1 ¿Qué es una demostración? 12 variaciones sobre un mismo tema. Francisco Rivero Mendoza.

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1 1 ¿Qué es una demostración? 12 variaciones sobre un mismo tema. Francisco Rivero Mendoza

2 2 ¿Para qué sirven las demostraciones? Los matemáticos son muy metódicos, analíticos e inflexibles en cuanto a la verificación de los resultados La formalidad es un ingrediente fundamental en el trabajo. Todo debe estar suficientemente justificado.

3 3 La búsqueda de la verdad. El camino agustiniano. Creersaber aprehender verdad

4 4 Tautologías Diremos que P  Q es una proposición simbólica. Una Tautología es una proposición simbólica, la cual es verdadera en todos los casos posibles de sustitución de las variables. Por ejemplo [ P Λ (P  Q)]  Q es una tautología. ( Modus Ponens).

5 5 Demostraciones a la carta Teorema fundamental del Algebra. Ley de reciprocidad cuadrática. Teorema de Sylow.

6 6 Problema: Demostrar que el producto de tres enteros consecutivos: n (n + 1)(n + 2) es divisible entre 6. Más simbología: A(n) = n ( n+1)(n+2)

7 7 Prueba 1.. Reducción al absurdo. Profundamente Eleática Probaremos que hay infinitos A( n) divisibles entre 6. Relación fundamental en esta charla A( k +1) = A (k) + 3 ( k +1 )( k +2 )

8 8 Prueba 2. Demostración por negación. (Negación de la tesis) Existe un n tal que A( n) no es divisible entre 6. A( k +1) = A (k) + 3 ( k +1 )( k +2 ) ¿Qué pasa con el siguiente? ¿ Y el siguiente del siguiente?....

9 9 Prueba 3. Visualización. A la manera china. A( n) = n( n+1)(n+2)

10 10 Prueba 4. Geométrica. Maravillosamente Pitagórica T (n) número triangular n-ésimo. T( n ) = n ( n+1)/2

11 11 Prueba 5. Algorítmica Definitivamente árabe. ¿Cómo se construyen los números 1, 4, 10,….? nA(n)6.b n bnbn 166.11 2246.44 3606.1010 41206.2020 52106.3535 63366.5656 75046.8484

12 12 Prueba 6. Constructiva. Poderosamente Newtoniana. A (n) = 6 ( T( n+1) + T( n) + … + T(0)). ¿Será original mi fórmula?

13 13 Prueba 7. Descenso al infinito. Misteriosamente Fermatiana. A( k +1) = A (k) + 3 ( k +1 )( k +2 ). A (k) = A( k-1) + 3 ( k )( k +1)….. 1 < ····· <A( k-1) < A(k) < A( k +1)

14 14 Prueba 8. Directa Majestuosamente gaussiana. A (n) = n 3 + 3 n 2 + 2n. A (n)  0 mod 2. A (n)  n 3 + 2n  3 n  0 mod 3. Congruencias en Wikipedia.

15 15 Prueba 9. Combinatoria. A la manera de Paul Erdos. ¿ Qué significado tiene el cociente n( n+1)( n+2) / 6 ? Erdos en Wikipedia.Erdos en Wikipedia 1913-1996

16 16 Prueba 10. Inducción matemática. Infinitamente cantoriana. Proposición P(k) A (k ) es divisible entre 6. A( k +1) = A (k) + 3 ( k +1 )( k +2 ). Cantor en Wikipedia.Cantor en Wikipedia 1845-1918

17 17 Prueba 11. Exhaustiva. Teorema de los cuatro colores.Teorema de los cuatro colores N = 6k + p. P = 0, 1, 2, 3, 4, 5. A( n) = n ( n+1) ( n+2) = 6t + A( p). pP+1P+2A (p) 0120 1236 23424 34560 456120 567210

18 18 Prueba 12. Principio de los palomares Formalista Dirichlet – Hilbert. Si p es un primo cualquiera, 2 s p divide al producto : n ( n+1)(n+2)…..( n+p-1), Para cualquier n, natural

19 19 1 2 3 4

20 20 Principio del palomar Si A tiene n elementos y B tiene n+1 elementos, no existe una función inyectiva de A en B.

21 21 Conclusión. ¿ Cuál de todas las pruebas es la más bonita? El libro de Dios.

22 22 Muchas gracias. Profesor Francisco Rivero. http:// webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico