Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 1 Enrique Castillo Universidad de Cantabria Un Algoritmo que Revoluciona la enseñanza del Álgebra. Aplicaciones.

Presentación del tema: "Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 1 Enrique Castillo Universidad de Cantabria Un Algoritmo que Revoluciona la enseñanza del Álgebra. Aplicaciones."— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 1 Enrique Castillo Universidad de Cantabria Un Algoritmo que Revoluciona la enseñanza del Álgebra. Aplicaciones a la Ingeniería por

2 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 2 El algoritmo de Jubete 1.Obtener el subespacio ortogonal a un subespacio dado y su complemento. 2.Calcular la inversa de una matriz. 3.Actualizar la inversa de una matriz tras cambiar una fila o columna. 4.Obtener el determinante de una matriz. 5.Actualizar el determinante de una matriz tras cambiar una fila o columna. 6.Determinar el rango de una matriz. 7.Determinar si un vector pertenece a un espacio vectorial. 8.Obtener el subespacio intersección de dos subespacios. 9.Resolver un sistema lineal homogéneo de ecuaciones. 10.Resolver un sistema lineal completo de ecuaciones. 11.Estudiar la compatibilidad de un sistema lineal de ecuaciones.

3 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 3 ALGORITMO DE ORTOGONALIZACION DE JUBETE

4 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 4 INVERSA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

5 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 5 INVERSAS SIMULTANEAS DE SUBMATRICES DE UNA MATRIZ

6 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 6 INVERSAS AL MODIFICAR FILAS DE UNA MATRIZ ACTUALIZACION DE INVERSAS

7 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 7 INVERSAS AL MODIFICAR FILAS DE UNA MATRIZ ACTUALIZACION DE INVERSAS

8 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 8 Subespacios Ortogonales y Complementos

9 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 9 Subespacios Ortogonales y Complementos

10 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 10 RANGO DE UNA MATRIZ Además da los coeficientes de la combinación lineal

11 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 11 PERTENENCIA A UN ESPACIO VECTORIAL

12 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 12 INTERSECCION DE DOS SUBESPACIOS

13 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 13 RESOLUCION DE UN SISTEMA HOMOGENEO

14 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 14 RESOLUCION DE UN SISTEMA HOMOGENEO (EJEMPLO)

15 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 15 RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO

16 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 16 RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO

17 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 17 RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO

18 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 18 COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA

19 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 19 COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA (EJEMPLO)

20 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 20 Conexión modelo-realidad Las matemáticas son herramienta fundamental en Ciencia e Ingeniería.

21 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 21 Conexión modelo-realidad El alumno debe conocer la relación entre los elementos ingenieriles y los matemáticos. El alumno debe saber cómo actualizar soluciones.

22 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 22 Conexión modelo-realidad El alumno debe saber cuando un elemento es redundante tanto desde el punto de vista ingenieril como matemático y de sus implicaciones en la seguridad del servicio y los grados de libertad de la solución general.

23 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 23 Conexión modelo-realidad El alumno debe relacionar la topología de una red con el número de incógnitas y ecuaciones matemáticas que la definen. El alumno debe saber plantear el problema de formas diferentes.

24 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 24 Conexión modelo-realidad El alumno debe saber plantear problemas con desigualdades. El alumno debe saber plantear hipótesis alternativas.

25 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 25 El Problema del abastecimiento de agua El alumno debe identificar las incógnitas del problema. El alumno debe identificar las ecuaciones del problema.

26 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 26 El Problema del abastecimiento de agua Número de ecuaciones. Número de incógnitas. Numeración de los nodos. Restricciones. ¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las incógnitas?

27 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 27 Planteamiento del problema El alumno debe saber plantear el problema en forma de ecuaciones matemáticas y especialmente en forma matricial.

28 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 28 Planteamiento del problema El alumno debe saber numerar los nodos y diferenciar entre una numeración correcta y una que no lo es.

29 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 29 Análisis de la Solución ¿Tiene solución? ¿Es única la solución?

30 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 30 CONDICION DE COMPATIBILIDAD Caudal que entra = caudal que sale :

31 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 31 CONDICION DE COMPATIBILIDAD

32 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 32 CONJUNTO DE SOLUCIONES (sin límites de capacidad) El alumno debe saber obtener todas las soluciones posibles. Hay infinitas soluciones. (Espacio afín asociado a un espacio vectorial de dimensión 4).

33 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 33 Interpretación de las soluciones Solución particular. Se puede cambiar por cualquier otra.

34 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 34 Interpretación de las soluciones Solución de flujo interno local sin entradas ni salidas de fluído.

35 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 35 Interpretación de las soluciones Solución de flujo interno local sin entradas ni salidas de fluído.

36 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 36 Interpretación de las soluciones Solución de flujo interno local sin entradas ni salidas de fluído.

