1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Sucesión convergente:

Presentación del tema: "1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Sucesión convergente:"— Transcripción de la presentación:

1 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Sucesión convergente: tiene un límite finito. Sucesión nula o infinitésimo: su límite es cero. El valor al que se acerca indefinidamente los términos de una sucesión se llama límite. lim a n = L n ∞ Una sucesión a n, tiene límite L si, cuando n tiende a infinito, la diferencia entre a n y L es cada vez menor. Es decir, cuando n ∞, |a n - L| 0. Una sucesión tiene límite +∞ cuando, para cualquier número real y positivo k, siempre existe un valor n 0 de n, a partir del cual los términos de la sucesión son mayores que k: lim a n = +∞ n ∞ Una sucesión tiene límite -∞ cuando, para cualquier número real y negativo k, siempre existe un valor n 0 de n, a partir del cual los términos de la sucesión son menores que k: lim a n = -∞ n ∞ Sucesión divergente: tiene límite +∞ o -∞.

2 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar OPERACIONES CON SUCESIONES Adición de sucesiones lim (x n + y n ) = lim x n + lim y n n ∞ Producto de sucesiones lim (x n · y n ) = lim x n · lim y n n ∞ Cociente de sucesiones siempre que y n no sea una sucesión nula. n ∞ Potencia de sucesiones lim (x n ) yn = (lim x n )l im yn Las sucesiones x n e y n pueden ser convergentes o divergentes. Podemos obtener las indeterminaciones ∞ 0, 0 0 y 1 ∞. n ∞

3 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar CÁLCULO DEL LÍMITE DE SUCESIONES Sucesiones que tienen término general como un polinomio en n siempre son divergentes. Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del término de mayor grado. Sucesiones que tienen término general como un cociente de polinomios son: divergentes: si el grado del numerador es mayor que el del denominador. o límite +∞ si los signos de los términos de mayor grado del numerador y del denominador coincide. o límite -∞ si los términos de mayor grado del numerador y del denominador tienen signos distintos. convergentes: o límite cero si el grado de numerador es menor que el del denominador. o limite L si el grado del numerador es igual al del denominador. L = coeficiente delté Ž rmino de mayor grado coeficiente del Ž rmino de mayor grado té Sucesiones con radicales del tipo,donde a n es un polinomio en n, siempre son divergentes. Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del término de mayor grado. Si k es par, el coeficiente del término de mayor grado no puede ser negativo. En una sucesión cuyo término general es la suma o diferencia de dos raíces, puede dar lugar a la indeterminación (+∞) + (-∞), que se resuelve comparando los grados de los términos de mayor grado y los índices de las raíces: si son iguales y tienen el mismo índice, el signo del infinito se determina por sus coeficientes. si, además, tienen el mismo coeficiente, se multiplica por el conjugado de la suma de raíces: lim a n +b n = m ( a n +b n ). a n - b n a n - b n

4 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar EL NÚMERO e n ∞ e = lim (1 + 1 n ) n

5 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES

6 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar CONTINUIDAD Propiedades de las funciones continuas Si f(x) y g(x) son continuas en a entonces: O (f + g)(x) es continua en a O (f · g)(x) es continua en a O ( )(x) es continua en a, si g(a) ≠ 0 Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a) entonces la composición (g ◦ f)(x) es continua en a. Una función f(x) es continua en a si: Existe f(a) Existe lim f(x) = f(a) n a Si no cumple alguna de las condiciones, f(x) es discontinua en a. Clasificación de discontinuidades Discontinuidad evitable se produce cuando: O Existe f(a) y lim f(x), pero f(a) ≠ lim f(x) O No existe f(a) y sí lim f(x) Discontinuidad de salto finito se produce cuando no existe lim f(x) porque los dos límites laterales son finitos, pero desiguales. Discontinuidad asintótica o de salto infinito se produce cuando uno o los dos límites laterales son infinito. En este caso, f(a) puede existir o no n a