© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Mecánica 3D II En esa presentación.

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1 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Mecánica 3D II En esa presentación continuamos con la descripción de sistemas mecánicos 3D por gráficos de ligaduras múltiples. Completamos la descripción de las articulaciones. Después hablamos del problema de los bucles cinemáticos cerrados. Presentamos un ejemplo completo de un modelo de la mecánica 3D: el modelo de una bicicleta. Se acaba la presentación con un análisis de la eficiencia del código de simulación generado del modelo.

2 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Contenido Transformadores del trasladoTransformadores del traslado El traslado fijoEl traslado fijo Articulaciones de giroArticulaciones de giro Articulaciones esféricasArticulaciones esféricas La selección de las variables del estadoLa selección de las variables del estado Bucles cinemáticos cerradosBucles cinemáticos cerrados La precisión de los resultados de simulaciónLa precisión de los resultados de simulación La eficiencia de las simulacionesLa eficiencia de las simulaciones

3 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Los Transformadores del Traslado También en la mecánica 3D se necesitan transformadores del traslado especiales que describen los efectos de transformar un movimiento a través de una vara. El giro alrededor de un lado de la vara produce un movimiento de traslado del otro lado. Matemáticamente la transformación puede describirse de la forma siguiente: v 2 = ω 1 × r τ 1 = r × f 2

4 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Los Transformadores del Traslado II La biblioteca MultiBondLib ofrece cuatro diferentes transformadores especiales de la mecánica 3D:

5 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 El Traslado Fijo Una vara se modela por el gráfico de ligaduras múltiples siguiente: Transformación del traslado del lado “frame_a” al lado “frame_b” Transformación de coordenadas del sistema inercial al sistema del cuerpo

6 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 El Traslado Fijo II Un giro alrededor del frame_a produce un traslado al frame_b: Reducción del par de torsión Aumento de la velocidad

7 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 El Traslado Fijo III Transformación de coordenadas de la información de posición. Afecta solamente el traslado porque el giro no cambia.

8 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Articulación del Giro La articulación del giro no cambia el movimiento del traslado. Una tal articulación puede representar o un gozne o un movimiento forzado dependiente de como se conecta. Si la articulación representa un gozne, el par de torsión externo a la articulación es cero. La articulación calcula el ángulo relativo entre frame_a y frame_b, y de este ángulo calcula la matriz de orientación que se pide para determinar la transformación de coordenadas del frame_a al frame_b.

9 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Articulación del Giro II La matriz de orientación se calcula del ángulo relativo φ usando el método del giro alrededor de un plano. Velocidad y posición relativas de la articulación se calculan aquí. Transformación de coordenadas del frame_a al frame_b

10 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Articulación del Giro III La velocidad angular adicional se añade aquí en el caso de que la articulación se use de engranaje, es decir si un par de torsión externo se introduce a la fuente del esfuerzo.

11 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Articulación del Giro IV ¿Cómo se determina la causalidad adecuada de las transformaciones de coordenadas? La matriz de orientación tiene que multiplicarse desde el lado del sistema inercial. Entonces tenemos que mirar donde se conecta el transformador a la pared. Este lado debe usarse como el lado de entrada del transformador. Dymola ofrece una función (rooted()) que puede usarse para ello.

12 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Articulación del Giro V La causalidad computacional se calcula en la ventanilla de las ecuaciones. La representación gráfica “root?” sólo sirve de advertencia, lo que se ve fácilmente porque las conexiones no se conectan hasta los conectadores.

13 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Articulación Esférica La articulación esférica es similar a la articulación de giro porque resulta solamente en movimientos relativos de giro. Sin embargo, la articulación esférica tiene tres grados de libertad en lugar de un solo. Todos los giros se permiten. Entonces no se puede calcular fácilmente el plano perpendicular al giro, y por consecuencia, el método del giro alrededor de un plano no sirve. Se pueden usar o los ángulos de Cardan o alternativamente los cuaterniones. Los dos métodos necesitan representaciones diferentes del vector de los ángulos. Entonces, el gráfico de ligaduras calcula solamente Los ángulos de Cardan o alternativamente el vector de los cuaterniones se integran desde las velocidades usando modelos especiales.

