Modelo de Clasificación Análisis de la Varianza Ejemplo 1:Modelo de Clasificación unifactorial Comparación del porcentaje de semillas germinadas en función.

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2 Modelo de Clasificación Análisis de la Varianza

3 Ejemplo 1:Modelo de Clasificación unifactorial Comparación del porcentaje de semillas germinadas en función del color de las semillas ClaroOscuroRojizo 605380 734087 735387 803393 1366 873360 932087 9326100 872080

4 Ejemplo 1: Continuación Análisis de la varianza VariableN R² R² Aj CV PG 270.79 0.7719.60 Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III) F.V. SC gl CM F valor p Modelo 14900.22 27450.11 45.12<0.0001 Episperma14900.22 27450.11 45.12<0.0001 Error 3962.4424 165.10 Total 18862.6726

5 Ejemplo 2:Modelo de Clasificación bifactorial – sin interacciones Efecto de la temperatura sobre la longitud de la cola en hembras y machos de un nemátodo del género Pratylenchus.

6 Ejemplo 2 (continuación) Variable N R^2 R^2ajust LargoCola1600.51 0.49 Cuadro de Análisis de la Varianza F.V. SC gl CM F p Modelo 866.49 7123.78 23.06<0.0001 Temperatura 195.67 3 65.22 12.15<0.0001 Sexo 640.97 1640.97119.38<0.0001 Tempe*Sexo 29.85 3 9.95 1.850.14 Error 816.09 152 5.37 Total 1682.58 159

7 Ejemplo 2 (continuación-contrastes) Contrastes Temperatura SC gl CM F p Temperatura 195.67 3 65.22 12.15<0.0001 C. Lineal 188.40 1188.4035.09<0.0001 Coeficientes de los contrastes Temperatura15202530 Contraste 1-2-11 2

8 Modelo de Clasificación Unifactorial Consideremos un experimento unifactorial balanceado con 3 niveles y 2 repeticiones. 11 11 11 11 11 11 X= 6 8 6 5 2 3 y= 33 22 11  b=b= y=Xb+ 

9 Existen dos criterios que conducen a las ecuaciones normales a. La maximización de la función de verosimilitud suponiendo y~N(Xb,  2 I ) b. La minimización de la suma de cuadrados residual (método de mínimos cuadrados) Ecuaciones Normales

10 Ecuaciones Normales Maximización de la función de verosimilitud Este principio requiere la especificación de las propiedades estadísticas del vector y. Bajo la teoría clásica y ~N n (Xb,  2 I )

11 derivando ln(L) con respecto a b y  2 e igualando a cero se tiene

12 Ecuaciones Normales Minimización de la SC del error Este principio no requiere supuestos distribucionales sobre los errores, excepto que su esperanza sea cero y su matriz de covarianzas sea  2 I. Esta robustez permite utilizar el principio de estimación por mínimos cuadrados aún cuando los errores no son normales. Las propiedades asintóticas de las funciones estimables obtenidas a partir de las soluciones por mínimos cuadrados son idénticas a las que se obtienen bajo normalidad y por lo tanto la inferencia clásica basada en modelo normal es válida si n es suficientemente grande (ver teorema de Gauss Markov, pag 219, Graybill F.).

13 Ecuaciones Normales Minimización de la SC del error

14 Tres formas de resolver el sistema de ecuaciones normales Usando inversa generalizada Imponiendo restricciones a las soluciones Reparametrizando el modelo

15 Solución de las ecuaciones normales Se propone como solución a b 0 =GX´Y, donde G es una inversa generalizada de X´X.

16 Modelo de clasificación unifactorial-continuación G es una inversa generalizada de X’X 6222 2200 2020 2002 0000 0½00 00½0 000½ 0111 0100 0010 0001 6222 2200 2020 2002 6222 2200 2020 2002 = X’X G X’XG

17 Modelo de clasificación unifactorial -continuación- una solución b 0 =G X´y G=G= X´y= 30 5 11 14 0000 0½00 00½0 000½ b0=b0= 0 5 / 2 11/ 2 14 / 2 6222 2200 2020 2002 X’X=

18 ¿Es b 0 =G X´Y la única solución? No, existen infinitas soluciones La forma general de la solución al sistema de ecuaciones normales está dada por b 0 =GX’y+(G 1 X’X - I)z Donde G y G 1 son g-inversas de X’X y z un vector px1 arbitrario.