37 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 37 Interpretación de las soluciones Solución de flujo interno local sin entradas ni salidas de fluído.

38 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 38 Planteamiento del problema El alumno deberá identificar modelos no adecuados e identificar las restricciones que faltan.

39 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 39 Conos

40 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 40 Espacio vectorial como cono

41 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 41 Cono y dual de un cono

42 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 42 Dual de un cono. Algoritmo Gamma

43 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 43 Dual de un cono. Algoritmo Gamma

44 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 44 Algunos problemas que resuelve el algoritmo Gamma 1.Obtener el cono dual de uno dado 2.Obtener la representación mínima de un cono. 3.Obtener las caras de cualquier dimensión (vértices, aristas, caras, etc.) de un cono o polítopo. 4.Determinar si un vector pertenece a un cono. 5.Comprobar si dos conos son idénticos. 6.Obtener la intersección de dos conos. 7.Obtener la imagen recíproca de un cono por una aplicación lineal. 8.Decidir si un sistema lineal de inecuaciones es compatible. 9.Resolver un sistema lineal homogéneo de inecuaciones. 10.Resolver un sistema lineal completo de inecuaciones.

45 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 45 Cono asociado a un polítopo

46 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 46 Caras y vértices de un polítopo

47 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 47 Caras y vértices de un politopo

48 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 48 Caras y vértices de un polítopo

49 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 49 Caras y vértices de un polítopo

50 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 50 Caras y vértices de un polítopo

51 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 51 Resolución de Sistemas homogéneos de inecuaciones

52 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 52 Resolución de Sistemas completos de inecuaciones

53 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 53 Resolución de Sistemas completos de inecuaciones

54 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 54 Compatibilidad de Sistemas de inecuaciones

55 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 55 Planteamiento del problema El alumno deberá identificar modelos no adecuados e identificar las restricciones que faltan.

56 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 56 Condiciones de compatibilidad Es necesario Interpretarlas físicamente para ver si representan el modelo deseado.

57 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 57 Condiciones de compatibilidad

58 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 58 CONJUNTO DE SOLUCIONES (con límites de capacidad) Capacidad de cada conducción = 6 El conjunto de todas las soluciones sirve para contestar a muchas preguntas interesantes desde los puntos de vista matemático e ingenieril. La solución es un polítopo

59 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 59 CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones sobredimensionadas) Capacidad de cada conducción = 6 En ninguna de las componentes de la solución alcanzan su capacidad. Podría limitarse la capacidad de cada una de ellas al máximo que figura en las distintas soluciones.

60 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 60 CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones que no pueden fallar) Capacidad de cada conducción = 6 Toman valores del mismo signo (todos positivos o todos negativos) en todas las soluciones.

61 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 61 CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de parejas que no pueden fallar simultáneamente) Capacidad de cada conducción = 6 Esta condición implica que todas las landas deben ser nulas.

62 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 62 CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones con caudal fijo) Capacidad de cada conducción = 6 Toman idénticos valores en todas las aristas.

63 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 63 CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducción 10 averiada) Capacidad de cada conducción = 6 Para que la conducción 10 no lleve caudal deben ser las cuatro primeras landas nulas.

64 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 64 CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducción 10 averiada) La conducción 7 puede fallar pues tiene componentes positivas y negativas. ¿Puede fallar la conducción 7?

65 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 65 CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducciones 7 y 10 averiadas) La conducción 4 puede fallar si landa 2 es nula. ¿Puede fallar la conducción 4?

66 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 66 CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducciones 4,7 y 10 averiadas) ¿Puede fallar alguna otra conducción? Ninguna puede fallar, pues la solución es única (mala ingenierilmente, pues no queda flexibilidad alguna).

67 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 67 VALVULAS DE RETENCION EN LAS CONDUCCIONES 2 Y 15 Es la suma de un espacio afin de dimensión 2 y un cono generado por dos vectores.

68 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 68 EJEMPLO DE EVALUACION (1)

69 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 69 EJEMPLO DE EVALUACION (2)

70 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 70 EJEMPLO DE EVALUACION (3)

71 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 71 EJEMPLO DE EVALUACION (4)

72 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 72 BIBLIOGRAFIA

73 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 73 INTERNET Con la colaboración de Elena Alvarez Sáiz se ha implementado el algoritmo de ortogonalización en una aplicación de enseñanza asistida por computador, accesible a través de Internet: http://personales.unican.es/alvareze/

74 Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 74 TALLER 1.Diseñar un sistema de abastecimiento de agua con dos depósitos y varios nudos de servicio que contenga un sistema redundante de tuberías. 2.Determinar la dimensión del espacio vectorial que aparece en la solución general del sistema de ecuaciones resultante. 3.Obtener la solución general de éste sistema manualmente. 4.Plantear un problema de programación matemática que conduzca a solución única del problema.