TRIGONOMETRÍA.

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1 TRIGONOMETRÍA

2 ETIMOLOGÍA Trigonometría viene de Tri-gonos = tres ángulos = triángulo y de metros = medir Es decir, significa medida de ángulos DEFINICIÓN La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.

3 MEDIDAS DE ÁNGULOS: SISTEMA SEXAGESIMAL SISTEMA CENTESIMAL RADIANES

4 SISTEMA SEXAGESIMAL La circunferencia se divide en 360 partes iguales.
Cada una de ellas es un grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. En la calculadora aparece con la denominación DEG Notación: 30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’

5 RADIANES Un radián es la medida del ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia Una circunferencia mide 2p radios y como cada radio da lugar a un radián: 360º equivalen a 2p radianes ¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián? 360º ___________ 2p rad x = 360º/2p = 57,29º xº ___________ 1 rad

6 SISTEMA CENTESIMAL Cada cuadrante se divide en 100 partes.
En la calculadora aparece con la denominación GRA. Actualmente apenas se utiliza.

7 p/3 p/6 De la misma manera, los siguientes ángulos son equivalentes :
180º ________ p rad 90º ________ p/2 rad 30º ________ p/6 rad 60º ______ 2p/6 =p/3 rad p/3 p/6

8 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
En un triángulo rectángulo definimos las siguientes razones trigonométricas del ángulo agudo a:

9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Así mismo definimos las razones trigonométricas recíprocas:

10 Construimos triángulos rectángulos semejantes que contengan al ángulo a.
Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo que: Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que se calculen. Diremos que las razones trigonométricas son propias de cada ángulo, lo califican y lo diferencian de los demás ángulos.

11 Circunferencia goniométrica
De todos los triángulos rectángulos semejantes, elegimos el de hipotenusa la unidad. De esta manera, el seno y el coseno se identifican con la longitud de los catetos: R = 1

12 IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS
Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad: sen2a cos2a = 1 Dividiendo ambos miembros entre sen2a: cotg2a = cosec2 a Y dividiendo entre cos2a: tg2a = sec2a Como consecuencia de la primera igualdad se cumple: -1 ≤ sen a ≤ 1 -1 ≤ cos a ≤ 1

13 ÁNGULO DE 60º RAZONES DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES DEL 1er CUADRANTE
Consideremos un triángulo equilátero de lado la unidad. Calculamos su altura h aplicando Pitágoras: Hallamos las razones del ángulo de 60º en el triángulo rectángulo de la izquierda:

14 ÁNGULO DE 30º Consideramos el mismo triángulo rectángulo que para el ángulo de 60º ya que su complementario es el de 30º:

15 ÁNGULO DE 45º Consideramos un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa la unidad Aplicando Pitágoras: Las razones del ángulo de 45º serán:

16 A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90º = 1 A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 cos 90º = 0 radio=1 1 P(x,y) O X Y a Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir, sen 0º = 0 cos 0º = 1 sen a sen a 1 sen a sen a sen a cos a

17 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º
Ángulo coseno seno tangente 0º 1 90º ∞ 180º - 1 270º -1

18 SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X Y O 1 -1 1 b B El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 a A sen a sen b d D g C cos b cos a cos g cos d sen g sen d SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO _ + + + _ _ _ +

19 TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X Y O 1 cotg d cotg b cotg g cotg a B b tg g A a d D g C tg a tg d _ TANGENTE Y COTANGENTE + _ tg b + La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor .

20 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1er CUADRANTE
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS a b = 90º b = 90º - a sen a = cos ( 90º - a ) cos a = sen ( 90º - a ) tg a = ctg ( 90º - a )

21 b) ÁNGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE
b1) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS a b = 180º b = 180º - a sen (180º - a ) = sen a cos (180º - a ) = - cos a GEOGEBRA tg (180º - a ) = - tg a HTML

22 b2) ÁNGULOS a y p/2 + a sen ( p/2 + a ) = cos a
cos ( p/2 + a ) = - sen a tg ( p/2 + a ) = - cotg a

23 c) ÁNGULOS DEL TERCER CUADRANTE
c1) a y 180º + a sen (180º + a ) = - sen a cos (180º + a ) = - cos a tg (180º + a ) = tg a c2) a y a sen (270º-a) = - cos a cos (270º-a) = - sen a tg (270º-a) = cotg a

24 d) ÁNGULOS DEL CUARTO CUADRANTE
d1) a y a sen (270 + a) = - cos a cos (270 + a) = sen a tg (270 + a) = - ctg a d2) a y – a o - a sen (360º - a) = - sen a cos (360º - a) = cos a tg (360º - a) = - tg a

25 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
y = cos x y = sen x y = tg x

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