19 Solución imponiendo restricciones

20 Restricción Searle, pag 212

21 Solución reparametrizando

22 Reparametrización Forma particular de introducir restricciones Fijar en cero los parámetros que “sobran” El número total de parámetros a estimar es menor La complicación es la interpretación de los resultados

23 Ejemplo de reparametrización

24 Modelo de Clasificación Unifactorial Consideremos un experimento unifactorial balanceado con 3 niveles y 2 repeticiones. 11 11 11 11 11 11 X= 6 8 6 5 2 3 y= 33 22 11  b=b= y=Xb+ 

25 ¿Como reconstruimos los valores medios?

26 Veamos un ejemplo sencillo ParémetrosEstEE (Intercept)2.50.7 tratB3.01.0 tratC4.51.0

27 Un ejemplo con interacciones

28 Sumas de Cuadrados

29 SC paraTipo ITipo IITipo III y IV A R(  |  )R(  | ,  ) R(  | , ,  ) B R(  | ,  ) R(  | , ,  ) AB R(  | , ,  ) Fuente: SAS Institute (1996). Advanced General Linear Models with an emphasis on mixed model. Course Notes. Chapter 5. Tipo de Sumas de Cuadrado para un Modelo Bifactorial

30 Como calcular las reducciones X U ABC X=U|A|B|C R(  |  )= y ’(P(UA) -P(U)) y R(  | ,  )= y ’(P(UAB) -P(UA))y R(  | , ,  )= y ’(P(X) -P(UAB))y R(  | ,  )= y ’(P(UAB) -P(UB))y R(  | , ,  )= y ’(P(X) -P(UBC))y R(  | , ,  )= y ’(P(X) -P(UAC))y

31 EfectoIgualesProporcionales No proporcionales Celdas vacias A I=II=III=IVI=II, III=IVIII=IV B I=II=III=IVI=II, III=IV I=II AB I=II=III=IV Numero de observaciones por celda Cuando los tipos se omiten implica que difieren de cualquier otro tipo Fuente: SAS Institute (1996). Advanced General Linear Models with an enphasis on mixed model. Course Notes. Chapter 5. Relaciones entre tipos de sumas de cuadrados para un modelo bifactorial

32 ¿Que prueban las sumas de cuadrados? ABTotal Aspartame336 Saccharin123 Azucar336 Total7815 Fuente:Advanced General Linear Models With an Emphasis on Mixed Models.Course Notes (1996). SAS, SAS Institute. Cap 5, pag 421-464 SC Dietagl Tipo I0.342610002 Tipo II0.281951242 Tipo III,IV 0.284482582

33 ¿Que prueban las sumas de cuadrados?.. Para el efecto dieta según el tipo de sc. Tipo I H 01 : 0.5  11 + 0.5  12 - 0.5  31 - 0.5  32 =0 H 02 : 1/3  21 + 1/6  22 - 0.5  31 - 0.5  32 =0 Tipo II H 01 : 0.5  11 + 0.5  12 - 0.5  31 - 0.5  32 =0 H 02 : 0.0682  11 + 0.0682  12 +0.3636  21 +0.6364  22 - 0.4318  31 - 0.5682  31 =0 Tipo III y IV H 01 : 0.5  11 + 0.5  12 - 0.5  31 - 0.5  32 =0 H 02 : 0.5  21 +0.5  22 - 0.5  31 - 0.5  31 =0 AB Aspartame  11  12 Saccharin  21  22 Azucar  31  32

34 ABTotal Aspartame336 Saccharin123 Azucar033 Total4812 Fuente:Advanced General Linear Models With an Emphasis on Mixed Models.Course Notes (1996). SAS, SAS Institute. Cap 5, pag 469-480 SC Dietagl Tipo III0.109205162 Tipo IV 0.114020832 Sumas de cuadrados, celdas vacias

35 ¿Que prueban las sumas de cuadrados?.. Para el efecto dieta según el tipo de sc. Tipo III H 01 : 0.25  11 + 0.75  12 - 0.25  21 + 0.25  22 -  32 =0 H 01 : -0.25  11 + 0.25  12 +0.25  21 + 0.75  22 -  32 =0 Tipo IV H 01 :  12 -  22 =0 H 02 :  22 -  32 =0 AB Aspartame  11  12 Saccharin  21  22 Sugar  32