“La Función Natural Prima; p(n ζ ) = n ζ · C n ζ + 1 y sus alcances Conceptuales de Divisibilidad y Primalidad” Congreso de Matemáticas Capricornio Comca.

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1 “La Función Natural Prima; p(n ζ ) = n ζ · C n ζ + 1 y sus alcances Conceptuales de Divisibilidad y Primalidad” Congreso de Matemáticas Capricornio Comca 2009 Comunicaciones Luis Ramos Sandoval Ingeniero Metalúrgico

2 I.-Existencia de un ente matemático de interés “n ζ ” Dice relación con la existencia de una gran perfección matemática natural respecto de los números primos, haciéndolos dependientes por primera vez de una variable que se origina a partir del mismo primo. Axioma nº 1: Sea “p” un número primo cuyo inverso multiplicativo es igual a “1/p”, corresponde a una fracción con numerador siempre igual a uno y denominador primo ≥ 7, el cual, puede ser representado también de forma decimal periódica pur representado también de forma decimal periódica pur a. 1/p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5..........d n-2 d n-1 d n d 1 d 2 d 3 …d n-2 d n-1 d n...... (1) 1/p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5..........d n-2 d n-1 d n d 1 d 2 d 3 …d n-2 d n-1 d n...... (1) Donde: d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 ……….……d n-2 d n-1 d n es la parte del número decimal periódico conocida como la expansión decimal periódica pura.d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 ……….……d n-2 d n-1 d n es la parte del número decimal periódico conocida como la expansión decimal periódica pura. n ζ corresponde a la cantidad de dígitos de este número decimal periódico puro a partir del inverso multiplicativo del número primo en cuestión, excluyendo el primer cero o a partir de la coma, puede tomar los valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,….n, y nd n“n ζ ” corresponde a la cantidad de dígitos de este número decimal periódico puro a partir del inverso multiplicativo del número primo en cuestión, excluyendo el primer cero o a partir de la coma, puede tomar los valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,….n, y es igual al “n” del ultimo dígito igual a d n

3 Tabla nº 1: Resultados de la aplicación de la definición del inverso multiplicativo para los números primos p hasta el primo igual a 83 mostrando la expansión decimal pura y n ζ p 1/p 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 …….... d n ζ - 1 d n ζ n ζ 7 1/7 0,142857 6 11 1/11 0,09 2 13 1/13 0,076923 6 17 1/17 0,0588235294117647 16 19 1/19 0,052631578947368421 18 23 1/23 0,0434782608695652173913 22 29 1/29 0,0344827586206896551724137931 28 31 1/31 0,032258064516129 15 37 1/37 0,027 3 41 1/41 0,02439 5 43 1/43 0,023255813953488372093 21 47 1/47 0,0212765957446808510638297872340425531914893617 46 53 1/53 0,0188679245283 13 59 1/59 0,0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 58 61 1/61 0,016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 60 67 1/67 0,014925373134328358208955223880597 33 71 1/71 0,01408450704225352112676056338028169 35 73 1/73 0,01369863 8 79 1/79 0,0126582278481 13 83 1/83 0,01204819277108433734939759036144578313253 41

4 La Función Natural Prima “p(n ζ )” Se observa en “todos” los números primos mayores o iguales a siete, la existencia interna de una combinación lineal natural, perfecta y de tipo recursiva, generada a partir del cálculo del inverso multiplicativo de estos mismos. El cumplimiento de esta fórmula se produce a partir del cálculo del inverso multiplicativo de cada número primo p (n ζ ) en particular. Teorema n°1: Si “p”es un número primo mayor o igual a 7, entonces siempre se cumple: p (n ζ ) = n ζ · C nζ + 1 ; con n ζ ≥ 2 y C nζ ≥ 1; n ζ y C nζ pertenecen a los Naturales (2) p (n ζ ) = n ζ · C nζ + 1 ; con n ζ ≥ 2 y C nζ ≥ 1; n ζ y C nζ pertenecen a los Naturales (2) Donde: 1/p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5..........d nζ-2 d nζ-1 d nζ d 1 d 2 d 3 …d nζ -2 d nζ -1 d nζ......1/p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5..........d nζ-2 d nζ-1 d nζ d 1 d 2 d 3 …d nζ -2 d nζ -1 d nζ...... d 1 d 2 d 3 d 4 d 5........d n-2 d n-1 d nζ es igual a la expansión decimal periódica pura del inverso multiplicativo del primo “p” en evaluación.d 1 d 2 d 3 d 4 d 5........d n-2 d n-1 d nζ es igual a la expansión decimal periódica pura del inverso multiplicativo del primo “p” en evaluación. n ζ corresponde a la cantidad de dígitos de la expansión decimal periódica pura del inverso multiplicativo del primo “ p”.n ζ corresponde a la cantidad de dígitos de la expansión decimal periódica pura del inverso multiplicativo del primo “ p”. C nζ corresponde a un complemento numérico perteneciente a los números naturales obtenido a partir del n ζ para cada primo p en particular, ( p (n ζ ) – 1 ) / n ζC nζ corresponde a un complemento numérico perteneciente a los números naturales obtenido a partir del n ζ para cada primo p en particular, de valor igual a ( p (n ζ ) – 1 ) / n ζ

5 Resultados de la aplicación de la ecuación nº 1 para los números primos “p” hasta el primo 97. Tabla nº 2: Resultados de la aplicación de la ecuación nº 1 para los números primos “p” hasta el primo 97. p (n ζ ) n ζ C nζ p (n ζ ) = n ζ · C nζ + 1 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 …….... d n ζ - 1 d n ζ 7 6 1 7 = 6 · 1 + 1 142857 11 2 5 11 = 2 · 5 + 1 09 13 6 2 13 = 6 · 2 + 1 076923 17 16 1 17 = 16 · 1 + 1 0588235294117647 19 18 1 19 = 18 · 1 + 1 052631578947368421 23 22 1 23 = 22 · 1 + 1 0434782608695652173913 29 28 1 29 = 28 · 1 + 1 0344827586206896551724137931 31 15 2 31 = 15 · 2 + 1 032258064516129 37 3 12 37 = 3 ·12 + 1 027 41 5 8 41 = 5 · 8 + 1 02439 43 21 2 43 = 21 · 2 + 1 023255813953488372093 47 46 1 47 = 46 · 1 + 1 02127659574468085106382 97872340425531914893617 97872340425531914893617 53 13 4 53 = 13 · 4 + 1 0188679245283 59 58 1 59 = 58· 1 + 1 01694915254237288135593220 3389830508474576271186440 3389830508474576271186440 6779661 6779661 61 60 1 61 = 60 ·1 + 1 0163934426229508196721311 475409836065573770491803 475409836065573770491803 27868852459 27868852459

6 Ejemplo nº 1: Se tiene para el primo p igual a 173, su inverso multiplicativo es: 1/173=0,0057803468208092485549132947976878612716763005780346 Entonces, se tiene que: 1/p = 0, d 1 d 2 d 3 …..........d n ζ -2 d n ζ -1 d n ζ d 1 d 2 d 3 d 4 d 5......... d n ζ -2 d n ζ -1 d n ζ Donde: d 1 = 0 ; d 2 = 0 ; d 3 = 5 ; d 4 = 7; d 5 = 8 ; d 6 = 0 ; d 7 =3; d 8 = 4 ; d 9 = 6 ; d 10 = 8 ; d 11 = 2; d 12 = 0 ; d 13 = 8 ; d 14 =0; d 15 = 9 ; d 16 = 2 ; d 17 = 4 ; d 18 =8; d 19 = 5 ; d 20 = 5 ; d 21 =4 ; d 22 = 9 ; d 23 = 1 ; d 24 = 3 ; d 25 = 2; d 26 = 9 ; d 27 = 4 ; d 28 =7; d 29 = 9 ; d 30 = 7 ; d 31 = 6 ; d 32 = 8; d 33 = 7 ; d 34 = 8 ; d 35 =6 ; d 36 = 1 ; d 37 = 2 ; d 38 = 7 ; d 39 = 1; d 40 = 6 ; d 41 = 7 ; d 42 =6; d 43 = 3 Calculando este inverso con el programa Mathematica (Wolfram), se tiene la siguiente expresión: In[1]:= N[1/173,50] Out[1]= 0.0057803468208092485549132947976878612716763005780347 Igualando, se tiene que d nζ = d 43 y es Igualando, se tiene que d nζ = d 43 y es el último dígito de la expansión cíclica decimal pura, entonces: Entonces, igualando los subíndices, se tiene: n = n ζ = 43 Aplicando la definición n°1, se tiene: p (n ζ ) = n ζ · C nζ + 1, entonces: p (43) = 43· 4+ 1 = 173

7 Tabla nº 3: Tabla nº 3: Los siguientes resultados corresponden a la salida de un Programa realizado en Turbo Pascal, el cual, calcula y muestra la aplicación de la ecuación nº 1 como un par ordenado: p; [n] ζ 7; [6] 11; [2] 13; [6] 17; [16] 19; [18] 23; [22] 29; [28] 31; [15] 37; [3] 41; [5] 43; [21] 47; [46] 53; [13] 59; [58] 61; [60] 67; [33] 71; [35] 73; [8] 79; [13] 83; [41] 89; [44] 97; [96] 101; [4] 103; [34] 107; [53] 109; [108] 113; [112] 127; [42] 131; [130] 137; [8] 139; [46] 149; [148] 151; [75] 157; [78] 163; [81] 167; [166] 173; [43] 179; [178] 181; [180] 191; [95] 193; [192] 197; [98] 199; [99] 211; [30] 223; [222] 227; [113] 229; [228] 233; [232] 239; [7] 241; [30] 251; [50] 257; [256] 263; [262] 269; [268] 271; [5] 277; [69] 281; [28] 283; [141] 293; [146] 307; [153] 311; [155] 313; [312] 317; [79] 331; [110] 337; [336] 347; [173] 349; [116] 353; [32] 359; [179] 367; [366] 373; [186] 379; [378] 383; [382] 389; [388] 397; [99] 401; [200] 409; [204] 419; [418] 421; [140] 431; [215] 433; [432] 439; [219] 443; [221] 449; [32] 457; [152] 461; [460] 463; [154] 467; [233] 479; [239] 487; [486] 491; [490] 499; [498] 503; [502] 509; [508] 521; [52] 523; [261] 541; [540] 547; [91] 557; [278] 563; [281] 569; [284] 571; [570] 577; [576] 587; [293] 593; [592] 599; [299] 601; [300] 607; [202] 613; [51] 617; [88] 619; [618] 631; [315] 641; [32] 643; [107] 647; [646] 653; [326] 659; [658] 661; [220] 673; [224] 677; [338] 683; [341] 691; [230] 701; [700] 709; [708] 719; [359] 727; [726] 733; [61] 739; [246] 743; [742] 751; [125] 757; [27] 761; [380] 769; [192] 773; [193] 787; [393] 797; [199] 809; [202] 811; [810] 821; [820] 823; [822] 827; [413] 829; [276] 839; [419] 853; [213] 857; [856] 859; [26] 863; [862] 877; [438] 881; [440] 883; [441] 887; [886] 907; [151] 911; [455] 919; [459] 929; [464] 937; [936] 941; [940] 947; [473] 953; [952] 967; [322] 971; [970] 977; [976] 983; [982] 991; [495] 997; [166] 1009; [252] 1013; [253] 1019; [1018] 1021; [1020] 1031; [103] 1033; [1032] 1039; [519] 1049; [524] 1051; [1050] 1061; [212] 1063; [1062] 1069; [1068] 1087; [1086] 1091; [1090] 1093; [273] 1097; [1096] 1103; [1102] 1109; [1108] 1117; [558] 1123; [561] 1129; [564] 1151; [575] 1153; [1152] 1163; [581] 1171; [1170] 1181; [1180] 1187; [593] 1193; [1192] 1201; [200] 1213; [202] 1217; [1216] 1223; [1222] 1229; [1228] 1231; [41] 1237; [206] 1249; [208] 1259; [1258] 1277; [638] 1279; [639] 1283; [641] 1289; [92] 1291; [1290] 1297; [1296] 1301; [1300] 1303; [1302] 1307; [653] 1319; [659] 1321; [55] 1327; [1326] 1361; [680] 1367; [1366] 1373; [686] 1381; [1380] 1399; [699] 1409; [32] 1423; [158] 1427; [713] 1429; [1428] 1433; [1432] 1439; [719] 1447; [1446] 1451; [290] 1453; [726] 1459; [162] 1471; [735] 1481; [740] 1483; [247] 1487; [1486] 1489; [248] 1493; [373] 1499; [214] 1511; [755] 1523; [761] 1531; [1530] 1543; [1542] 1549; [1548] 1553; [1552] 1559; [779] 1567; [1566] 1571; [1570] 1579; [1578] 1583; [1582] 1597; [133] 1601; [200] 1607; [1606] 1609; [201] 1613; [403] 1619; [1618] 1621; [1620] 1627; [271] 1637; [409] 1657; [552] 1663; [1662] 1667; [833] 1669; [556] 1693; [423] 1697; [1696] 1699; [566] 1709; [1708] 1721; [430] 1723; [287] 1733; [866] 1741; [1740] 1747; [291] 1753; [584] 1759; [879] 1777; [1776] 1783; [1782] 1787; [893] 1789; [1788] 1801; [900] 1811; [1810] 1823; [1822] 1831; [305] 1847; [1846] 1861; [1860] 1867; [933] 1871; [935] 1873; [1872] 1877; [938] 1879; [313] 1889; [118] 1901; [380] 1907; [953]

8 Tabla nº 4: Para valores más grandes, por ejemplo, se tiene: 500009; [62501] 500029; [500028] 500041; [250020] 500057; [500056] 500069; [500068] 500083; [22731] 500107; [250053] 500111; [250055] 500113; [500112] 500119; [83353] 500153; [500152] 500167; [166722] 500173; [83362] 500177; [500176] 500179; [71454] 500197; [125049] 500209; [125052] 500231; [50023] 500233; [500232] 500237; [250118] 500239; [250119] 500249; [250124] 500257; [500256] 500287; [500286] 500299; [500298] 500317; [250158] 500321; [125080] 500333; [250166] 500341; [500340] 500363; [250181] 500369; [125092] 500389; [21756] 500393; [500392] 500413; [83402] 500417; [500416] 500431; [11915] 500443; [83407] 500459; [500458] 500471; [250235] 500473; [500472] 500483; [250241] 500501; [71500] 500509; [55612] 500519; [250259] 500527; [500526] 500567; [500566] 500579; [500578] 500587; [83431] 500603; [250301] 500629; [500628] 500671; [250335] 500677; [250338] 500693; [250346] 500699; [500698] 500713; [500712] 500719; [250359] 500723; [250361] 500729; [125182] 500741; [500740] 500777; [500776] 500791; [250395] 500807; [500806] 500809; [35772] 500831; [250415] 500839; [250419] 500861; [500860] 500873; [500872] 500881; [50088] 500887; [500886] 500891; [100178] 500909; [500908] 500911; [83485] 500921; [250460] 500923; [250461] 500933; [250466] 500947; [250473] 500953; [500952] 500957; [250478] 500977; [500976] 501001; [250500] 501013; [125253] 501019; [501018] 501029; [501028] 501031; [250515] 501037; [125259] 501043; [250521] 501077; [250538] 501089; [62636] 501103; [501102] 501121; [250560] 501131; [501130] 501133; [125283] 501139; [501138] 501157; [125289] 501173; [125293] 501187; [250593] 501191; [250595] 501197; [250598] 501203; [250601] 501209; [62651] 501217; [167072] 501223; [167074] 501229; [501228] 501233; [501232] 501257; [501256] 501271; [250635] 501287; [501286] 501299; [501298] 501317; [125329] 501341; [71620] 501343; [501342] 501367; [501366]

9 Comprobaciones con el software Mathematica (Wolfram) para algunos cálculos elegidos: Ejemplo n°2: Si realizamos el cálculo de 1237; [206] In[1]:= N[1/1237,220] Out[1]=0.0008084074373484236054971705739692805173807599029911075181891673403395311236863379143088116410670978172999191592562651576394502829426030719482619240097008892481810832659660468876313662085691188358932902182700080840743734842 El numero 220,corresponde a los decimales distintos de cero en el comienzo de la division, por lo que, se debe de leer con tres ceros mas, es decir, 223. Ejemplo n°3: Si realizamos el cálculo de 733;[61] In[2]:= N[1/733,70] Out[2]= 0.001364256480218281036834924965893587994542974079126875852660300136425648 El numero 70,corresponde a los decimales distintos de cero en el comienzo de la division, por lo que, se debe de leer con tres ceros mas, es decir, 72.

10 Ejemplo n°4: Si realizamos el cálculo de Si realizamos el cálculo de 1699; [566] In[1]:= N[1/1699,580] Out[7]=0.0005885815185403178340200117716303708063566804002354326074161271336080047086521483225426721600941730429664508534432018834608593290170688640376692171865803413772807533843437316068275456150676868746321365509123013537374926427310182460270747498528546203649205414949970570924072984108298999411418481459682165979988228369629193643319599764567392583872866391995291347851677457327839905826957033549146556798116539140670982931135962330782813419658622719246615656268393172454384932313125367863449087698646262507357268981753972925250147145379635079458505002942907592701589170100058858151854032 El numero 580,corresponde a los decimales distintos de cero en el comienzo de la division, por lo que, se debe de leer con tres ceros mas, es decir, 583.

11 II.-Demostración del Teorema n° 1: Primeramente, consideremos un aspecto relevante y determinante del comportamiento respecto de la división de “ 1/p” comparado con la división de “10 p-1 / p”, con p siendo primo, para ello se necesita trabajar en la divisiones y realizar observaciones del comportamiento respecto de su numerador, cociente y cantidad de restos parciales que se generan en las divisiones. Entonces, partamos con lo siguiente: en algún momento se produce en la división de 1 / p un resto igual a “uno” y Axioma nº 1: “en algún momento se produce en la división de 1 / p un resto igual a “uno” y corresponde al primer numerador igual a “ 1 ” agregándose p-1 ceros al numerador o resto” Veamos la siguiente división calculando el inverso multiplicativo: 1 / p = 0, d 1 d 2 d 3...........d nζ-1 d n ζ (durante la división se van agregando “p-1” ceros hasta 1 / p = 0, d 1 d 2 d 3...........d nζ-1 d n ζ (durante la división se van agregando “p-1” ceros hasta Resto 1 llegar al resto igual a 1): Resto 1 llegar al resto igual a 1): Resto 2 Resto 2 Resto 3 Resto 3 n i restos …….. n i restos …….. …….. …….. Resto i = 1 Resto i = 1 El resto numero “uno” corresponde al momento donde se inicia o se vuelve a iniciar la expansión decimal pura. Si definimos a Z nζ = d 1 d 2 d 3........d n-1 d nζ, como el “número entero” correspondiente al valor de la expansión decimal pura, donde Z nζ puede ser algún entero para algunos primos p que cumple la Ecuación n°2.

12 Axioma nº 2: “la cantidad de restos parciales son divisores de p-1, estos pueden tomar los valores 2, 3,……, n ζ donde n ζ pertenece a los naturales.” Ahora juguemos un poco, se tiene que, el inverso multiplicativo de p, es: 1/p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 …..……… d nζ 1/p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 …..……… d nζ Si la multiplicamos convenientemente por 10 nζ nos queda: 10 nζ / p = d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ……… d n ζ, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5. ……. d nζ-1 d n ζ 10 nζ / p = d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ……… d n ζ, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5. ……. d nζ-1 d n ζ Si reemplazamos: 1/ p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 …………….. d nζ nos queda: 10 nζ / p = d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 …………..d nζ + 1/p 10 nζ / p = d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 …………..d nζ + 1/p Si definimos a Z nζ = d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 ………….. d nζ Reemplazando nos queda: 10 nζ / p = Z nζ + 1/p 10 nζ / p = Z nζ + 1/p O que es lo mismo tomando factor común de (1/p): (1/p) (10 nζ – 1) = Z nζ (1/p) (10 nζ – 1) = Z nζ Si despejamos a p se tiene: p = ( 10 nζ – 1) / Z nζ (3) p = ( 10 nζ – 1) / Z nζ (3) Donde: p es un numero primo, que cumple la ecuación n°2p es un numero primo, que cumple la ecuación n°2 n ζ cantidad de dígitos de la expansión pura decimaln ζ cantidad de dígitos de la expansión pura decimal 1 / p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 ….………. d nζ1 / p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 ….………. d nζ Z nζ = d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ………. d n ζ siempre pertenece a los naturalesZ nζ = d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ………. d n ζ siempre pertenece a los naturales

13 Ejemplo n°5: Veamos que sucede con el comportamiento de estas dos divisiones, para el número primo p = 7. Primeramente veamos el caso igual a (1/ p): 1`0`0`0`0`0`0: 7 = 0, 1428571428857 Donde: Z nζ = 142857 1`0`0`0`0`0`0: 7 = 0, 1428571428857 Donde: Z nζ = 142857 -7 -7 30 n ζ = 6 30 n ζ = 6 -28 -28 20 ceros agregados = 6 20 ceros agregados = 6 -14 -14 60 60 -56 -56 40 40 -35 -35 50 50 -49 -49 1 (resto final del período) 1 (resto final del período) Aplicando la ecuación n°3: p = ( 10 nζ – 1) / Z nζ = ( 10 6 – 1) / 142857 = 999999 / 142857 = 7 p = ( 10 nζ – 1) / Z nζ = ( 10 6 – 1) / 142857 = 999999 / 142857 = 7

14 Por otro lado, tenemos la siguiente herramienta matemática: Teorema de Fermat: Si p es primo y no divide a “a” entonces, siempre se cumple que: a p-1 ≡ 1 (mod p), es decir, a p-1 ≡ 1 (mod p) es divisible por p. a p-1 ≡ 1 (mod p), es decir, a p-1 ≡ 1 (mod p) es divisible por p. Si hacemos el siguiente reemplazo, a = 10, entonces nos queda: 10 p-1 ≡ 1 (mod p) 10 p-1 ≡ 1 (mod p) En estos momentos conviene llevar esta formula en términos de una división: 10 p-1 : p = x 1 x 2 x 3 x 4 …………… x n 10 p-1 : p = x 1 x 2 x 3 x 4 …………… x n resto1 resto1 resto2 resto2....….....…. resto anterior resto anterior resto final = 1 resto final = 1 Se cumple: 10 p-1 ≡ p · x 1 x 2 x 3 x 4 ……………x n + 1 Si consideramos a X n = x 1 x 2 x 3 x 4 ……… x n como la parte entera de la división de 10 p-1 con p. Por lo tanto, el teorema de Fermat garantiza que siempre existe un X n entero talque: 10 p-1 = p · X n + 1 (4) 10 p-1 = p · X n + 1 (4)Donde: p es un numero primop es un numero primo X n = x 1 x 2 x 3 x 4 ………… x n es un entero con una propiedad interesante.X n = x 1 x 2 x 3 x 4 ………… x n es un entero con una propiedad interesante.

15 Ejemplo n°6: Veamos el caso (10 p-1 / p): 10`0`0`0`0`0 : 7 = 142857 ; Donde: X n = 142857 10`0`0`0`0`0 : 7 = 142857 ; Donde: X n = 142857 -7 -7 30 número de dígitos X n = 6 30 número de dígitos X n = 6 -28 -28 20 ceros tomados = 6 -14 60 -56 -56 40 40 -35 -35 50 50 -49 -49 1 (último resto anterior al período decimal) 1 (último resto anterior al período decimal) Aplicando la ecuación n°4: 10 p-1 = p · X n + 1 = 7 * 142857 +1 = 999999 + 1 = 1000000 = 10 7-1 10 p-1 = p · X n + 1 = 7 * 142857 +1 = 999999 + 1 = 1000000 = 10 7-1 Se puede observar que existe una exacta similitud en las dos divisiones, ya que, siempre se cumple que Z nζ = X n, en el aspecto de la forma digital de los números, y esto se debe a que siempre son los mismos resultados, el primero en el espacio decimal y el otro en el espacio de los enteros, diferiendo en significado, pero uniéndose en valor.

16 Resolviendo para la ecuación n°4, aplicando logaritmo, se tiene: log ( 10 p-1 ) = log ( p · X n + 1 ) log ( 10 p-1 ) = log ( p · X n + 1 ) Si se tiene que: X n = Z nζ,(ver ejemplo n°5) entonces, reemplazando queda: p - 1 = log ( p · Z nζ + 1 ) p - 1 = log ( p · Z nζ + 1 ) Si además, reemplazamos a p = ( 10 n ζ – 1) / Z nζ, ecuación 3, en el argumento del logaritmo de la ecuación anterior: p - 1 = log (( 10 n ζ – 1) /Z nζ · Z nζ + 1 ) p - 1 = log (( 10 n ζ – 1) /Z nζ · Z nζ + 1 ) p - 1 = log (( 10 n ζ + 0 )) = log ( 10 n ζ ) = n ζ p - 1 = log (( 10 n ζ + 0 )) = log ( 10 n ζ ) = n ζ p = n ζ + 1, donde n ζ pertenece a los naturales (5) p = n ζ + 1, donde n ζ pertenece a los naturales (5) Esta correspondería a la primera “ecuación solución” de la colección de ecuaciones de la forma: p = n ζ · C n ζ + 1, con C n ζ = 1 y n ζ = { 6, 16, 18,22, 28, 46,.., n ζ,.. } p = n ζ · C n ζ + 1, con C n ζ = 1 y n ζ = { 6, 16, 18,22, 28, 46,.., n ζ,.. } Si p tiende al infinito, también n ζ lo hace y siendo par siempre. Y si existen infinitos primos p también existirán infinitos n ζ. El conjunto solución de números primos para esta ecuación, es el siguiente: P ° (p =n ζ +1) = { 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149,...., p = n ζ +1,..}

17 Análogamente, se puede realizar el mismo procedimiento para algún primo p de la forma: p = 2 · n ζ + 1 p = 2 · n ζ + 1 Se tiene que para 1/p la expansión decimal pura es: 1/p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6..……….. d nζ, si la multiplicamos por 10 2 · nζ nos queda: 10 2 · nζ / p = d 1 d 2 d 3 ……. d nζ d 1 d 2 d 3 ………. d nζ, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 …..…....d n ζ Si reemplazamos: 1/ p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6………….. d n ζ, nos queda: 10 2 · nζ / p = d 1 d 2 d 3 ………….. d nζ d 1 d 2 d 3 ………….. d nζ + 1/p 10 2 · nζ / p = d 1 d 2 d 3 ………….. d nζ d 1 d 2 d 3 ………….. d nζ + 1/p Si definimos a Z nζ = d 1 d 2 d 3 ……….. d nζ d 1 d 2 d 3 ……….. d nζ 10 2·nζ / p = Z nζ + 1/p 10 2·nζ / p = Z nζ + 1/p O que es lo mismo, tomando factor común (1/p): (1/p) (10 2 · nζ – 1) = Z nζ (1/p) (10 2 · nζ – 1) = Z nζ Por lo tanto, si despejamos a p se tiene: p = ( 10 2 · nζ – 1) / Z nζ (6) p = ( 10 2 · nζ – 1) / Z nζ (6)Donde: p es un numero primop es un numero primo n ζ cantidad de dígitos de la expansión decimal puran ζ cantidad de dígitos de la expansión decimal pura 1 / p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ….…... d nζ1 / p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ….…... d nζ Z nζ = d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 …………. d nζ d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 …. d nζZ nζ = d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 …………. d nζ d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 …. d nζ Ahora, veamos como se comporta la división 10 p-1 / p aplicando el Teorema de Fermat, se puede ver que ocurre lo siguiente:

18 10 p-1 : p = x 1 x 2 x 3 …..…..x n-1 x n x 1 x 2 x 3..….…...x n-1 x n resto1 resto1 resto 2 resto 2 [X n ] [X n ]....….....…. 1 (último resto anterior al período decimal) 1 (último resto anterior al período decimal) Se cumple: 10 p-1 = p · x 1 x 2 x 3 …..…..x n-1 x n x 1 x 2 x 3..….…...x n-1 x n + 1 10 p-1 = p · x 1 x 2 x 3 …..…..x n-1 x n x 1 x 2 x 3..….…...x n-1 x n + 1 Si definimos nuevamente a un “tipo digital de entero” con la forma igual a: X n = x 1 x 2 x 3 …..…..x n-1 x n x 1 x 2 x 3..….…...x n-1 x n X n = x 1 x 2 x 3 …..…..x n-1 x n x 1 x 2 x 3..….…...x n-1 x n Nuevamente, se observa que se cumple la forma digital: [ X n ] = [ Z nζ ],(ver ejemplo n°6) Log ( 10 p-1 ) = log ( p · X nζ + 1) Log ( 10 p-1 ) = log ( p · X nζ + 1) Entonces, reemplazando X n por Z nζ : p - 1 = log ( p ·Z nζ + 10 ) p - 1 = log ( p ·Z nζ + 10 ) Si reemplazamos a p = ( 10 2·n ζ – 1) / Z nζ en el segundo término de la ecuación: p - 1 = log (( 10 2· n ζ – 1) / Z nζ ) · Z nζ + 1) p - 1 = log (( 10 2· n ζ – 1) / Z nζ ) · Z nζ + 1) p - 1 = log (( 10 2· n ζ – 0)) = log ( 10 2·n ζ ) p - 1 = log (( 10 2· n ζ – 0)) = log ( 10 2·n ζ ) p = 2 · n ζ + 1 (7) p = 2 · n ζ + 1 (7) Esta correspondería a la segunda “ecuación solución” de la colección de ecuaciones de la forma:

19 p = n ζ · C n ζ + 1, con C n ζ = 2 y n ζ = { 6, 15, 21, 33, 35, 41,44..,n ζ,.. } Si p tiende al infinito, también n ζ lo hace, siendo par o impar. Y si existen infinitos primos p, tal que, p = 2 · n ζ + 1, también existirán infinitos n ζ. El conjunto solución primo para este tipo de ecuación, es el siguiente: P ° (p =2 · n ζ+1) = {13, 31, 43, 67, 71, 83, 89,………....., p = 2 · n ζ +1,……...} Ejemplo n°7: Veamos que sucede con el comportamiento de estas dos divisiones, para el número primo p = 13. Primeramente veamos el caso igual a (1/ p): 1`0`0`0`0`0`0: 13 = 0, 076923076923 Donde: Z nζ = 076923076923 1`0`0`0`0`0`0: 13 = 0, 076923076923 Donde: Z nζ = 076923076923 -91 -91 90 n ζ = 6 90 n ζ = 6 -78 -78 120 120 -117 -117 30 30 -26 -26 40 40 -39 -39 1 (resto final del período) 1 (resto final del período) Aplicando la ecuación n°6: p = ( 10 2 · nζ – 1) / Z nζ = ( 10 12 – 1) / 076923076923 = 13 p = ( 10 2 · nζ – 1) / Z nζ = ( 10 12 – 1) / 076923076923 = 13

20 Ejemplo n°8: Veamos el caso (10 p-1 / p): 10`0`0`0`0`0`0`0`0`0`0`0 : 13 = 076923076923 ; Donde: X n = 076923076923 10`0`0`0`0`0`0`0`0`0`0`0 : 13 = 076923076923 ; Donde: X n = 076923076923 -91 -91 90 número de dígitos de X n = 12 90 número de dígitos de X n = 12 -78 -78 120 120 -117 -117 30 30 -26 -26 40 40 -39 -39 100 100 -91 -91 90 90 -78 -78 120 120 -117 -117 30 30 -26 -26 40 40 -39 -39 1(último resto anterior al período decimal) 1(último resto anterior al período decimal) Aplicando la ecuación n°4: 10 p-1 = p · X n + 1 = 13* 076923076923 +1 = 1000000 = 10 13-1 10 p-1 = p · X n + 1 = 13* 076923076923 +1 = 1000000 = 10 13-1 Nuevamenete se puede observar que existe una exacta similitud en las dos divisiones, ya que, siempre se cumple que Z nζ = X n, en el aspecto de la forma digital de los números, y esto se debe a que siempre son los mismos resultados, el primero de forma decimal y el otro de forma de entero, diferiendo en significado, pero uniendose estos en valor.

21 Análogamente, se puede realizar el mismo procedimiento para algún primo p de la forma igual a: p = C nζ · n ζ + 1 (2) Se tiene que la expansión decimal pura es: 1 / p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5.………... d nζ si la multiplicamos por 10 Cnζ· nζ nos queda: ( 10 Cnζ · nζ ) / p = d 1 d 2 d 3 ……..…..…d n ζ.....d 1 d 2 d 3 …………….….d nζ, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 ………..d n ζ C nζ · n ζ (corriendo el decimal C nζ · n ζ “veces”) Si reemplazamos: 1/ p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ……. d n ζ, nos queda: 10 Cnζ · nζ / p = d 1 d 2 ……d nζ-1 d nζ …… ……d 1 d 2 ……d nζ-1 d nζ + 1/p Si definimos a Z nζ = d 1 d 2 d 3 …d nζ d 1 d 2 ….d nζ ………….d 1 d 2 ……d nζ Entonces, nos queda: 10 Cnζ · nζ / p = Z nζ + 1/p O que es lo mismo tomando factor común (1/p): (1/p) (10 Cnζ · nζ – 1) = Z nζ Si despejamos a p se tiene: p = ( 10 Cnζ · nζ – 1) / Z nζ (8) p = ( 10 Cnζ · nζ – 1) / Z nζ (8)

22 Donde: p es un numero primo, que cumple : p = C nζ · n ζ + 1p es un numero primo, que cumple : p = C nζ · n ζ + 1 n ζ cantidad de dígitos de la expansión pura decimaln ζ cantidad de dígitos de la expansión pura decimal 1 / p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ….….. d nζ1 / p = 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 ….….. d nζ Z nζ = d 1 d 2 d 3 …. d nζ d 1 d 2 d 3 …. d nζ …… d 1 d 2 d 3 …. d nζZ nζ = d 1 d 2 d 3 …. d nζ d 1 d 2 d 3 …. d nζ …… d 1 d 2 d 3 …. d nζ Ahora veamos como se comporta 10 p-1 / p, cuando p = C nζ · n ζ + 1, aplicando el Teorema de Fermat, se puede ver que ocurre lo siguiente: 10 p-1 : p = x 1 x 2 …x n x 1 x 2 …x n x 1 …x n x 1 x 2...x n x 1 x 2 x 3 x 4 x 5…………… x n 10 p-1 : p = x 1 x 2 …x n x 1 x 2 …x n x 1 …x n x 1 x 2...x n x 1 x 2 x 3 x 4 x 5…………… x n resto1 resto1 resto 2 X n resto 2 X n....….....…. resto“i” = 1 resto“i” = 1 Se cumple: 10 p-1 = p · x 1 x 2 …x n x 1 x 2 …x n x 1 …x n x 1 x 2...x n x 1, x 2 x 3 x 4 x 5…………… x n + 1 Si definimos a X n = x 1 x 2 …x n x 1 x 2 …x n x 1 …x n x 1 x 2...x n x 1 x 2 x 3 x 4 x 5…………… x n Nuevamente se cumple que: X n = Z nζ, aplicando logaritmo y reemplazando X nζ por Z nζ y p = (10 Cnζ · nζ – 1) / Z Cnζ se tiene: p = (10 Cnζ · nζ – 1) / Z Cnζ se tiene: Log ( 10 p-1 ) = log (p · X nζ + 1) = Log ( 10 p-1 ) = log (p · X nζ + 1) = p - 1 = log ((( 10 Cnζ · nζ – 1) / Z Cnζ )· Z Cnζ + 1) p - 1 = log ((( 10 Cnζ · nζ – 1) / Z Cnζ )· Z Cnζ + 1) p - 1 = log (( 10 Cnζ · nζ +1 – 0)) = log ( 10 C nζ · nζ ) p - 1 = log (( 10 Cnζ · nζ +1 – 0)) = log ( 10 C nζ · nζ ) p = C n ζ · n ζ + 1 (2) El conjunto solución primo general para esta ecuación, es el siguiente: P ° = { p 1 =1 · n ζ + 1, p 2 = 2 · n ζ + 1, p 3 = 3 · n ζ + 1,…..., p n = C n ζ · n ζ + 1,….} Por lo que queda demostrado el Teorema n°1..

23 Como consecuencia de esto, se obtiene otro ente matemático de mayor amplitud conceptual que el anterior, el cual, está relacionado con el primero y tiene la virtud de ser calculado por medio de la operación de Mínimo Común Múltiplo entre los “n ζ ” involucrados y lo he denotado como “ nº ζ ”, que significa nivel o potencial de los “n ζ ”. Obteniéndose un nuevo teorema fundamental de aritmética que se acopla o se extiende sobre el primer teorema fundamental de la aritmética, el cual, dice que: “todo número natural puede ser representado como un producto de sus factores primos elevados a los exponentes correspondientes”, el nuevo teorema dice relación con la manera correcta de ordenarlos y relacionarlos entre sí. III.-Existencia de un ordenamiento perfecto llamado Productoria Natural Prima Corresponde al ordenamiento perfecto de los números primos y la visualización o descubrimiento de la relación que existe entre los números primos que tienen ciertos n ζ, los cuales pueden ser divisores, múltiplos o iguales respecto de un potencial nº ζ determinado. U(nº ζ ) = [(10) n° ζ - 1] / 9 = 111111……1111…………….....1111111111 (9) n veces unos = nº ζ Productoria Natural Prima U(nº ζ ) Sea la Productoria Natural Prima igual a U(nº ζ ), un número natural formado solamente por dígitos iguales a “unos”, entonces se tiene:

24 Teorema n°2 : “Existencia de una forma de Ordenamiento Numérico Perfecto entre todos los Números Primos por medio de la Productoria Natural Prima(P.N.P). donde se relacionan de forma exacta los “n ζ ”de cada número primo en cuestión para cada nivel de la productoria considerado” Sea la Productoria Natural Prima igual a U(nº ζ ), un número natural formado solamente por dígitos iguales a “unos”, entonces se tiene: (p 1 ) exp1 · (p 2 ) exp2 · (p 3 ) exp3 · (p 4 ) exp4 ·……· (p n ) expn (10) U(nº ζ ) = [(10) n° ζ - 1]/9 = (p 1 ) exp1 · (p 2 ) exp2 · (p 3 ) exp3 · (p 4 ) exp4 ·……· (p n ) expn (10) Entonces, siempre se cumple que: p 1 = p 1 (n ζ1 ) = n ζ1 · C nζ1 +1; p 2 = p 2 (n ζ2 ) = n ζ2 · C nζ2 +1; p 3 = p 3 (n ζ3 ) = n ζ3 · C nζ3 + 1,..………….,p 1 = p 1 (n ζ1 ) = n ζ1 · C nζ1 +1; p 2 = p 2 (n ζ2 ) = n ζ2 · C nζ2 +1; p 3 = p 3 (n ζ3 ) = n ζ3 · C nζ3 + 1,..…………., p n = p n (n ζn ) = n ζn ·C nζn +1. Los exp1, exp2, exp3, exp4,…………,expn son los posibles exponentes.Los exp1, exp2, exp3, exp4,…………,expn son los posibles exponentes. es el Mínimo Común Múltiplo (M. C. M.) de losnº ζ es el Mínimo Común Múltiplo (M. C. M.) de los n ζ1, n ζ2, n ζ3,…..…,n ζn La demostración de esta fórmula es extremadamente compleja, por lo que es posible hacerla de forma parcial, por ejemplo, bajando la cantidad de primos involucrados o nivel.

25 Tabla n °5: Niveles del conjunto n° ζ (los resultados de la ecuación 18) Nivel n° ζ Productoria Prima de Números Primos Expresión de la M.C.M con su respectivos n ζ perteneciente al nivel n° ζ Productoria M.C.M con su respectivos n ζ perteneciente al nivel n° ζ Productoria 1° ζ 3 nζ =1 ¿? 1° ζ 3 nζ =1 ¿? 2° ζ 11 nζ =2 ((10) 2 –1)/9 2° ζ 11 nζ =2 ((10) 2 –1)/9 3° ζ 37 nζ =3 · 3 nζ =1 ((10) 3 –1)/9 3° ζ 37 nζ =3 · 3 nζ =1 ((10) 3 –1)/9 4° ζ 11 nζ =2 ·101 nζ =4 ((10) 4 –1)/9 4° ζ 11 nζ =2 ·101 nζ =4 ((10) 4 –1)/9 5° ζ 41 nζ =5 · 271 nζ=5 ((10) 5 –1)/9 5° ζ 41 nζ =5 · 271 nζ=5 ((10) 5 –1)/9 6° ζ 3 nζ =1 · 7 nζ =6 · 11 nζ=2 · 13 nζ =6 · 37 nζ5 =3 ((10) 6 –1)/9 6° ζ 3 nζ =1 · 7 nζ =6 · 11 nζ=2 · 13 nζ =6 · 37 nζ5 =3 ((10) 6 –1)/9 7° ζ 239 nζ =7 · 4649 nζ =7 ((10) 7 –1)/9 7° ζ 239 nζ =7 · 4649 nζ =7 ((10) 7 –1)/9 8° ζ 11 nζ =2 ·73 nζ=8 ·101 nζ =4 ·137 nζ =8 ((10) 8 –1)/9 8° ζ 11 nζ =2 ·73 nζ=8 ·101 nζ =4 ·137 nζ =8 ((10) 8 –1)/9 9° ζ 3 2 nζ =1 · 37 nζ =3 · 333667 nζ =9 ((10) 9 –1)/9 9° ζ 3 2 nζ =1 · 37 nζ =3 · 333667 nζ =9 ((10) 9 –1)/9 10° ζ 11 nζ =2 · 41 nζ =5 · 271 nζ =5 · 9091 nζ =10 ((10) 10 –1)/9 10° ζ 11 nζ =2 · 41 nζ =5 · 271 nζ =5 · 9091 nζ =10 ((10) 10 –1)/9 11° ζ 21649 nζ =11 · 513239 nζ =11 ((10) 11 –1)/9 11° ζ 21649 nζ =11 · 513239 nζ =11 ((10) 11 –1)/9 12° ζ 3 nζ =1 · 7 nζ =6 · 11 nζ =2 · 13 nζ =6 · 37 nζ =3 ((10) 12 –1)/9 12° ζ 3 nζ =1 · 7 nζ =6 · 11 nζ =2 · 13 nζ =6 · 37 nζ =3 ((10) 12 –1)/9 101 nζ =4 · 9901 nζ =12 101 nζ =4 · 9901 nζ =12 13° ζ 53 nζ =13 · 79 nζ =13 · 265371653 nζ =13 ((10) 13 –1)/9 13° ζ 53 nζ =13 · 79 nζ =13 · 265371653 nζ =13 ((10) 13 –1)/9 14° ζ 11 nζ =2 · 239 nζ =7 · 4649 nζ =7 · 909091 nζ =14 ((10) 14 –1)/9 14° ζ 11 nζ =2 · 239 nζ =7 · 4649 nζ =7 · 909091 nζ =14 ((10) 14 –1)/9 15° ζ 3 nζ =1 · 31 nζ=15 · 37 nζ =3 · 41 nζ =5 · 271 nζ =5 ((10) 15 –1)/9 15° ζ 3 nζ =1 · 31 nζ=15 · 37 nζ =3 · 41 nζ =5 · 271 nζ =5 ((10) 15 –1)/9 2906161 nζ=15 2906161 nζ=15 16° ζ 11 nζ =2 · 17 nζ =16 · 73 nζ =8 · 101 nζ =4 · 137 nζ =8 ((10) 16 –1)/9 16° ζ 11 nζ =2 · 17 nζ =16 · 73 nζ =8 · 101 nζ =4 · 137 nζ =8 ((10) 16 –1)/9 5882353 nζ =16 5882353 nζ =16 17° ζ 2071723 nζ =17 · 5363222357 nζ =17 ((10) 17 –1)/9 17° ζ 2071723 nζ =17 · 5363222357 nζ =17 ((10) 17 –1)/9 18° ζ 3 2 nζ =1, · 7 nζ =6 · 11 nζ =2 · 13 nζ =6 · 19 nζ =18 ·37 nζ =3 · ((10) 18 –1)/9 18° ζ 3 2 nζ =1, · 7 nζ =6 · 11 nζ =2 · 13 nζ =6 · 19 nζ =18 ·37 nζ =3 · ((10) 18 –1)/9 52579 nζ =18 · 333667 nζ =9 52579 nζ =18 · 333667 nζ =9 19° ζ 1111111111111111111 nζ =19 ((10) 19 –1)/9 19° ζ 1111111111111111111 nζ =19 ((10) 19 –1)/9 20° ζ 11 nζ =2 · 41 nζ =5 · 101 nζ =4 · 271 nζ =5 20° ζ 11 nζ =2 · 41 nζ =5 · 101 nζ =4 · 271 nζ =5 3541 nζ =20 · 9091 nζ =10 · 27961 nζ =20 ((10) 20 –1)/9 3541 nζ =20 · 9091 nζ =10 · 27961 nζ =20 ((10) 20 –1)/9

26 21° ζ 3 nζ =1 · 43 nζ =21 · 239 nζ =7 · 4649 nζ =7 · 1933 nζ =21 21° ζ 3 nζ =1 · 43 nζ =21 · 239 nζ =7 · 4649 nζ =7 · 1933 nζ =21 401031493 nζ =21 ((10) 21 –1)/9 401031493 nζ =21 ((10) 21 –1)/9 22° ζ 11 2 nζ =22 · 23 nζ =22 · 4093 nζ =22 · 8779 nζ =22 22° ζ 11 2 nζ =22 · 23 nζ =22 · 4093 nζ =22 · 8779 nζ =22 21649 nζ =11 · 513239 nζ =11 ((10) 22 –1)/9 21649 nζ =11 · 513239 nζ =11 ((10) 22 –1)/9 23° ζ 11111111111111111111111 nζ =23 ((10) 23 –1)/9 23° ζ 11111111111111111111111 nζ =23 ((10) 23 –1)/9 24° ζ 3 nζ =1 · 7 nζ =6 · 11 nζ =2 · 13 nζ =6 · 37 nζ =3 24° ζ 3 nζ =1 · 7 nζ =6 · 11 nζ =2 · 13 nζ =6 · 37 nζ =3 73 nζ =8 · 101 nζ =4 · 137 nζ =8 · 9901 nζ =12 73 nζ =8 · 101 nζ =4 · 137 nζ =8 · 9901 nζ =12 99990001 nζ =24 ((10) 24 –1)/9 99990001 nζ =24 ((10) 24 –1)/9 25° ζ 41 nζ =5 · 271 nζ =5 25° ζ 41 nζ =5 · 271 nζ =5 21401 nζ =25 · 25601 nζ =25 21401 nζ =25 · 25601 nζ =25 182521213001 nζ =25 ((10) 25 –1)/9 182521213001 nζ =25 ((10) 25 –1)/9 26° ζ 11 nζ =2 · 53 nζ =13 · 79 nζ =13 · 859 nζ =26 26° ζ 11 nζ =2 · 53 nζ =13 · 79 nζ =13 · 859 nζ =26 265371653 nζ =13 · 1058313049 nζ =26 ((10) 26 –1)/9 265371653 nζ =13 · 1058313049 nζ =26 ((10) 26 –1)/9 27° ζ 3 3 nζ =3 · 37 nζ =3 · 757 nζ =27, 27° ζ 3 3 nζ =3 · 37 nζ =3 · 757 nζ =27, 333667 nζ =9 · 440334654777631 nζ =27 ((10) 27 -1)/9 333667 nζ =9 · 440334654777631 nζ =27 ((10) 27 -1)/9 28° ζ 11 nζ =2 · 29 nζ =28 · 101 nζ =4 · 239 nζ=7 · 281 nζ =28 28° ζ 11 nζ =2 · 29 nζ =28 · 101 nζ =4 · 239 nζ=7 · 281 nζ =28 4649 nζ =7 · 909091 nζ =14 · 121499449 nζ =28 ((10) 28 –1)/9 4649 nζ =7 · 909091 nζ =14 · 121499449 nζ =28 ((10) 28 –1)/9

