simple tiene identica probabilidad Espacio Muestral El conjunto de todas las observaciones elementales Evento “A” El conjunto de todos los eventos elementales observaciones posibles que resultan en la ocurrencia del evento “A”

118 Espacio Muestral 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Distintas formas como puede resultar el experimento. Ya que las esferas has sido sacadas al azar, cada uno de ellos tiene la misma posibilidad de ocurrir 2 1 3 II Traspasar Roja # 1 3 2 1 3 I II 1 Traspasar Verde # 1 2 Estas 12 formas en que puede ocurrir el experimento – cada una con identica posibiloidad - es lo que llamamos el Espacio Muestral. ¿Cuál es la probabilidad que la esfera sacada de la urna II sea verde? A :={la esfera sacada de la urna dos es de color verde} Existen cinco (5) resultados favorables al evento, cada uno con una probabilidad de ocurrur 1/12. Casos: 4, 7, 8, 11 y 12 Luego A = { 4, 7, 8, 11, 12} Entonces p(4)=p(7) =.....= p(12) = 1/12 P(A) = p(4)+ p(7)+ p(8) + p(11)+ p(12) = 1/12+ 1/12+ 1/12+ 1/12+ 1/12 = 4/ 12 Número de casos favorables al evento Número total de eventos posibles 2 2 3 II Traspasar Verde # 2 3 2 P(A) =

119 Cálculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables)
Noción intuitiva: P(A) = Resultados favorables al evento A Resultados posibles Noción frecuentista: Sea N: N° total de veces que se realiza un experimento NA: N° total de veces que ocurre A P(A) =

120 Sea N el número de objetos.
Observación En muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de manera aleatoria uno o más objetos desde una colección de objetos Sea N el número de objetos. Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la misma probabilidad de ser elegido. P(elegir ai ) = 1/ N Elegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir un par cualesquieres es 1/ K. Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser seleccionada que cualquier otra r-tupla.

121 Probabilidad Axiomática
Axioma 1: P(A)  0 Axioma 2: P() = 1 Suponiendo que A1, A2,..... son eventos mutuamente excluyentes Axioma 3: P(Ai) = P(Ai)

122 Propiedades 1. P() = 0 2. P(A)  1 3. P(AC) = 1 - P(A)
4. Si A  B  P(A)  P(B) 5. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) P(Ai)   P(Ai) Si A  B  P(B-A) = P(B) - P(AB) PROBABILIDADES SUCESIVAS P(A) + P(B) = P(A+B) P(A) Y P(B)= P(A) * P(B)

123 Probabilidad Condicional
Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0. La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A/B) : P(A/B) = P(AB) P(B) Propiedades: 1. P(A/B)  0 2. P( /B) = 1 3. P(Ai/B) =  P(Ai/B) con Ai Aj =  ,  i, j : i j

124 Casos Probabilidad Condicional
Si A  B =   P(A | B) = = = 0 P(A  B ) P(B) P() A B Si A  B = A  P(A | B) = =  P(A) P(A  B ) P(B) P(A) A B Si A  B = B  P(A | B) = = = 1 P(A  B ) P(B) A B Si A  B    P(A | B) = = P(A  B ) P(B)

125 Variaciones Def: Sea A un conjunto : , se llama variación simple o sin repetición a todo subconjunto de n elementos distinguiéndose estos entre si, en los elementos que lo componen y en el orden en que estos elementos van colocados A={x1,x2, xn } V(n,2)= n(n-1) ; V(n,3)= n(n-1)(n-2)... V(n,k)= n(n-1)(n-2)......(n-k+1) Obs: Si las variaciones son con repetición V1(n,k) = nk

126 Permutaciones Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n  CUANDO EL ORDEN IMPORTA : Nota: Estudiar permutaciones con repetición P r n = - ! ( ) n objetos 1 2 3 4 r

127 Combinaciones n r = - ! r!( ) C(n,r) Combinaciones( sin repetición):
Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n  CUANDO EL ORDEN NO IMPORTA Nota : Estudiar combinaciones con repetición C1(n,r)= (n+r-1)!/ r!(n-1)!

128 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Miden qué tanto se dispersan las observaciones alrededor de su media.