14 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Articulación Esférica II Calculo de las velocidades angulares. Calculo de los ángulos de Cardan o el vector de los cuaterniones. Calculo de la matriz de orientación o de los ángulos de Cardan o del vector de los cuaterniones.

15 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Articulación Esférica III En Dymola es posible invocar un modelo de forma condicional. Solamente puede hacer y verse en la vista expandida de la ventanilla de ecuaciones. Conexiones a modelos invocados de forma condicional son condicionales.

16 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Selección de las Variables del Estado Si tratamos con sistemas multicuerpos, importa mucho la selección de las variables del estado, porque influencia fuertemente la eficacia del código de simulación obtenido. Si seleccionamos las variables del estado bien, el número de ecuaciones de simulación de un sistema multicuerpos estructurado como un árbol crece de forma lineal con el número de grados de libertad. Si seleccionamos las variables del estado mal, el número de ecuaciones de simulación crece con la cuarta potencia del número de grados de libertad. Para obtener un código de simulación eficiente, tenemos que usar las posiciones y velocidades relativas de las articulaciones como nuestras variables de estado preferidas.

17 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles Cinemáticos Cerrados Las herramientas que encontramos hasta ahora sirven para el modelado de sistemas multicuerpos que tienen la topología de árbol. Sin embargo existen muchos sistemas multicuerpos con bucles cinemáticos cerrados. Bucles cinemáticos ofrecen a un sistema mecánico rigidez adicional y por eso se usan mucho. Un ejemplo típico es una lámpara de despacho que puede moverse para dar luz óptima donde más sirve. Bucles cinemáticamente cerrados x y

18 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles Cinemáticos Cerrados II Desafortunadamente, los bucles cinemáticos cerrados producen descripciones redundantes. La razón es que existen conexiones cerradas de una raíz (pared) a otra. Entonces es posible calcular las posiciones y velocidades en un tal sistema de dos maneras empezando con cualquier de las dos raíces. Existen diferentes algoritmos que pueden usarse para tratar con ese problema.

19 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles Cinemáticos Cerrados III Para evitar redundancias asociadas con conexiones cerradas, es posible declarar en cada bucle cinemático cerrado una articulación como articulación de corte. Las articulaciones de corte no definen integradores, y por eso evitan la introducción de ecuaciones redundantes. En el pasado Dymola suportó ese concepto ofreciendo un número de articulación de corte. El método se abandonó porque pidió un análisis manual de la topología del sistema por el usuario. x y Articulaciones de corte

20 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles Cinemáticos Cerrados IV Una solución alternativa es de romper el bucle cinemático cerrado en una conexión en lugar de una articulación. La desventaja de este método es que permitimos el uso de integradores superfluos que no son verdaderamente necesarios. Eso reduce la eficiencia del código de simulación un poco, pero el método es más cómodo porque puede automatizarse. Ese método funciona casi siempre …

21 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles Cinemáticos del Plano: Un Ejemplo Empezamos con un ejemplo de un bucle cinemático del plano: Cada una de las articulaciones de giro define un grado de libertad. La articulación prismática elimina dos de los grados de libertad. Un bucle cinemático cerrado se forma por tres de las articulaciones de giro, dos traslados fijos más la articulación prismática. Tenemos que romper el bucle en un lugar. Bucle cinemático cerrado

22 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles Cinemáticos del Plano: Un Ejemplo II Se puede introducir un modelo de ruptura de bucles en cualquier lugar: El modelo de ruptura de bucles evita conectar las velocidades de los dos lados. Conecta las posiciones pero no las velocidades. Este método rende bastante libertad al sistema para que se elimine la redundancia entre las ecuaciones.

23 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 El Modelo de la Ruptura de Bucles Eliminando las ecuaciones de los conectadores en el nivel de las velocidades nos permite calcular las velocidades por separado de los dos lados, aunque calculamos el mismo valor dos veces.

