Búsqueda heurística.

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1 Búsqueda heurística

2 Búsqueda “mejor el primero”
Las estrategias de búsqueda sin información suelen ser muy ineficientes. Búsqueda “mejor el primero” Función de evaluación (eval-fn): Mide “lo deseable” de expandir un nodo Algoritmo: function BEST-FIRST-SEARCH(problem, eval-fn) returns a solution sequence inputs: problem, a problem eval-fn, an evaluation function queueing-fn <-- a function that orders by increasing eval-fn return GENERAL-SEARCH(problem, queueing-fn)

3 Búsqueda avara, I Es una búsqueda “mejor el primero” con eval-fn(nodo)=h(nodo). Función heurística (h) Origen: exclamación de Arquímedes, “heureka”, tras el descubrimiento de su principio Algoritmo: function GREEDY-SEARCH(problem) returns a solution or failure return BEST-FIRST-SEARCH(problem, h) h(nodo)=coste estimado del camino más corto desde un nodo hasta el objetivo. Todas las funciones heurísticas deben cumplir al menos: h(n)>=0, para todo nodo n h(n)=0, si “n” es un nodo objetivo

4 Búsqueda avara, II Ejemplo: Mapa de carreteras
Viajar desde Arad hasta Bucarest Solución obtenida por búsqueda avara: Nodos expandidos Encuentra el camino “Arad, Sibiu, Fagaras, Bucharest”, No es óptima: Es más corto “Arad, Sibiu, Rimnicu, Pitesti, Bucharest” La búsqueda avara suele encontrar soluciones rápidamente No suelen ser óptimas No siempre se encuentran (ciclos) Ej. de situación anómala: Ir de Iasi a Fagaras. Si no eliminamos repeticiones se entra en un ciclo. V I N I

5 Búsqueda avara, IV En resumen: No es óptimo ni completo.
En el peor caso: Complejidad temporal: Complejidad espacial: Se almacenan todos los nodos en memoria m=máxima profundidad del árbol de búsqueda

6 Algoritmo A*, I Algoritmo A*, combinación de:
Búsqueda avara: Reduce coste de búsqueda, pero no es óptima ni completa. Búsqueda de coste uniforme: Es completa y óptima pero ineficiente. Se define la función “f(n)”: f(n)=g(n)+h(n) f(n)=coste estimado de la solución de menor coste que pasa por “n” Algoritmo: function A*-SEARCH (problem) returns a solution or failure return BEST-FIRST-SEARCH(problem, g+h)

7 Algoritmo A*, II Heurística admisible: Ejemplo:
Una función heurística “h” es admisible si en donde h*(n)=“mínima distancia desde n hasta el objetivo” Ejemplo: En el mapa de carreteras, h es admisible. Solución obtenida por A*: Orden de expansión: “A, S, R, P, F, B” Encuentra la solución: “A, S, R, P, B” Aplicación algoritmo (ver siguiente página) Es la mejor solución. Se va a tener el resultado: Si h es admisible, A* es completo y óptimo.

8 Algoritmo A*, III 1 A T S Z 2 5 3 O R A F S S B C 4 P 6 B R C

9 Algoritmo A*, IV Una heurística es monótona cuando:
Si h es monótona h admisible. Dems: Sea n un nodo, y sea un camino desde n hasta el objetivo: donde y es un nodo objetivo. Por tanto n m

10 Algoritmo A*, V h admisible monótona Si h es una heurística
Dems: Contraejemplo Si h es una heurística h monótona f creciente En el problema del mapa, h es monótona (“d” es la distancia en línea recta; “C” es el coste del arco) y f es creciente (ver gráfico del ejemplo) A B C D 3 1 h=1 h=0 h=4 C(n,m) n m h(n) h(m)

11 Propiedades de A*, I A* es óptimo y completo si h es admisible
Grafos localmente finitos con factores de ramificación finitos donde para todo operador: Demostración (intuitiva): Para el caso más sencillo de heurísticas monótonas: En el ejemplo del mapa de carreteras se tienen conjuntos de nivel: En la búsqueda uniforme se tienen bandas circulares, mientras que si la heurística es más exacta (h --> h*), las bandas se dirigen más directamente al objetivo.

12 Propiedades de A*, II A* es óptimo Hipótesis (1) h es admisible
(2) G es óptimo con coste de camino f* (3) G’ es objetivo subóptimo Dems: Sea n un estado en el camino óptimo a G y supongamos que el algoritmo selecciona para expandir G’ en lugar de G, entonces por (1) y (2) Y si se ha escogido G’ para expandir Por tanto Es decir que es una contradicción con (3). cqd.

13 Propiedades de A*, III A* es completo Hipótesis:
(1) heurísticas monótonas, (2) factor de ramificación b, (3) coste de operadores, Dems: En algún momento se llegará a que f=“coste de algún estado objetivo”, salvo que existan infinitos nodos con f(n)<f*, lo cual sucedería si: Un nodo tuviera (¡!) Hubiera un camino de coste finito pero con infinitos nodos. Esto significaría que, por (1) y (3) Por tanto, el algoritmo debe acabar.Y si acaba, es que encuentra una solución. cqd.

14 Propiedades de A*, IV Si h es monótona, y A* ha expandido un nodo n, entonces g(n)=g*(n) Es consecuencia directa de que: Un subgrafo de una heurística monótona da lugar a una heurística monótona (que es, por tanto, admisible), considerando la nueva heurística h’=h-g(n) h admisible --> A* completo y óptimo A* es óptimamente eficiente Ningún otro algoritmo óptimo expandirá menos nodos que A* Si un algoritmo no expande todos los nodos entre el origen y el contorno óptimo, corre el riesgo de perder la solución óptima. Dems: ver Dechter – Pearl (1985) La búsqueda de coste uniforme es un caso particular de A* (h=0)

15 “profundidad” de la mejor solución
Propiedades de A*, V Complejidad (espacial y temporal): Se puede demostrar que la complejidad del algoritmo sigue siendo exponencial si no ocurre que: En casi todas las heurísticas, el error es al menos proporcional a h* y, por tanto, normalmente se tiene complejidad exponencial. De todos modos, el uso de heurísticas produce enormes mejoras con respecto a la búsqueda no informada. La complejidad espacial suele ser un mayor problema que la temporal. “profundidad” de la mejor solución

16 Un ejemplo de A*, I h=6 A 4 1 2 h=5 h=2 B h=5 D C 4 5 1 4 2 h=4 1 h=5
F E h=2 I 3 2 1 h=1 3 h=4 J G H h=1 5 6 6 h=0 K L h=0

17 Un ejemplo de A*, II B C D f=6 f=7 1 A I J H f=6 f=10 f=7 3 F E f=11
2 E f=7 6 K L f=10 f=11 4 G H f=10 f=9 7 f=9 G H f=11 9 5 11 f=14 K L f=13 10 K f=11 8

18 Un ejemplo de A*, III Si hubiéramos considerado eliminación de estados repetidos, entonces: Habríamos eliminado (B-->E), (E-->H) y (G->K) Al ser h monótona: A* obtiene la mejor solución Al eliminar estados repetidos, ya que: Si h es monótona, entonces si un nodo ha sido expandido --> g(n)=g*(n) entonces, bastaría con: 1) Si está repetido en los nodos ya expandidos, eliminar directamente el “nodo nuevo” 2) Si está repetido en las hojas, quedarse con el mejor entre el nodo “viejo” y el “nuevo”

19 Un ejemplo de A*, IV Si eliminamos estados repetidos, en el caso de una h admisible pero no monótona, podemos eliminar un nodo peor ya expandido: h=1 A 1 3 h=1 h=4 C B 1 3 f=1 1 D h=0 A f=5 3 2 f=4 C B Se eliminaría 4 f=3 B D 5 f=6 f=5 D

20 Problema del 8-puzle En el problema del 8-puzle:
Una solución típica tiene unos 20 pasos Factor de ramificación (b): Por tanto: Si se lleva la cuenta de estados repetidos, el número de estados es 9!= Funciones heurísticas: h1=número de fichas mal colocadas h2=suma de distancias de Manhattan de las fichas a sus posiciones objetivo Son heurísticas monótonas

21 Exactitud de heurísticas, I
Factor efectivo de ramificación (b*): N=número de nodos expandidos por A* (incluido el nodo de la mejor solución) d=profundidad de la solución obtenida por A* b*=factor de ramificación de un árbol de profundidad d y N nodos. Resolución no algebraica, sino con métodos de cálculo numérico. Ejemplo: d=5, N= > b*=1.91 Normalmente, para una heurística h, b*=constante en varias instancias del problema.

22 Exactitud de heurísticas, II
Si h-->h*, entonces b*-->1. Si h-->0 (búsqueda de coste uniforme), entonces b*--> b (b = cantidad operadores) Ejemplo (heurísticas h1 y h2 en el problema del 8-puzle): Si una heurística h2 domina a otra h1 (h2>=h1; suponemos h1 y h2 monótonas), entonces h1 expande al menos los mismos nodos que h2. Idea intuitiva: Si f(n)<f*, entonces n se expande. Pero esto es equivalente a h(n)<f*-g(n). Por tanto, si ese nodo es expandido por h2, también lo es por h1

23 Creación de funciones heurísticas
Método de relajación: Problema inicial: Si A es adyacente a B y B es blanco, entonces mueve ficha desde A hasta B Relajando las condiciones, se obtienen nuevos problemas: 1) Si A es adyacente a B, entonces mueve ficha desde A hasta B 2) Si B es blanco, entonces mueve ficha desde A hasta B 3) mueve ficha desde A hasta B Entonces: “h* para el problema 2)” = heurística h1 “h* para el problema 1)” = heurística h2 Otro método: h1, h2, ...hn admisibles --> max{h1, h2, ...hn} también es admisible

24 Algoritmo IDA*, I Iterative-Deepening A*-search (h monótona).
s=nodo inicial Se definen: y para k>=1: El algoritmo realiza búsqueda en profundidad para los valores L=0,1,2,... en los conjuntos:

25 Se producen 4 iteraciones: f<=0, f<=1, f<=3, f<=4
Algoritmo IDA*, II Un ejemplo sencillo (h=0): A 1 1 3 3 B C D E 4 2 2 2 4 3 3 1 F G H I J K L M Se producen 4 iteraciones: f<=0, f<=1, f<=3, f<=4

26 Ejemplo de aplicación de IDA*, iteración f<=6
Algoritmo IDA*, III, a f=6 A 1 2 3 f=6 B C D f=7 f=6 4 f=6 E J F H I f=9 f=7 f=11 f=10 L K f=11 f=10 Ejemplo de aplicación de IDA*, iteración f<=6

27 Algoritmo IDA*, III, b f=6 A 1 2 5 f=6 B C f=7 D f=6 3 6 f=7 E F E H I
J 4 f=9 f=10 f=11 f=6 f=7 L K G H f=11 f=10 f=10 f=9 Ejemplo de aplicación de A*, iteración f<=7 Faltarían otras dos iteraciones: f<=9, f<=10

28 “profundidad” de la mejor solución
Algoritmo IDA*, IV IDA* es completo y óptimo, pero al ser iterativo en profundidad, necesita menos memoria. Complejidad espacial: Complejidad temporal: En problemas como el mapa de carreteras, cada iteración puede añadir sólo un nodo nuevo. Por tanto, si A* expande N nodos, IDA* necesitará N iteraciones y expandirá N= Una solución a este problema podría ser discretizar los posibles valores de (múltiplos de ). Se tendrían heurísticas -admisibles. En tal caso, el número de iteraciones sería: “profundidad” de la mejor solución

29 Algoritmos de mejora iterativa, I
Ejemplo de las N damas: Partiendo de N damas en el tablero, moverlas hasta encontrar una solución. Uso de funciones de evaluación (una heurística h es un ejemplo). Búsqueda de máximos-mínimos. Búsqueda con escalada: Si se puede elegir más de un sucesor que mejore el inicial (con el mismo valor de la función de evaluación), se elige al azar. Inconvenientes: Máximos locales Zonas llanas Crestas

30 Algoritmos de mejora iterativa, II
Enfriamiento simulado: Simulated annealing Annealing: “Proceso de enfriar lentamente un líquido hasta que se congela”. “Si la temperatura se reduce suficientemente lentamente en un líquido, el material obtendrá su estado de más baja energía (ordenación perfecta)”. Algoritmo: En problemas de satisfacción de restricciones como el de las N-damas: Resolución de problema de de damas en menos de 50 pasos. Minimización de conflictos (en una columna al azar mover una dama a la casilla que cree menos conflictos) Aplicados también a programación de observaciones en el telescopio Hubble.