129 MEDIDAS DE DISPERSIÓN En algunos casos existen conjuntos de datos que tienen la misma media y la misma mediana, pero esto no refleja qué tan dispersos están los elementos de cada conjunto. Ejemplo: Conjunto , 90, 100, 110, 120 Conjunto , 50, 100, 150, 200 Conjunto 1 Conjunto 2 Observa que para ambos conjuntos la Mediana es igual a 100. También nota que los datos del conjunto 2 están más dispersos con respecto a su media que los datos del conjunto 1.

130 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Existen diversas medidas estadísticas de dispersión, pero muchos autores coinciden en que las principales son: Rango Varianza Desviación estándar Coeficiente de variación

131 RANGO Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado (Límite superior) y el valor más bajo (Límite inferior). FÓRMULA Ejemplo 1. Ante la pregunta sobre número de hijos por familia, una muestra de 12 hogares, marcó las siguientes respuestas: Calcula el rango de la variable Solución.

132 Ejemplo 2. Hay dos conjuntos sobre la cantidad de lluvia (mm) en Taipei y Seúl en un año. Calcula el rango en cada una de las ciudades. Solución. Aplicando la fórmula correspondiente tenemos: Taipei Seúl En este caso se puede observar que el rango es el mismo para ambos casos aunque las cantidades sean diferentes.

133

134 VARIANZA (Datos no agrupados)
Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. La sumatoria obtenida se divide por el tamaño de la muestra. FÓRMULA Muestral Poblacional

135 La varianza siempre será mayor que cero
La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están. Ejemplo 1. Calcula la varianza para los siguientes datos Solución. Primero es necesario obtener la media. En este caso Ahora aplicamos la fórmula correspondiente

136 Ejemplo 2. A continuación se muestran dos conjuntos de datos obtenidos a partir de un experimento químico que realizaron dos estudiantes distintos. Calcular la varianza. Solución. Primero es necesario obtener la media de cada conjunto de datos. En este caso Estudiante A Estudiante B Ahora aplicamos la fórmula correspondiente

137 Solución (Continuación).
Estudiante A Estudiante B

138 DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Datos no agrupados)
También llamada desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución. Específicamente, la desviación estándar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma,σ, según se calcule en una muestra o en la población. Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca de la media. FÓRMULA Muestral Poblacional

139 Ejemplo 1. Si retomamos el ejemplo 1 que corresponde a la varianza: Calcula la desviación estándar para los siguientes datos Solución. Una vez que hemos calculado la media y la varianza, sólo resta calcular la raíz cuadrada de la varianza.

140 Ejemplo 2. Solución. Estudiante A Estudiante B
Considerando nuevamente el segundo ejemplo que estudiaste para calcular la varianza, tenemos: A continuación se muestran dos conjuntos de datos obtenidos a partir de un experimento químico que realizaron dos estudiantes distintos. Calcular la varianza. Solución. Una vez que has calculado la media y la varianza, es necesario calcular la desviación estándar a partir de la obtención de la raíz cuadrada de la varianza. Estudiante A Estudiante B

141 COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Es una medida de dispersión que se utiliza para poder comparar las desviaciones estándar de poblaciones con diferentes medias y se calcula como cociente entre la desviación típica y la media. FÓRMULA Muestral Poblacional

142 Ejemplo 1. En dos cursos los promedios que sacaron sus alumnos fueron 6.1 y 4.3 y las desviaciones estándar respectivas fueron 0.6 y 0.45 respectivamente. ¿En qué curso hay mayor dispersión? Solución Para responder esto, debemos obtener el coeficiente de variación aplicando la fórmula Claramente, el curso A tiene una dispersión menor que el B, pese a presentar una mayor desviación estándar.