27 Para el nivel primo igual 331° ζ : 1987 nζ =331 · 55919029245652295476150534026729295979421797237599955264776603478163619079572778616563216462562209920035788178717217469104736341777106749426829950232063971369457026226024716210926578314600458536039814348822904434379019180227031258737348319633171168148520941676 4524967846558183749930101213442934630654811832466588380025722753453 nζ =331 = ((10) 331 –1)/9 Para el nivel primo igual 337° ζ : 427991 nζ =337 · 282549563 nζ =337 · 91881529082089463566265971179351128644281023855907945653442760279327657296007044754745229377981788046422438170159462825528813508499703986351507211018441964969245021493394743700315757812711812891481814614583685817662444094878166618037401297391647436831867063669 89101143937955823849478782178108864591920880651248326458831267 nζ =337 = ((10) 337 –1)/9 Para el nivel primo igual 347° ζ : 27067 nζ =34 · 41050397573100495478298707322980423065397388373706399346477670636240111985484579418151664798873577090594122404075483471057417191085495663025496401932652717741571327118303140765918317918909044634097281232168733554184472276613999006580378730968009425171282783873 761817383201356305135815240370602989289951273178080729711867259434407622237821373 nζ =347 = ((10) 347 –1)/9 Para el nivel primo igual 349° ζ : 127037 nζ =349 · 28974679 nζ =349 · 3018621271038020630940011729679731476363103347710385431287897717771348629641051118520836115665909786140752995975097011123895878042958490469639137681604698315088401163258897779048276837235205408337185692153855623103680891287193669209950132157587291165394595534562421792616468184613 76997055242207823838477705346141650446419842549104902757 nζ =349 = ((10) 349 –1)/9 Para el nivel primo igual 353° ζ : 1781225293 nζ =353 · 1044667255801249 nζ =353 · 59711867610779083924022714071384695313374935846132777554289992127848635356029303193907579650572669444009308229942214318034262003822591696096237499388906240188560643234342101386837946383981815554806365894329678470465583039004932216435451180978084664872610746563 66822115475153656260621410869928975265101194270553763134331528776323 nζ =353 = ((10) 353 –1)/9 Para el nivel primo igual 359° ζ : 719 nζ =359 · 73237 nζ =359 · 799853 nζ =359 · 33569502677 nζ =359 78585599168897897812546001320926002792844630281341472098633875185278000395013641928320128298874459439422886171975551872338552907091098256294039417846912789721448544040406346211763514837321834844791550986953496650035636894216208335994405988139606666085970146580 45136751481516533494667313211292928329674320653732579091897263224715271477 nζ =359 = ((10) 359 –1)/9 Estos cálculo se demoran un día o más por nivel.

28

29 Ejemplo nº 9: Veamos el caso cuando el nivel nºζ es igual a 25. La Productoria Prima Natural es: 41 nζ =5 * 271 nζ =5 * 21401 nζ =25 * 25601 nζ =25 * 182521213001 nζ =25 = ((10) 25 – 1)/9 = 1111111111111111111111111 Comprobemos el valor de los nºζ particulares para cada primo. Se tiene: 1/41 = 0,02439 02439 024…….. esto significa que n ζ = 5 1/271 = 0,00369 00369 00……….. entonces n ζ = 5 1/21401 = 0,00004 67267 88467 82860 61399 00004 672679…. n ζ = 25 1/25601 = 0,00003 90609 74180 69606 65599 0000390609……….n ζ = 25 1/ 182521213001 = 0,00000 00000 05478 81522 12999 0000000000054… se tiene que n ζ = 25. Por lo tanto, cumple con la P. P. N. y con la condición que 25 es el Mínimo Común Múltiplo de los n ζ relacionados

30 III.-Divisor de la Productoria Prima Natural Veamos el caso de que exista algún divisor posible, en donde es divisible por algún número primo. Veamos el caso de que exista algún divisor posible, en donde U es divisible por algún número primo. Sea p 1 algún primo ≥ 7, donde se cumple que: p 1 (n ζ1 ) = n ζ1 · C nζ1 + 1(11) p 1 (n ζ1 ) = n ζ1 · C nζ1 + 1 (11) p 1 Si p 1 es divisor de la Productoria Prima Natural, entonces debe cumplir con la siguiente expresión, si n ζ1 n°ζ es igual o divisor del nivel n°ζ, entonce se cumple que: U mod p 1 = 0 (12) U mod p 1 = 0 (12) nζ O en términos de los nζ: [(10) nºζ -1] / 9 mod (n ζ1 · C nζ1 + 1) = 0 (13)

31 p 1 Ejemplo nº 10: Sea p1 un número primo, digamos 173, entonces p 1 = 173, y p 1 (n ζ ) = n ζ1 · C nζ1 + 1 cumple con: p 1 (n ζ ) = n ζ1 · C nζ1 + 1, por lo tanto n ζ1 = 43 (calculado anteriormente). Si consideramos el caso para el mismo nivel de n º ζ : U = ((10) 43 - 1) /9 ) = 1111111111111111111111111111111111111111111 (un número formado por 43 unos), resulta que 173 es un divisor exacto de U. Veamos entonces, si se cumple: 1111111111111111111111111111111111111111111 : 173 = 6422607578676942838792549775208734746307 (Esta división tiene como resultado a un número natural y es exacta o de resto cero). Se tiene que buscando otro posible divisor primo con igual periodo n ζ, se encuentra que el número: 1527791 tiene un n ζ igual a 43, es decir, 1/ 1527791, es igual: 0,0000006545397898010919032773461815130472689, es un número con 43 dígitos, por lo que el 0,0000006545397898010919032773461815130472689, es un número con 43 dígitos, por lo que el 1527791 debe pertenecer a la Productoria Prima Natural, esto significa que divide de forma exacta al número resultante anterior de la primera división, comprobemos tanta belleza:6422607578676942838792549775208734746307 : 1527791 = 4203852214522105994074156592890477 con resto cero. Como se esperaba, exactamente el número 1527791 divide a 6422607578676942838792549775208734746307 Por lo tanto, se tiene que: 1111111111111111111111111111111111111111111 = p 3 * p 3 * p 3 = 173 1527791 4203852214522105994074156592890477 ¿Uno podría encontrar algún otro?

32 El cálculo de un posible número primo gigantesco a partir de la definición de la Productoria Prima Natural, es posible, mediante la utilización de condiciones o resultados que sean lo más poco probables, es decir, realizando un tipo de tamizado matemático en el conjunto de los números primos con nuevas condiciones de primalidad o divisibilidad. Ahora viene la gran pregunta, ¿hay manera de saber cuándo se estará en presencia de un producto de sólo dos números primos?, cosa que un número primo determine al otro, por medio de la fórmula Consideremos los siguientes pasos a seguir para disminuir la posibilidad de encontrarse con más de dos primos en la fórmula: Aumentar el cálculo de los n ζ lo más que se pueda, para tener un espectro más amplio del comportamiento, con varios PC he calculado y tabulado hasta el primo 100.000.000.Aumentar el cálculo de los n ζ lo más que se pueda, para tener un espectro más amplio del comportamiento, con varios PC he calculado y tabulado hasta el primo 100.000.000. Que el n ζ sea un número primo, ya que, al serlo no se tienen submúltiplos, por consiguiente, no se tienen números primos con n ζ submúltiplos que cumplan la fórmula. Por lo tanto, se reduce la cantidad de primos.Que el n ζ sea un número primo, ya que, al serlo no se tienen submúltiplos, por consiguiente, no se tienen números primos con n ζ submúltiplos que cumplan la fórmula. Por lo tanto, se reduce la cantidad de primos.

