Control Digital /Avanzado Señales Analógicas/Discretas

Presentación del tema: "Control Digital /Avanzado Señales Analógicas/Discretas"— Transcripción de la presentación:

1 Control Digital /Avanzado Señales Analógicas/Discretas
M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez

2 Control Digital La figura muestra el sistema continuo realimentado
Casi la totalidad de los controladores continuos pueden implementarse usando electrónica analógica.                                                                                                                         

3 El controlador analógico, (cuadro punteado) puede reemplazarse por un controlador digital, el cual hace la misma tarea de control que el controlador analógico. La diferencia básica entre estos controladores es que el sistema digital opera con señales discretas (o muestras de la señal sensada) en lugar de señales continuas.                                                                                                                                                                         

4 Los diferentes tipos de señales en el esquema digital pueden representarse por las figuras siguientes                                                                                                                         

5 En el esquema vemos que el sistema de control digital contiene partes discretas y analógicas.
Cuando se diseña un sistema de control digital, necesitamos hallar el equivalente discreto de la parte contínua de modo que sólo necesitamos manejar funciones discretas. Consideremos la siguiente parte del sistema de control digital y reordenemos como sigue:                                                                                                                                                                         

6 El reloj conectado a los conversores D/A y A/D suministra un pulso cada T segundos y cada D/A y A/D envía una señal sólo cuando llega el pulso. El propósito de tener este pulso es que Hzoh(z) tiene sólo muestras u(k) para procesar y produce sólo muestras como salida y(k); por lo tanto, Hzoh(z) puede ser implementado como función discreta.

7 La filosofía del diseño es la siguiente: Queremos hallar una función discreta Hzoh(z) de modo que para una entrada constante tratamos al sistema contínuo H(s), la salida muestreada del sistema contínuo sea igual a la salida discreta.

8 La señal mantenida uhat(t) pasa por H2(s) y el A/D para producir la salida y(k) que será la misma señal a tramos como si fluyera u(t) continua a través de H(s) para producir la salida continua y(t).                                                                                                                                                       

9 Dibujemos ahora el esquema, poniendo Hzoh(z) en lugar de la parte continua.
                                                                                                                                        Mediante Hzoh(z), podemos diseñar sistemas de control digital tratando solamente con funciones discretas.

10 Señales Las señales transmiten la información de control
En cualquier instante una señal es igual a su amplitud instantánea. El tiempo puede asumirse contínuo t o valores discretos nts, donde ts es el intervalo de muestreo Esto resulta en cuatro tipos posibles de señales

11 t x(t) Señal analógica n x[n] Señal muestrada xQ(t) Señal cuantizada xQ[n] Señal digital

12 Procesamiento de señales
Las señales analógicas han sido tema de mucho estudio en el pasado. En décadas recientes, las señales digitales han recibido una atención cada vez más amplia porque pueden procesarse por medio de las computadoras Señal analógica Señal analógica Procesador de señal analógica

13 Procesamiento digital de señales analógicas
Señal analógica Procesador de señales digitales ADC DAC Señal digital

14 Muestreo Para procesar una señal analógica por medios digitales debemos muestrearla en intervalos uniformes ts Luego debemos cuantizar los valores de la muestra Tanto el muestreo como la cuantización pueden conducir a una perdida de la señal

15 Teorema de muestreo Una señal se puede muestrear sin pérdida de información si es de banda limitada o a una frecuencia mayor que dos veces la frecuencia más alta de la señal Como la mayoría de las señales no son limitadas en banda es común pasar la señal por un filtro pasa-bajas antes del muestreo

16 Señales analógicas Las señales discretas son de lado izquierdo, lado derecho, causales o de tiempo limitado: t  Lado izquierdo Lado derecho Causal n Tiempo limitado 

17 Las señales periódicas se repiten indefinidamente
xp(t)=xp(t  nT) para n entero

18 Energía Se calcula como sigue: Energía de la señal para tres pulsos t
b Pulso rectangular E=A2 b A Pulso senoidal E=A2 b/2 Pulso triangular E=A2 b/3