143 VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Datos agrupados)
Cuando los datos están agrupados en tablas de frecuencias, el significado de las medidas de dispersión es el mismo, sin embargo la manera de calcularlas es diferente. Enseguida se muestra la fórmula para la varianza, pero recuerda que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la primera. FÓRMULA Muestral Poblacional

144 Ejemplo 1. Se han registrado durante 20 días, el número de viajeros que hacen reservaciones a una agencia de viajes pero que no las hacen efectivas: Calcula las medidas de dispersión de la variable en estudio. Interpreta i Número de viajeros (xi ) Frecuencia (fi) 1 12 3 2 13 14 6 4 15 5 16 Total 70 20

145 Solución. Tal como lo indica la fórmula, primero es necesario multiplicar la variable (xi ) por la frecuencia (fi) y añadirlo como una columna a la tabla. i Número de viajeros (xi ) Frecuencia (fi) xi fi 1 12 3 36 2 13 39 14 6 84 4 15 45 5 16 80 Total 70 20 284

146 Después se obtiene el cuadrado de la variable x, o sea, (xi )2.
Solución (Continuación). Después se obtiene el cuadrado de la variable x, o sea, (xi )2. i Número de viajeros (xi ) Frecuencia (fi) xi fi xi2 1 12 3 36 144 2 13 39 169 14 6 84 196 4 15 45 225 5 16 80 256 Total 70 20 284 990

147 Solución (Continuación).
Ahora se multiplica el cuadrado de la variable por la frecuencia, es decir, (fixi2). i Número de viajeros (xi ) Frecuencia (fi) xi fi xi2 fixi2 1 12 3 36 144 432 2 13 39 169 507 14 6 84 196 1176 4 15 45 225 675 5 16 80 256 1280 Total 70 20 284 990 4070

148 Solución (Continuación).
Una vez obtenidos todos los datos anteriores, se procede a aplicar la fórmula i Número de viajeros (xi ) Frecuencia (fi) xi fi xi2 fixi2 1 12 3 36 144 432 2 13 39 169 507 14 6 84 196 1176 4 15 45 225 675 5 16 80 256 1280 Total 70 20 284 990 4070

149 Solución (Continuación).
Número de viajeros (xi ) Frecuencia (fi) xi fi xi2 fixi2 1 12 3 36 144 432 2 13 39 169 507 14 6 84 196 1176 4 15 45 225 675 5 16 80 256 1280 Total 70 20 284 990 4070

150 FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC RELATIVA ACUMULADA %
Ejemplo 2. De acuerdo a la siguiente tabla, calcula la varianza y la desviación estándar: NOTA x FREC. ABSOLUTA f FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA % FREC RELATIVA ACUMULADA % 1.2 1 0.1 1.4 2 3 0.2 0.3 1.6 6 0.6 1.8 8 14 0.8 2.0 28 2.8 2.2 18 46 4.6 2.4 19 65 1.9 6.5 2.6 22 87 8.7 25 112 2.5 11.2 3.0 26 138 13.8 3.2 27 165 2.7 16.5 3.4 31 196 3.1 19.6 3.6 35 231 3.5 23.1 3.8 38 269 26.9 4.0 45 314 4.5 31.4 4.2 360 36.0 4.4 48 408 4.8 40.8 52 460 5.2 46.0 58 518 5.8 51.8 5.0 60 578 6.0 57.8 56 634 5.6 63.4 5.4 54 688 68.8 51 739 5.1 73.9 50 789 78.9 835 83.5 6.2 44 879 87.9 6.4 40 919 91.9 6.6 32 951 95.1 6.8 982 98.2 7.0 1000 100 TOTAL 4717

151 FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC RELATIVA ACUMULADA %
Solución. El primer paso es calcular xi fi: NOTA x FREC. ABSOLUTA f FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA % FREC RELATIVA ACUMULADA % xi fi 1.2 1 0.1 1.4 2 3 0.2 0.3 2.8 1.6 6 0.6 4.8 1.8 8 14 0.8 14.4 2.0 28 2.2 18 46 4.6 39.6 2.4 19 65 1.9 6.5 45.6 2.6 22 87 8.7 57.2 25 112 2.5 11.2 70 3.0 26 138 13.8 78 3.2 27 165 2.7 16.5 86.4 3.4 31 196 3.1 19.6 105.4 3.6 35 231 3.5 23.1 126 3.8 38 269 26.9 144.4 4.0 45 314 4.5 31.4 180 4.2 360 36.0 193.2 4.4 48 408 40.8 211.2 52 460 5.2 46.0 239.2 58 518 5.8 51.8 278.4 5.0 60 578 6.0 57.8 300 56 634 5.6 63.4 291.2 5.4 54 688 68.8 291.6 51 739 5.1 73.9 285.6 50 789 78.9 290 835 83.5 276 6.2 44 879 87.9 272.8 6.4 40 919 91.9 256 6.6 32 951 95.1 6.8 982 98.2 210.8 7.0 1000 100 TOTAL 4717