33 Si, “p 1 ” es algún primo muy grande, con un n ζ1 también primo (n ζ1 = nζ2 = nº ζ ), entonces se cumple que: p 1 p 1 (n ζ ) = n ζ1 · C nζ1 + 1p 1 = p 1 (n ζ ) = n ζ1 · C nζ1 + 1 (((10) nºζ -1)/9) mod (n ζ1 · C nζ1 + 1)=0(((10) nºζ -1)/9) mod (n ζ1 · C nζ1 + 1 )=0 Entonces existe un posible numero primo p 2 gigantesco que cumple lo siguiente: ( ( (10) nºζ - 1) / 9) div (n ζ1 · C nζ1 + 1) = p 2, entonces, se tiene que: ( ( (10) nºζ - 1) / 9) div (n ζ1 · C nζ1 + 1 ) = p 2, entonces, se tiene que: p 1 · p 2 = (10) nºζ - 1) / 9 = 111111111…....11111………….11111 Donde: p 1 p 1 (n ζ ) = n ζ1 · C nζ1 + 1; p 2 p 2 (n ζ ) = n ζ2 · C nζ2 + 1 Donde: p 1 = p 1 (n ζ ) = n ζ1 · C nζ1 + 1 ; p 2 = p 2 (n ζ ) = n ζ2 · C nζ2 + 1 y n ζ1 = n ζ2 = n ºζ = n ζ y n ζ1 = n ζ2 = n ºζ = n ζ Intuitivamente se puede hacer la siguiente observación matemática: Si n ζ  ∞ (tiende al infinito primo)  la expresión (10) nºζ - 1) / 9 estaría formada por dos números primos solamente con un 99,999….99% de certeza, ya que al aumentar nº ζ cada vez, será más difícil encontrar un tercer primo con el mismo nº ζ, pero aún no hay PC’s tan poderosos para comprobarlo.Si n ζ  ∞ (tiende al infinito primo)  la expresión (10) nºζ - 1) / 9 estaría formada por dos números primos solamente con un 99,999….99% de certeza, ya que al aumentar nº ζ cada vez, será más difícil encontrar un tercer primo con el mismo nº ζ, pero aún no hay PC’s tan poderosos para comprobarlo. Si realizamos programas que nos permitan calcular primos que tienen un n ζ que sea primo y este a su vez, que resulte en otro primo que tenga otro n ζ primo, y así sucesivamente, bajaríamos cerca de cero la posibilidad de repetición del n ζ. A continuación, se detalla.Si realizamos programas que nos permitan calcular primos que tienen un n ζ que sea primo y este a su vez, que resulte en otro primo que tenga otro n ζ primo, y así sucesivamente, bajaríamos cerca de cero la posibilidad de repetición del n ζ. A continuación, se detalla.

34 Cálculo de un Record de un “Posible Número Primo” Utilizando el ejemplo anterior podemos plantear lo siguiente: p 1 = 8630519 [4315259] p 2 = 17261039 [8630519] p 3 = 34522079 [17261039] p 4 = 69044159 [34522079] p 5 = ((10^69044159-1)/9)[69044159] O también que es lo mismo: p 5 =((10^69044159-1)/9)[69044159][34522079][17261039][8630519][4315259] Si U es un generador del nivel 69044159 de la Productoria Prima Natural, entonces se define que: U = 111111………………………………………….11111 = (10 69.044.159 -1) / 9 Si consideramos que existe otro número divisor primo que divida a este número, este debería pertenecer a la Productoria Prima del generador U con un n ζ igual a 69.044.159, por ende, este debe ser de la forma igual a: = 69.044.159 ·+ 1 p(n ζx )= n ζ · C n ζx + 1 = 69.044.159 · Cn ζx + 1 y debe cumplir con lo siguiente: U mod = (10 69044159 -1) / 9 Mod (69.044.159 · 2 *x + 1) U mod p(n ζx ) = (10 69044159 -1) / 9 Mod (69.044.159 · 2 *x + 1)

35 He realizado evaluaciones tentativas de posibles divisores de (10 69044159 -1)/9 Con el siguiente programa y evaluado en el Software Mathematica: “ In:[1]:= n = 1; While[n<100000000000, If[PrimeQ[69044149*2*n+1], Print["resto:", Mod[(10^69044149-1)/9, 69044149*2*n+1], "divisor:", 69044149*2*n+1]]; n++] ” Encontrando los siguientes divisores: 88238435203( “= 1278 *69044159+1”) y 3204339419191 (“= 69044159*46410+1”) 88238435203( “= 1278 *69044159+1”) y 3204339419191 (“= 69044159*46410+1”) Los resultados de la salida del programa y donde se producen los restos ceros o divisores, se muestran a continuación: resto:400842314divisor:828529909 resto:400842314divisor:828529909 resto:603394603divisor:1380883181 resto:603394603divisor:1380883181 resto:294259429divisor:2071324771 resto:294259429divisor:2071324771 resto:4465715855divisor:8285299081 resto:4465715855divisor:8285299081 resto:8855658164divisor:9113828989 resto:8855658164divisor:9113828989 resto:1576871020divisor:10494712169 resto:1576871020divisor:10494712169 resto:11541482399divisor:11599418713 resto:11541482399divisor:11599418713 resto:8187113025divisor:11737507031 resto:8187113025divisor:11737507031 resto:10903299887divisor:12566036939 resto:10903299887divisor:12566036939 resto:6455827402divisor:13394566847 resto:6455827402divisor:13394566847 ……………………………….. ……………………………….. resto:20039859484divisor:31898401459 resto:20039859484divisor:31898401459 resto:10000814494divisor:33141196321 resto:10000814494divisor:33141196321 resto:597063356divisor:86167110433 resto:597063356divisor:86167110433 resto:28655921833divisor:87133728659 resto:28655921833divisor:87133728659 resto:40829126091divisor:87547993613 resto:40829126091divisor:87547993613 resto:0divisor:88238435203 “= 1278 *69044159+1” resto:0divisor:88238435203 “= 1278 *69044159+1” resto:48804053446divisor:89205053429 resto:48804053446divisor:89205053429 resto:52101456980divisor:90309759973 resto:52101456980divisor:90309759973

36 resto::83774188986divisor:91690643153 resto::80515798789divisor:92795349697 resto:64744895774divisor:94176232877 resto:93305352669divisor:102323443639 resto:51497557319divisor:103704326819 resto:42741273471divisor:104394768409 resto:23556243041divisor:104809033363 resto:29545827626divisor:104947121681 resto:36696895326divisor:105637563271 resto:60011889931divisor:105775651589 resto:40694965863divisor:110332566083 resto:66134010109divisor:111989625899 resto:103965718880divisor:114060950669 …….. resto:2713043447005divisor:3192049558889 resto:1663633669604divisor:3195225590203 resto:1723549838153divisor:3195639855157 resto:1772553329454divisor:3196054120111 resto:701747282078divisor:3201577652831 resto:1017559293999divisor:3203648977601 resto:0divisor:3204339419191 “= 69044159*46410+1” resto:1763143754713divisor:3205167949099 resto:1942801858607divisor:3208482068731 resto:2668856711016divisor:3209724863593

37 Hasta la fecha no he encontrado mas divisores, por lo que el número: p = p = [(10 69044159 -1)/9 ] / [ (69.044.159 · 1278+ 1) (69.044.159 · 46410 + 1) ]= 3929716137386357611856386674482145000247090700335829339885588844939371095768 93655768530061780276 ……… 109324659448919 y corresponde a 791701 evaluaciones. Es un candidato fuerte para ser un numero primo de 69 millones de dígitos aproximadamente. Y ha sido evaluado hasta el numero : 109324659448919 y corresponde a 791701 evaluaciones. Existe un premio para los records de números primos gigantes, pero este debería confirmarse y aún no hay tecnología tan avanzada, sólo la posibilidad de hacerlo en sistema Java y utilizar la red mundial para confirmarlo. Esto sería, muy interesante, ya que pudiese transformarse en una obsesión matemática sin precedentes, por lo que necesito ayuda………..

38 Gracias a todos ………………y nos vemos en el próximo Comca 2010