19 Potencia Se calcula como sigue:
Potencia de señales armónicas (senoides y exponenciales complejas)

20 Señales de energía Una señal con energía finita se denomina una señal de energía. Tienen potencia cero porque promediamos energía finita sobre todo el tiempo. Ej: exponenciales decrecientes y senoides amortiguadas

21 Señales de potencia Una señal con potencia finita se denomina una señal de potencia. Poseen potencia promedio finita y energía infinita. Ej: señales periódicas Encuentre la energía de las siguientes señales: 4 x(t)y(t) t 1 6 x(t) + y(t) 2 t 4 1 6 x(t) 2 t y(t) 2 t 1 4

22 Operaciones sobre señales
Tiempo de retraso x(t)  x(t-), >0 Compresión x(t)  x(t), ||>1 Escalamiento x(t)  x(t), comprime x(t) por || y la refleja si <0

23 Ejemplo: Sea x(t)=1.5t, 0 t 2. Grafique:
x(t), f(t)= 1 + x(t-1), g(t)=x(1-t), h(t)=x(0.5t + 0.5), w(t)=x(-2t + 2) 2 x(t) 3 t 1 + x(t-1) 4 1 x(1-t) -1 x(0.5t + 0.5) x(-2t + 2)

24 Simetría de señales Simetría par: xe(t) = xe(-t)
Simetría impar: xo(t) = -xo(-t) Encuentre las partes par e impar de las señales x(t) e y(t) -  x(t) 4 -1 2 t y(t) 1

25 0.5x(t) 2 -1 0.5x(-t) 2 1 -2 t t 4 -1 2 xe(t) 1 -2 2 -2 xo(t) -1 1 2

26 Señales armónicas y senoides
Se describen así: xp(t)=Acos(2f0t + ) x(t)=Aej(2f0t + ) donde f0=1/T 0=2/T=2f0 ¿Cuándo es periódica una suma de señales armónicas? Cuando la razón de cada par de frecuencias es una fracción racional. La frecuencia fundamental f0 es el GCD de las frecuencias individuales

27 Considere la señal x(t)=2sen(2t/3) + 4cos(t/2) + 4cos(t/3 -/5)
Los períodos individuales son 3, 4 y 6 El período común es LCM(3, 4 y 6)=12 Las frecuencias individuales son 2/3, 1/2, 1/3 La frec fundamental es GCD(2/3, 1/2, 1/3)=1/6 La potencia de la señal es 0.5( )=36W

28 Señales comunes Escalón Rampa Señales de pulso La función senc
La función impulso

29 Señales comunes

30 Señales discretas: aplicaciones

31 Ventajas Facilidad de implementación de sistemas (amplificador analógico-amplificador digital) Inmunidad a problemas físicos de los componentes (derivas térmicas y valores “exactos”) Facilidad de cambio de los sistemas (cambio en las especificaciones de un filtro) Mayor facilidad y precisión en el almacenamiento y recuperación de las señales. Única forma de realizar algoritmos de procesado (algoritmos MPEG, MP3, vocoders, etc)

32 Dificultades El Teorema de muestreo es una losa......problemas para grandes frecuencias de muestreo (vídeo) que se traduce en problemas de diseño hardware.....problemas en los convertidores A/D, problemas de ruido Al realizar la conversión A/D y D/A aparecen errores y se tiene una pérdida de parte de información de la señal continúa original

33 Señales discretas Una señal muestreada o discreta x[n] es una sucesión ordenada de valores correspondientes al índice entero n que nos da la historia del tiempo de la señal Ejemplo: x[n]={1,2,4’,8,…} el marcador ’ indica el origen n=0

34 Las señales discretas son de lado izquierdo, lado derecho, causales o anticausales:
… N n Lado derecho … n Causal … n Anticausal …

35 Señales periódicas Una señal periódica se repite cada N muestras:
x[n]=x[n±kN], k=0,1,2,3,… El período N es el número más pequeño de muestras que se repite y se mide como el número de muestras por período n …

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37 Medidas de señales Energía: Potencia, si es periódica con período N

38 Encuentre la energía en la señal x[n]=3(0.5)n

39 Encuentre la potencia de la señal periódica x[n]=6cos(2n/4) cuyo período es N=4.
Un período de esta señal es x[n]={6’,0,-6,0}

40 Encuentre la potencia de la señal periódica x[n]=6ej2 n/4 cuyo período es N=4.
Esta señal es una señal compleja, con |x[n]|=6

41 Operaciones sobre señales
El retraso de tiempo significa que x[n]x[n-M], M>0 La reflexión significa que x[n]x[-n] Ejemplo: Sea x[n]={2,3,4’,5,6,7} Encuentre x[n-3], x[n+2], x[-n], x[-n+1], x[-n-2]

42 -2 n 3 x[n] 2 7 6 x[n-3] -4 1 x[n+2] -3 x[-n] x[-n+1] -5 x[-n-2]

43 Simetría Simetría par: xe[n] = xe[-n] Simetría impar: xo[n] = -xo[-n]
Sea x[n] = {4, -2, 4’, -6}. Encuentre sus partes par e impar

44 Rellenando con cero hasta que cubra límites simétricos, x[n]={4, -2, 4’, -6, 0}
Ahora 0.5x[n]={2, -1, 2’, -3, 0} y 0.5x[-n]={0, -3, 2’, -1, 2} Sumando xe[n]=0.5x[n] + 0.5x[-n] = {2, -4, 4’, -4, 2} y Restando xo[n]=0.5x[n] - 0.5x[-n] = {2, 2, 0’, -2, -2}

45 Señales discretas comunes
El impulso El escalón La rampa

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47 Propiedades del impulso:
El producto de una señal x[n] con el impulso [n-k] produce x[n] [n-k] = x[k] [n-k] que es un impulso de intensidad x[k] Esto conduce a la propiedad de filtrado El impulso extrae el valor x[k] de x[n] en la posición del impulso n=k

48 Señales mediante impulsos
Cualquier señal discreta x[n] se puede representar como una suma de impulsos desplazados [n-k] cuyas intensidades [k] corresponden a la señal

49 La función senc discreta

50 Exponenciales discretas
Se describen empleando una base racional: x[n]=2nu[n] crec. exponencial x[n]=(0.5)nu[n] dec. exponencial La exponencial x[n]=nu[n], donde =rej es complejo, puede reescribirse como: x[n]=nu[n]=(rej)nu[n]=rn[cos(n)+jsen(n)]u[n] Esta señal requiere dos gráficas independientes

51 Armónicas y senoides Si muestreamos una senoide analógica x(t)=cos(2f0t) a intervalos ts que corresponden a una velocidad de muestreo de S=1/ts, obtenemos la senoide muestreada: x[n]= cos(2fnts + )= cos(2nf/S + )= cos(2F + ) Las cantidades f y =2f describen frecuencias analógicas. F=f/S es la frecuencia digital (ciclos/muestra). La frecuencia =2F es la frecuencia en radianes digital (radianes/muestra)

52 Una armónica DT cos(2nF0 + ) o ej(2nF0 + ) no siempre es periódica en el tiempo

53 Es periódica sólo si su frecuencia digital F0=k/N puede expresarse como una razón de enteros
Su período es igual a N si los factores comunes se han cancelado en k/N Un período de la senoide muestreada se obtiene de k períodos completos de la senoide analógica

54 ¿x[n]=cos(2nF) es periódica si F=0. 32. Si F=3
¿x[n]=cos(2nF) es periódica si F=0.32? Si F=3? Si es periódica, ¿cuál es el período N? Si F=0.32, x[n] es periódica debido a que F=32/100=8/25=k/N. El período es N=25 Si F= 3, x[n] no es periódica porque F es irracional

55 ¿Cuál es el período de la señal armónica x[n]=ej0.2n + e-j0.3n?
Las frecuencias digitales son F1=0.1=1/10=K1/N1 y F2=0.15=3/20=K2/N2 Sus períodos son N1=10 y N2=20 El período común es N=LCM (N1, N2) = LCM (10, 20)=20

56 Una armónica DT cos(2F0 + ) o ej(2F0 + ) siempre es periódica en la frecuencia, si empezamos con x[n]=cos(2nF + ) y le sumamos un entero m cos[2n(F+m) + ]=cos(2nF+  +2nm)=x[n] Una senoide DT es periódica en la frecuencia, tiene un espectro periódico

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58 Alias y el teorema del muestreo
Teorema De Muestreo De Nyquist. Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica xa(t) es Fmax = B y la señal se muestrea a una velocidad Fs > 2 * Fmax = 2B, entonces xa(t) se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras

59 Importante: SEPARACIÓN ENTRE ESPECTROS....LA CLAVE DEL ALIASING ESTÁ AHÍ!!!!

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65 Algunos comentarios A la hora de muestrear una señal SIEMPRE hay que poner un filtro antialiasing ya que se puede conocer a la perfección el contenido espectral de la señal a muestrear pero no se conoce nada de las posibles interferencias (ruido). Por ejemplo una señal de 40 KHz no es audible, pero al muestrear a 44 KHz (muestreo en un CD) aparece una componente “alias” de 4 KHz que sí lo es En el proceso de conversión A/D se modifica la señal original de forma IRREVERSIBLE, téngase en cuenta el proceso de cuantización, por lo que siempre habrá una pérdida de información en ese proceso Al final del proceso de conversión D/A se suele poner un filtro conocido como filtro de reconstrucción que se encarga de “suavizar” la señal obtenida con los diferentes mantenedores

66 Tarea C. Digital Para la señal x(t) grafique lo siguiente: x(-t)
su parte par su parte impar -2 2 x(t)

67 Para cada señal periódica encuentre la energía E en un período y su potencia P
5 2 x(t) 1 -5 2 -2 4 x(t) 5

68 Emplee Matlab para graficar cada señal sobre el intervalo 0  t  3, empleando un intervalo de 0.01 s. Si es periódica, determine el período y la potencia x(t)=sen(2t) y(t)=ex(t) z(t)= ejx(t) Use la rutina operate del ADSP para graficar: y(t)=x(2t-1), x(t)=2u(t+1) - r(t+1) + r(t-1)

69 Tarea C.Digital Avanzado
Dibuje cada señal y encuentre su energía a) x[n]={-3, -2, -1’, 0, 1} b) x[n]=8(0.5)nu[n] Sea x[n]={6, 4, 2, 2}. Dibuje las siguientes señales y encuentre su energía a) x[n-2] b) x[-n+2] c) x[-n-2]

70 Dibuje cada señal y sus partes par e impar
a) x[n] = u[n]-u[n-4] b) x[n] = tri[(n-3)/3] c) x[n] = {6, 4’, 2, 2}

71 La señal x(t)=2cos(40t) + sen(60t) se muestrea a 75Hz
La señal x(t)=2cos(40t) + sen(60t) se muestrea a 75Hz. ¿Cuál es el período de la señal muestrada x[n] y cuántos perídos completos de x(t) se toman para obtener un período de x[n]?

72 Grafique cada señal x[n] sobre -10 n  10
Grafique cada señal x[n] sobre -10 n  10. Luego, empleando la rutina operate del ADSP, grafique cada señal y[n] y compare con la original x[n]=u[n+4] – u[n-4] + 2[n+6] – [n-3] y[n]=x[-n-4] x[n]=r[n+6] – r[n+3] – r[n-3] + r[n-6] y[n]=x[n-4] x[n]=rect(n/10) – rect((n-3)/6) y[n]=x[n+4] x[n]=6tri(n/6) – 3tri(n/3) y[n]=x[-n+4]