Matemática Aplicada I Alberto Márquez Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples.

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1 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda

2 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda PSLG

3 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de no dejar de observarlos una vez siquiera: Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor solución. El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se preceden naturalmente. Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada. (31 de marzo, 1596 - 11 de febrero, 1650)31 de marzo159611 de febrero1650 René Descarte Discurso del método

4 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de no dejar de observarlos una vez siquiera: Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor solución. El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se preceden naturalmente. Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada. (31 de marzo, 1596 - 11 de febrero, 1650)31 de marzo159611 de febrero1650 René Descarte Discurso del método

5 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda PSLG

6 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda PSLG

7 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda

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9 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Teorema 2.1: Toda línea poligonal cerrada C divide el plano en dos regiones, una acotada y la otra no. Además, se puede determinar si un punto p está en la región acotada contando el número de veces que cualquier semirrecta que comienza en p atraviesa a C; p estará en dicha región si y sólo si dicho número es impar. Corolario 2.1: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por una línea poligonal simple cerrada en tiempo O(n). ¿ Es óptimo?

10 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda ¿La repetición n veces de un algoritmo óptimo es la estrategia óptima? preprocesamientoprocesmientoK veces Algoritmo 10O(n)O(kn) Algoritmo 2O(n log n)O(log n)O(klog n + nlog n)

11 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda 1 2 5 6 8 9 10 11 13 Insertar un número en una lista ordenada (Búsqueda binaria) 4 4 1 2 5 6 8 9 10 11 13 1 2 5 6 12 ¿4 < 5? NOSI ¿4 < 2? NOSINOSI ¿4 < 8? 4 está inmediatamente a la derecha de 2

12 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda  Ordenar n números O(nlog n)  Insertar un número en una lista ordenada (Búsqueda binaria) O(log n)

13 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda ¿La repetición n veces de un algoritmo óptimo es la estrategia óptima? preprocesamientoprocesmientoK veces Algoritmo 10O(n)O(kn) Algoritmo 2O(n log n)O(log n)O(klog n + nlog n)

14 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda

15 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda 1.- Localizar un punto en el interior del polígono

16 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente.

17 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n)

18 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda 4.- Localizamos en qué región angular estamos.

19 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda 4.- Localizamos en qué región angular estamos.

20 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono.

21 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n)

22 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n) 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n) Teorema 2.2: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por un poligono convexo en tiempo O(log n), con O(n log n) de preprocesamiento.

23 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda

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29 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Decimos que p está en el núcleo de P (p  ker P), si para todo q  P se verifica que el segmento pq está incluido en el interior de P. Lema: El núcleo de un polígono puede calcularse en tiempo O(n log n) 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n) 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n) núcleo

30 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Teorema: La intersección de n semiplanos puede calcularse en tiempo O(n log n) Lema: El núcleo de un polígono puede calcularse en tiempo O(n log n)

31 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n) 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n) núcleo

32 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda

33 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Problema de la Galería de Arte En 1973, Víctor Klee planteó el problema de determinar el mínimo número de guardias suficientes para cubrir el interior de una galería de arte con un número n de paredes. C En 1975, Chvatal dio la respuesta a dicha pregunta y en 1978 Fisk dio otra demostración.

34 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Teorema:  n/3  guardianes son siempre suficientes y ocasionalmente necesarios para vigilar un polígono de n lados.

35 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda http://www.ual.es/~jcaceres/ArtGallery/portada.htm http://www.cs.mcgill.ca/~thierry/artgallery.html

36 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda PSLG

37 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda

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41 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda

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43 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Rectas horizontales por los puntos. Ordenar las rectas por ordenada. Localizar la banda en la que está el punto. Localizar los dos segmentos entre los que se encuentra el punto. Ordenar los segmentos en cada banda. Preprocesamiento El método de las bandas

44 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Rectas horizontales por los puntos. Ordenar las rectas por ordenada. Localizar la banda en la que está el punto. Localizar los dos segmentos entre los que se encuentra el punto. Ordenar los segmentos en cada banda. Preprocesamiento El método de las bandas

45 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Rectas horizontales por los puntos. Ordenar las rectas por ordenada. Localizar la banda en la que está el punto. Localizar los dos segmentos entre los que se encuentra el punto. Ordenar los segmentos en cada banda. Preprocesamiento El método de las bandas

46 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Rectas horizontales por los puntos. Ordenar las rectas por ordenada. Localizar la banda en la que está el punto. Localizar los dos segmentos entre los que se encuentra el punto. Ordenar los segmentos en cada banda. Preprocesamiento n 2 log (n) log (n) El método de las bandas

47 Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Geometría Computacional Localización Planteamiento del problema Casos simples Método de la banda Bibliografía Computational Geometry: an introduction. F. P. Preparata y M. I. Shamos. Springer-Verlag, 1985. Computational Geometry in C. J. O’Rourke. Cambridge University Press, 1998.