Algebra lineal.

Algebra lineal

Temario Matemáticas I Programa: Algebra de matrices 1.1 Matrices
Matemáticas I Programa: Algebra de matrices 1.1 Matrices 1.2 Matrices especiales 1.3 Operaciones con matrices 1.4 Matrices por bloques

Temario Matemáticas I Programa: Sistemas de ecuaciones lineales
Matemáticas I Programa: Sistemas de ecuaciones lineales 2.1 Algoritmo de Gauss 2.2 Algoritmo de Gauss-Jordan 2.3 Existencia de soluciones 2.4 Operaciones elementales por filas y matrices elementales 2.5 Factorización LU 2.6 Geometría de ecuaciones lineales

Temario Matemáticas I Programa: Determinantes 3.1 Definición
Matemáticas I Programa: Determinantes 3.1 Definición 3.2 Propiedades 3.3 Determinantes e inversas 3.4 Regla de Cramer 3.5 Determinantes y matrices por bloques 3.6 Interpretación geométrica

Temario Matemáticas I Programa: Espacios vectoriales
Matemáticas I Programa: Espacios vectoriales Elementos de álgebra abstracta Grupos Todo sobre homomorfismos Anillos Campos 4.1 Espacios vectoriales 4.2 Subespacios vectoriales 4.3 Combinaciones lineales 4.4 Dependencia e independencia lineal 4.5 Base y dimensión 4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz 4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales 4.8 Cambio de base 4.9 Espacio cociente 4.10 Sumas y sumas directas

Temario Matemáticas I Programa:
Matemáticas I Programa: Espacios vectoriales con producto interno 5.1 Producto interno 5.2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz 5.3 Ortogonalidad 5.4 Procedimiento de Gram-Schmidt 5.5 Espacios normados

Temario Matemáticas I Programa: Transformaciones lineales
Matemáticas I Programa: Transformaciones lineales 6.1 Definición 6.2 Propiedades 6.3 Kernel e imagen de una transformación lineal 6.4 Representación matricial de una transformación lineal 6.5 Isomorfismos 6.6 Operaciones con transformaciones lineales 6.7 Algebra de transformaciones lineales

Temario Matemáticas I Programa: Valores propios y vectores propios
Matemáticas I Programa: Valores propios y vectores propios 7.1 Definición y propiedades 7.2 Teorema de Cayley-Hamilton 7.3 Diagonalización de matrices

Temario Matemáticas I Programa: Formas canónicas
Matemáticas I Programa: Formas canónicas 8.1 Forma canónica de Jordan 8.2 Forma canónica racional Descomposición en valores singulares Pseudoinversa Funciones de matrices Matrices definidas positivas

Temario Matemáticas I Bibliografía
Matemáticas I Bibliografía · B. Noble, J.W. Daniel, “Applied linear algebra”, Prentice Hall. · S. Grossman, “Linear algebra”, McGraw Hill. · F.R. Gantmacher, “Matrix Theory”, Chelsea Publishing Co. · G. Strang, “Linear algebra and its applications”, Harcourt Brace Jovanovich Publishers. · S. Lipschutz, “Algebra lineal”, McGraw Hill.

Meta y objetivo Uso indiscriminado del álgebra lineal en el modo de pensar del ingeniero

1. Algebra de Matrices 1.1 Matrices 1.2 Matrices especiales
1.3 Operaciones con matrices 1.4 Matrices por bloques

Matrices por bloques a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

Matrices por bloques A11 A12 A21 A22 B11 B21 A11B11+A12B21

En este momento… Ya sabemos operar con matrices

2. Sistemas de Ecuaciones
2.1 Algoritmo de Gauss 2.2 Algoritmo de Gauss-Jordan 2.3 Existencia de soluciones 2.4 Operaciones elementales por filas y matrices elementales 2.5 Factorización LU 2.6 Geometría de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1 . an1x1+an2x2+...+annxn=bn

2x1+3x2=2 x1+x2=3 x2=2/3-(2/3)x1 x2=3-x1 3-x1=2/3-(2/3)x1 3-2/3 =x1-(2/3)x1 2.333=0.333x1 x1=7 x2=-4

2x1+3x2=2 x1+x2=3 x2=2/3-(2/3)x1 x2=3-x1 (7,-4)

Algoritmo de Gauss 2x1+3x2=2 x1+x2=3 2 3 1 x1 x2 2 3 =

Algoritmo de Gauss 2 3 1 x1 x2 2 3 1/2 1 2 3 1 x1 x2 1/2 1 2 3 = = 1
1 2 3 1 x1 x2 1/2 1 2 3 = = 1 -1 1 1.5 x1 x2 1 -1 1 3 = 1 -2 1 1.5 -.5 x1 x2 1 -2 1 2 = 1 -1.5 1 1.5 x1 x2 1 -1.5 1 -4 =

Algoritmo de Gauss 1 x1 x2 7 -4 = 1 -1.5 1 -2 1 -1 1/2 1 -1 3 1 -2 =
x1 x2 7 -4 = 1 -1.5 1 -2 1 -1 1/2 1 -1 3 1 -2 = -1 3 1 -2 2 3 1 1 = Inversa Original

