Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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1 Apuntes de Matemáticas 2º ESO
Tema 5.2 Monomios @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

2 Apuntes de Matemáticas 2º ESO
Monomios Un monomio es la expresión algebraica más sencilla. Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la MULTIPLICACIÓN y la POTENCIACIÓN DE EXPONENTE NATURAL. EJEMPLO 4.x3 El 4 es el coeficiente numérico. La letra x es la variable. El 3 es el exponente de la variable, que se llama GRADO del monomio. EJEMPLOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA Por x representaríamos una longitud. Por x2 representaríamos una superficie. Por x3 representaríamos un volumen. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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Ejercicios x2 y.z3 / 5 El 1/5 es el coeficiente numérico. La letra x es una variable, y su grado es 2. La letra y es otra variable, y su grado es 1. La letra z es otra variable, y su grado es 3. - 3.x no es un monomio, pues el exponente de x es negativo. 5.(x / y) no es un monomio, pues la variable y está dividiendo. 3 no es un monomio, pues la variable x está dividiendo. 2.x - 3.x.√y no es un monomio, pues la variable y está bajo una raíz. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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MÁS EJEMPLOS a.x3 La a es el coeficiente no numérico (indeterminada, no variable). La letra x es la variable. a.b2 La letra a es una variable. La letra b es otra variable. 3. b2 .x . y 3 / a El 3. b2 / a es el coeficiente. La letra x es una variable. La letra y es otra variable. En general: a, b, c, d, …. Son los coeficientes no numéricos. En general: x, y, z , t , …. Son las variables. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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Monomios semejantes Dos monomios son SEMEJANTES si tienen la misma parte literal. EJEMPLO 4.x , 7.x3 , x3  Parte literal común: x3 - 5.a , 31.a5 , a5  Parte literal común: a5 x.y , 7.x.y3 , x.y3  Parte literal común: x.y3 Para que dos o más monomios se puedan sumar deben ser semejantes. 3.x + 2.y no se pueden sumar (¿Tres peras + dos naranjas?) 5.x x3 no se pueden sumar (¿5 m2 + 2 m3 ?). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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Suma de monomios La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio, que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como parte literal la misma que la de los sumandos. Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO EJEMPLOS 4.x3 + 7.x x3 = ( – 5 ).x3 = 6.x  Monomio 4.x3 + a.x3 - x3 = ( 4 + a – 1 ).x3 = ( 3 + a ).x  Monomio 4.x3 + 7.x x2 = ( 4 + 7).x x2 = 11.x x2  Polinomio @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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EJEMPLOS 4.x x3 = (4+5).x3 = 9.x3 3.x2 – 5.x2 = (3 – 5).x2 = – 2 .x2 2.x4 – 7.x x4 = (2 – 7 + 8).x4 = 3.x4 7.x3 + a.x3 = (7 – a).x3 5.x2 + a.x2 + x2 = (5+a+1).x2 = (6+a).x2 Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios semejantes es siempre un monomio, aunque su coeficiente sea mixto. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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EJEMPLOS 4.x x = 4.x3 + 5.x 3.x2 – 5.x x = (3 – 5).x x = – 2 .x x 2.x4 – 7.x x4 = (2 + 8).x4 – 7. x3 = 10.x4 – 7.x3 7.x3 + a.x3 + 3.x – 5 = (7 – a).x3 + 3.x – 5 5.x3 + a.x2 + x3 = (5+1).x3 + a.x2 = 6.x3 + a.x2 Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios no semejantes es siempre un polinomio. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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Producto de monomios El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x3 y 5.x2 (4.x3 ). (5.x2 ) = 4.5. x3+2 = 20.x5 Sea 7.x3 y 5.a.x3 (7.x3 ). (5.a.x3 ) = 7.5.a. x3+3 = 35.a.x6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x x x (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x x x ) = = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).( - 2.x ) = = 20.x x x4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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OTRO EJEMPLO Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x y2.x – 2.x.y + 3 (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x y2.x – 2.x.y + 3 ) = = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) = = 20.x3.y x2.y x2.y x.y UN EJEMPLO MÁS Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x a2.x (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x a2.x) = = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x a2.x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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División de monomios La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor. EJEMPLO Sea 20.x5 y 5.x2 (20.x5 ) : (5.x2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4.x3 Sea 2.x3 y 5.x (2.x3 ) : (5.x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0,4.x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x3 y 5.x2 (4.x3 ) / (5.x2 ) = (4/5). x3 – 2 = 0,8.x Sea 14.x5 y 7.a.x3 (14.x5 )/ (7.a.x3 ) = (14/7.a). x5 – 3 = (2/a).x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

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Potencia de monomios La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la misma y grado el producto de las potencias. EJEMPLO 1 Sea (4.x3)2 (4.x3)2 = (4)2. (x3)2 = 16. x3.2 = 16.x6 EJEMPLO 2 Sea [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 = ( x 5x2) 3 = x 5x2x3 = x 30 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

15 Apuntes de Matemáticas 2º ESO
EJEMPLO 3 Sea [(1/2 ).x2 ]3 (1/2)3. (x2 )3 = (1/8). x2.3 = (1/8).x6 EJEMPLO 4 Sea (2.x4 )5 (2)5. (x4)5 = 32.x4.5 = 32.x20 EJEMPLO 5 Sea (2.x3 .y)4 (2)4. (x3)4 .y4 = 16.x3.4 .y4 = 16.x12.y4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO