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Relajación y Procesamiento híbrido de restricciones Diferentes técnicas de relajación Algunas técnicas híbridas populares
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Relajación Consistencia de nodo Forward check Lookahead check AC1AC3Path-consistency
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3 Ejemplo 4 familias A, B, C y D viven unas junto a otras en casas numeradas 1, 2, 3 y 4. D vive en una casa con número más bajo que B, B vive al lado de A en una casa con número mayor, Hay al menos una casa entre B y C, D no vive en la casa con número 2, C no vive en la casa con número 4. ¿Cuál familia vive en cuál casa ? El enigma de las 4 casas:
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4 Representación: Las variables: A, B, C y D Los dominios: d A = d B = d C = d D = { 1, 2, 3, 4} Restricciones: unaria: r(C) = C 4 r(D) = D 2 binaria: r(A,B) = B = A + 1 r(B,D) = D B r(B,C) = |B - C| 1 r(A,C) = A C r(A,D) = A D r(C,D) = C D
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5 Consistencia de nodos: Las restricciones unarias son eliminadas por reducción del dominio: O: consistencia-1 (solo 1 variable involucrada) r(C) = C 4 r(D) = D 2 d C = { 1, 2, 3} d D = { 1, 3, 4}
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6 Red de restricciones: AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4}
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Relajación débil Forward Check Lookahead Check
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8 Forward Check: Asuma que fijamos el valor de 1 variable zi: zi = a Forward Check(zi) = activar cada restricción r(zi, zj) o r(zj, zi) una vez para remover los valores inconsistentes con zi = a AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D {2} { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} Nuestro ejemplo: asumir A = 2 :
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9 Forward check: consistencia débil Requiere que 1 variable ya haya obtenido un valor sugiere el uso en combinación con backtracking AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D {2} { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} No produce un estado consistente no se realiza toda la relajación
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Look ahead check Método de relajación más fuerte (débil)
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11 Look ahead Check: Look Ahead Check = activar cada restricción r(zi, zj) exactamente una vez para remover los valores inconsistentes de los dominios Di y Dj. Nuestro ejemplo: AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}
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12 Ejemplo (continuac.): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3} Las otras 3 restricciones:
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13 Look ahead: resultados finales: AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3} Aun no produce un estado consistente no se realiza toda la relajación El resultado puede depender del orden en el cual se procesan las restricciones. La remoción de algunos valores inicialmente puede permitir hallar otros inconsistentes.
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Técnicas de consistencia de arco Técnicas que reducen los dominios a estados consistentes para cada restricción (o arco). También llamadas: técnicas consistencia-2
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15 AC 1 (Mackworth) AC1: Repeat Look ahead check; Look ahead check; If algún valor fue removido de If algún valor fue removido de algún dominio then algún dominio then Ocurrió_borrado := verdad Until (not Ocurrió_borrado) Fuerza a que Look ahead alcance un estado consistente por reactivación de Look ahead hasta consistencia Ocurrió_borrado := falso ;
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16 El ejemplo (1): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4} Primera pasada (== Look ahead check): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3} Ocurrió_borrado := verdad
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17 El ejemplo (2): Segunda pasada: AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3} Ocurrió_borrado := verdad AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3}
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18 El ejemplo (3): Tercera pasada: Ocurrió_borrado := falso AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3} Resultado: A (2 o 3), B (3 o 4), C (1 o 2), D (1 o 3) Consistente, pero ¡¡ NO REALMENTE UNA SOLUCIÓN !!
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19 AC-3 (Mackworth) Consistencia de arco más eficiente: AC3: Remover r(x,y) de COLA; Remover r(x,y) de COLA; End-While COLA := {todas las restricciones en el problema} Remover todos los valores inconsistentes de Remover todos los valores inconsistentes de los dominios D x y D y con respecto a r(x,y); los dominios D x y D y con respecto a r(x,y); While not vacia(COLA) DO If algún valor fué removido de D x (o D y ) If algún valor fué removido de D x (o D y ) then agregar todas las otras restricciones then agregar todas las otras restricciones que involucranx (o y) a COLA; que involucranx (o y) a COLA;
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20 El ejemplo (1): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4} COLA = {r(A,B), r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}: COLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)} Para agregar: r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D) Todo ya en COLA !
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21 El ejemplo (2): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3} COLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}: COLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}
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22 El ejemplo (3): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3} COLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}: COLA = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)} Para agregar: r(A,B), r(A,C), r(B,D), r(C,D)
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23 El ejemplo (4): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3} COLA = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)}: COLA = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)} Para agregar: r(A,D), r(C,D)
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24 El ejemplo (5): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3} COLA = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)}: COLA = {r(A,C), r(A,D)} Para agregar: r(A,C), r(A,D)
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25 El ejemplo (6): AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3} COLA = {r(A,C), r(A,D)}: COLA = vacía ¡ PARAR !
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26 Comparación: Igual resultado: completa consistencia de arco: A = {2,3}, B = {3,4}, C= {1,2}, D = {1,3} Eficiencia: AC1: 3 veces 6 verificaciones = 18 AC3: 9 verificacíones de restricciones
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27Consistencia-k: consistencia-1 (consistencia de nodo): restricciones unarias (en 1 variable) son consistentes consistencia-2 (consistencia de arco): restricciones binarias (en 2 variables) son consistentes consistencia-3: todas las restricc. que involucran 3 variables son consist. AB DC B = A + 1 A C D BD B A D |B - C| 1 C D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4} Un valor se mantiene en el dominio si hay valores consistentes en los dominios de las otras 2 variables (para todas las restricciones que las conectan) Ejemplo:
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28 Practicidad de la consistencia k: Verificar la consistencia-k para k 2 es muy dificil de realizar eficientemente !! Ejemplo: consistencia-4 para el enigma de las 4 casas es equivalente a hallar soluciones del problema original.
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Procesamiento híbrido de restricciones Combina el poder de la búsqueda exhaustiva (backtrack) con (relajación) poda
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Forward checking Backtracking combinado con Forward Check
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31 Forward checking: Forward Checking: Execute Standard Backtracking After cada asignación de un After cada asignación de un valor a una variable zi DO valor a una variable zi DO Forward Check(zi) BUT
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32 1A Funcionamiento de forward checking B2 AB CD{1}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC AB CD{1}{2}{2,3} {3,4} |B-C| 1 D BD BD BD B falla AB CD{2}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC 2 B3 AB CD{2}{3}{1,3} {1,3,4} D BD BD BD B C1 AB C D{4}{3}{1}{1} CDCDCDCD falla AB CD{3}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC 3 B4 AB CD{3}{4}{1,2} {1,4} D BD BD BD B AB C D{3}{4}{1}{1} CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} CDCDCDCD 1C 2fallaexito
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Lookahead checking Backtracking combinado con Look ahead check
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34 Lookahead checking: Execute Standard Backtracking Look Ahead Check BUT Look Ahead Check ; Lookahead Checking: After cada asignación de un After cada asignación de un valor a alguna variable DO valor a alguna variable DO
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35 Funcionamiento de lookahead checking AB C D{1,2,3,4}{1,2,3,4}{1,2,3}{1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B |B-C| 1 CDCDCDCD AB CD{1}{3,4}{1,2} {1,3} B=A+1 falla AB C D{2}{3,4}{1,2}{1,3} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B CDCDCDCD falla AB C D{3}{3,4}{1,2}{1,3} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} D BD BD BD B CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} CDCDCDCD 1A 2 3 B4 C2 exito
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36 ¿Cuál es mejor? Forward checking: hace menos verificación de consistencia tiene mas ramificación más cercano a backtracking Lookahead checking: lleva más tiempo con consistencia intenta menos valor alternativos Usualmente: forward checking es la mejor solución de compromiso Para problemas MUY restringidos: Lookahead checking es necesario para podar más
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37 Aplicaciones: Todos los problemas de búsqueda combinatorios Problemas de distribución de tareas: Ej.: redistribución de horario de trenes cuando ha ocurrido algun problema en las vías. Problemas de distribución de trabajos: Ej.: computar turnos de trabajo, dadas varias res- tricciones de expertise y preferencias personales Planeamiento de producción: Ej.: planificar el flujo óptimo de trabajo Problemas de carga: Ej.: optimizar el espacio en un camión dados varios tipos de cargas
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38 Técnicas alternativas Programación lineal técnicas numéricas para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (e inecuaciones) + problemas de optimización Ej.: algoritmo simplex Funciona MUY bien para restricciones ‘lineales’ 4*X - 3*Y Z + 2 X 3 - 3*Y Z 2 + 2 ¡ SI ! ¡ NO ! Funciona, pero no MUY bien, para problemas discretos En tales casos: Procesam. de Restricc. es una mejor opción También: para problemas de restricciones en datos no- numericos !
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