Notas Si el sistema tiene soluciones  Consistente
Si el sistema no tiene soluciones  Inconsistente Cada ecuación es la ecuación de una recta. Si todas las rectas se intersectan en al menos un punto, el sistema es consistente, caso contrario es inconsistente Operaciones elementales  multiplicar un renglón por una constante diferente de cero; intercambiar renglones; sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón Definición. Se dice que una matriz de n*n es una matriz elemental si es posible obtenerla a partir de la matriz identidad In de n*n mediante una sola operación elemental en los renglones

Notas En el método de Gauss sólo se utilizaron matrices elementales

Inversa de una matriz 2 3 1 x1 x2 2 3 = -1 3 1 -2 2 3 1 x1 x2 -1 3 1
Si se tiene la inversa ...

Inversa de una matriz La inversa de una matriz cuadrada A se define como la matriz B que: AB=BA=I y se denota como A-1 Teorema. Si B Y C son invesras de A, entonces B=C Demo. BA=I  (BA)C=IC  (BA)C=B(AC)=BI=B=C

Inversa de una matriz Teorema. Si A y B tienen inversa y son del mismo tamaño, entonces AB tiene inversa (AB)-1=B-1A-1 Demo Demostrar que: (AB)(B-1A-1)=(B-1A-1)(AB)=I (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AIA-1=I (B-1A-1)(AB)=B-1(AA-1)B=I

Inversa de una matriz Notar que una matriz elemental tiene inversa. Esto es cierto ya que es una operación elemental por la matriz identidad. Definición. Si A=E1E2...EnB con Ei elementales, entonces A es equivalente a B por renglones Teorema. Si A es una matriz cuadrada, entonces las siguientes afirmaciones son ciertas: a) A tiene inversa b) AX=0 únicamente tiene la solución trivial c) A es equivalente por renglones a I

Inversa de una matriz Demo a)  b)
Si A tiene inversa  AX=0  A-1AX=A-10=0  X=0 es la única solución b) c) AX=0, donde la única solución es X=0  se puede llevar por Gauss a la forma IX=0, pero para llevar a esta forma se tienen que utilizar matrices elementales, i.e.  EnEn-1...E1A=I, como las Ei tienen inversa, entonces E1-1E2-1...En-1I=A c)  a) Como A es quivalente a I, entonces E1-1E2-1...En-1I=A, y por tanto A-1= EnEn-1...E1I

En este momento… Ya resolvemos sistemas de ecuaciones y conocemos cosas de la inversa.

3. Determinantes Determinantes 3.1 Definición 3.2 Propiedades
3.3 Determinantes e inversas 3.4 Regla de Cramer 3.5 Determinantes y matrices por bloques 3.6 Interpretación geométrica

Permutaciones Conjunto n={1,2,...,n}, el conjunto de las permutaciones de n es Sn. Una permutación Sn se escribe como 1 2 3 4 (1) (2) (3) (4)

Composición 1 2 3 4 1 2 3 4 = = 1 2 3 4 1 2 3 4   =   =

Inversas 1 2 3 4 2 3 4 1 =  -1= 1 2 3 4  -1=

Transposición 1 2 3 4 = Todos permanecen iguales, excepto dos que se intercambiaron

Ciclos 1 2 3 4 5 6 = =(1 4) ( ) (1)=4, (4)=1 -- (2)=6, (6)=5, (5)=3, (3)=2 Toda permutación se puede escribir como el producto de ciclos

Ciclos Chequen lo siguiente. Todo ciclo se puede escribir como un producto de transposiciones ejemplo ( )=(2 1)(3 1)(5 1)(4 1) No es única, pero todas las representaciones son pares o impares en el número de transposiciones  una permutación es par o impar. Definición. El signo de una permutación es (+) 1 si es par (-1) si es impar

Determinante A=[aij] de n*n, el determinante de A se define como:
Det(A)= a1(1)a2(2)...an(n)

Determinante Ejemplo. Sea A una matriz de 3*3, entonces S3 tiene 6 elementos (3!) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Las permutaciones de arriba son pares, las de abajo impares. Det(A)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a12a21a33-a13a22a31-a11a23a32

Propiedades R1 … Ri+Rj Rn

En este momento… Entendemos lo que es el determinante

4. Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Elementos de álgebra abstracta Grupos Anillos
Todo sobre homomorfismos Anillos Campos

Algebra abstracta Grupo: G(S,+) S Conjunto de elementos
+ Operación binaria a+b=c, a,b,c  S Existe e  S,  a+e=e+a=a Existe a-1  S  a-1+a=e

¿Es grupo? ¿Los naturales con +, *? ¿Z4, +?, ¿Z4, *?
¿Los reales con +, *? ¿Los racionales con +, *?