152 FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC RELATIVA ACUMULADA %
Solución (Continuación). Después se obtiene el cuadrado de la variable x, o sea, (xi )2. NOTA x FREC. ABSOLUTA f FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA % FREC RELATIVA ACUMULADA % xi fi xi2 1.2 1 0.1 1.44 1.4 2 3 0.2 0.3 2.8 1.96 1.6 6 0.6 4.8 2.56 1.8 8 14 0.8 14.4 3.24 2.0 28 4 2.2 18 46 4.6 39.6 4.84 2.4 19 65 1.9 6.5 45.6 5.76 2.6 22 87 8.7 57.2 6.76 25 112 2.5 11.2 70 7.84 3.0 26 138 13.8 78 9 3.2 27 165 2.7 16.5 86.4 10.24 3.4 31 196 3.1 19.6 105.4 11.56 3.6 35 231 3.5 23.1 126 12.96 3.8 38 269 26.9 144.4 14.44 4.0 45 314 4.5 31.4 180 16 4.2 360 36.0 193.2 17.64 4.4 48 408 40.8 211.2 19.36 52 460 5.2 46.0 239.2 21.16 58 518 5.8 51.8 278.4 23.04 5.0 60 578 6.0 57.8 300 56 634 5.6 63.4 291.2 27.04 5.4 54 688 68.8 291.6 29.16 51 739 5.1 73.9 285.6 31.36 50 789 78.9 290 33.64 835 83.5 276 36 6.2 44 879 87.9 272.8 38.44 6.4 40 919 91.9 256 40.96 6.6 32 951 95.1 43.56 6.8 982 98.2 210.8 46.24 7.0 1000 100 49 TOTAL 4717

153 FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC RELATIVA ACUMULADA %
Solución (Continuación). Ahora se multiplica el cuadrado de la variable por la frecuencia, es decir, (fixi2). NOTA x FREC. ABSOLUTA f FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA % FREC RELATIVA ACUMULADA % xi fi xi2 fixi2 1.2 1 0.1 1.44 1.4 2 3 0.2 0.3 2.8 1.96 3.92 1.6 6 0.6 4.8 2.56 7.68 1.8 8 14 0.8 14.4 3.24 25.92 2.0 28 4 56 2.2 18 46 4.6 39.6 4.84 87.12 2.4 19 65 1.9 6.5 45.6 5.76 109.44 2.6 22 87 8.7 57.2 6.76 148.72 25 112 2.5 11.2 70 7.84 196 3.0 26 138 13.8 78 9 234 3.2 27 165 2.7 16.5 86.4 10.24 276.48 3.4 31 3.1 19.6 105.4 11.56 358.36 3.6 35 231 3.5 23.1 126 12.96 453.6 3.8 38 269 26.9 144.4 14.44 548.72 4.0 45 314 4.5 31.4 180 16 720 4.2 360 36.0 193.2 17.64 811.44 4.4 48 408 40.8 211.2 19.36 929.28 52 460 5.2 46.0 239.2 21.16 58 518 5.8 51.8 278.4 23.04 5.0 60 578 6.0 57.8 300 1500 634 5.6 63.4 291.2 27.04 5.4 54 688 68.8 291.6 29.16 51 739 5.1 73.9 285.6 31.36 50 789 78.9 290 33.64 1682 835 83.5 276 36 1656 6.2 44 879 87.9 272.8 38.44 6.4 40 919 91.9 256 40.96 1638.4 6.6 32 951 95.1 43.56 6.8 982 98.2 210.8 46.24 7.0 1000 100 49 882 TOTAL 4717 4717 

154 Solución (Continuación).
Una vez obtenidos todos los datos anteriores, se procede a aplicar la fórmula Varianza Desviación estándar