24 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles Cinemáticos del Plano: Ejemplo III Simulamose el modelo para ver que está haciendo:

25 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles Cinemáticos del Plano: Ejemplo IV Con un poco de ayuda Dymola es capaz de insertar el modelo de la ruptura de bucles de forma automática. Para ello, el usuario (o mejor la biblioteca) tiene que declarar los elementos que forman un bucle cinemático cerrado usando la función defineBranch(): Es necesario para que funcione la función rooted() correctamente. Si lo hace de forma automática, Dymola rompe el bucle tan lejos de la raíz que sea posible. De esta forma los dos caminos tienen la misma longitud.

26 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles Cinemáticos del Plano: Un Ejemplo V En realidad Dymola no inserta el modelo ClosedLoop de forma automática. Resuelve el problema de una manera diferente: Al lugar donde Dymola decide romper el bucle usa un conjunto alternativo de ecuaciones. Se formula en una función encapsulada que se llama equalityConstraint(). Un vector de residuos se introduce que ofrece los grados de libertad adicionales que se necesitan para evitar el problema de las ecuaciones redundantes.

27 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles en el Plano Modelados Usando la Biblioteca de la Mecánica 3D El algoritmo automático de la ruptura de bucles cinemáticos no funciona siempre. El ejemplo siguiente demuestra el problema: Miramos por primero a los resultados de la simulación para que entendamos que hace el sistema:

28 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Bucles en el Plano Modelados Usando la Biblioteca de la Mecánica 3D II El problema es el siguiente: Hay dos bucles cinemáticos cerrados, cada uno definido por tres articulaciones de giro más una articulación prismática. Dos articulaciones de giro ya sirven para limitar la libertad de movimiento a un solo eje. La restricción introducida por la tercera articulación es superflua. Esta redundancia adicional no se elimina usando el algoritmo automático de la ruptura de bucles. Para resolver ese problema se introdujo una articulación de giro de corte en la biblioteca 3D de la MultiBondLib que puede usarse para la ruptura de bucles cinemáticos cerrados en el plano modelados usando modelos de la mecánica 3D.

29 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Bicicleta: Un Segundo Ejemplo Modelamos ahora una bicicleta usando los modelos multicuerpos envasados contenidos en la biblioteca 3D de la MultiBondLib:

30 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Bicicleta: Un Segundo Ejemplo II El uso de los modelos envasados de la biblioteca 3D es simple. Aquí es el gráfico de ligaduras múltiples que se necesita para simular la bicicleta sin la idea del envase de modelos: ¡No tenemos que comentar más sobre ese modelo!

31 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Precisión de los Resultados de Simulación Simulamos otro modelo más. Demuestra de forma muy guapa los efectos giroscópicos.

32 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Precisión de los Resultados de Simulación II El modelo se simuló tres veces con diferentes valores de los parámetros: La precisión de los resultados de la simulación obtenidos depende de la selección del método usado para calcular la matriz de orientación. A veces vale la pena experimentar un poco con los modelos para que se obtengan buenos resultados de forma eficiente.

33 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Eficiencia de las Simulaciones La tabla siguiente compara la eficiencia del código de simulación obtenido usando la biblioteca multicuerpos contenida en la biblioteca estándar de Modelica con la del código obtenido usando la biblioteca mecánica 3D contenida en la MultiBondLib.

34 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Referencias I Zimmer, D. (2006), A Modelica Library for MultiBond Graphs and its Application in 3D- Mechanics, MS Thesis, Dept. of Computer Science, ETH Zurich. A Modelica Library for MultiBond Graphs and its Application in 3D- Mechanics Zimmer, D. and F.E. Cellier (2006), “The Modelica Multi-bond Graph Library,” Proc. 5 th Intl. Modelica Conference, Vienna, Austria, Vol.2, pp. 559-568.The Modelica Multi-bond Graph Library

35 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Referencias II Cellier, F.E. and D. Zimmer (2006), “Wrapping Multi-bond Graphs: A Structured Approach to Modeling Complex Multi-body Dynamics,” Proc. 20 th European Conference on Modeling and Simulation, Bonn, Germany, pp. 7-13.Wrapping Multi-bond Graphs: A Structured Approach to Modeling Complex Multi-body Dynamics