Homomorfismos Dos grupos (S1,+), (S2,*) H:S1S2 H(a+b)=H(a)*H(b)
H(e1+e1)=H(e1)+H(e1)= H(e1)= e2 *H(e1)  H(e1)*[H(e1)-1]= e2 *H(e1)* H(e1)-1=e2 H(e1)= e2

Propiedad H(x-1)=[H(x)]-1 H(x)+ H(x-1)=H(x+x-1)=H(e1)=e2

Imagen Im(H)={y|H(a)=y, aS1}  Son elementos de S2

Kernel Ker(H)={x|H(x)=e1}  son elementos de S1

El kernel es una medida de la inyectividad de la función
Suponer que H(x)=H(y)  H(x)+[H(y)]-1=e2  H(x+y-1)=e2  si y-1≠x-1  hay más de un elemento en el kernel de H y por lo tanto no es inyectiva H.

La imagen es grupo Sean a,b  Im(H). 
a+b=H(x)+H(y)=H(x+y)  a+b también está en la imagen de H. H(e1)=e2  la identidad está en la imagen Si a está en Im(H)  H(x)=a  H(x-1) es el inverso de a.

El kernel es grupo Sean a,b  Ker(H). 
a+b=H(a)+H(b)=e2+e2  H(a+b)=e2 a+b también está en el kernel de H. H(e1)=e2  la identidad está en el kernel Si a está en Ker(H)  H(a)=e2  H(a+a-1)=H(a)+H(a-1)=e2+e2 a-1 está en el kernel

Subgrupos Si G=(S,+) es un grupo, entonces H=(R,+) es un subgrupo de G ssi H=(R,+) tiene las características de un grupo. R es un subconjunto de S

Coconjuntos Si H=(R,+) es un subgrupo de G entonces para todo a elemento de G, el conjunto aH es llamado el coconjunto izquierdo de a debido a H.

Coconjuntos El conjunto de todos los coconjuntos de un grupo G debido a un grupo H es llamado el grupo cociente G/H debido a que tiene las propiedades de un grupo Cada coconjunto de G/H es denotado como [a] (el elemento que le dió origen, H está fijo)

Coconjuntos Lo primero que hay que notar es que se puede establecer la siguiente relación de equivalencia a~b ssi a-1+b pertenece a H a~a  a está en aH, a-1+a=e, como en H está la identidad, entonces en aH está a

Coconjuntos Si a~b entonces b~a a-1+b está en H  (a-1+b)-1 está en H
 b-1+a está en H Además b está en aH a-1+b está en H y e está en H y a está en aH a-1+b=h a+a-1+b=a+h  b=a+h, i.e. es un elemento de aH

Coconjuntos Si a~b y b~c entonces a~c  a está en H
a-1b, b-1cH  a-1c  H Además c está en aH, Claro…

Coconjuntos Como vemos, la relación anterior particiona el conjunto S del grupo G=(S,+). A su vez, cada partición es igual a un coconjunto de G/H, entonces los coconjuntos particionan a G/H si b aH existe x  H, tal que ax=b aH a-1ax=a-1b=x  H

Recordatorio TEOREMA. Sea L una partición del conjunto X. Defínase xRy si x, yS para algún S  L. Entonces R es reflexiva, simétrica y transitiva.

Recordatorio Demo. Sea x  X. Como X = L, x  S para algún S  L. Entonces xRx y R es reflexiva. Sup. xRy. Entonces x e y pertenecen a un S  L. Como y y x pertenecen a S, yRx  R es simétrica. Sup. xRy e yRx entonces x, y  S  L. y, z  T  L. Si S  T  yS  zT pero L es disjunta por pares  no es posible; entonces S = T  x y z  S  xRz; R es transitiva.

Recordatorio  TEOREMA. Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto X. Para cada a  X, sea [a] = {x  XxRa} entonces L = {[a] a  X} es una partición de X Demo Para verificar que L es una partición de X i) X = L ii) L es una familia disjunta por pares

Recordatorio Sea a  X; como aRa  a  [a]; entonces X = L
> Dem que si aRb  [a] = [b] - Sup aRb. Sea x  [a], entonces xRa. Como aRb y R es transitiva xRb.  x  [b] y [a]  [b]. - Sup bRa. Sea x  [b], entonces xRb. Como bRa y R es transitiva, xRa.  x  [a] y [b]  [a] > Sup [a], [b]  L con [a]  [b]. Probar [a]  [b] = . - Sup para algún x, x  [a]  [b], entonces xRa y xRb, entonces [x]=[a] y [x]=[b]; consecuentemente [a]= [b]: contradicción  [a]  [b] =  y L es disjunta por pares.

Grupos En el grupo G/H el elemento [e] funciona como la identidad.
[e]+[a]=[a]+[e]=[a]  al menos el elemento e+a está en la suma, pero este elemento está en [a] El inverso de [a] es [a-1], al sumar a+a-1 se genera el elemento e y por tanto [e] Además es cerrado

Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Sea A:XY una función cualquiera. Entonces se puede definir la relación Ker A de la siguiente forma: x1~x2 ssi A(x1)=A(x2) Note que la relación Ker A es una relación de equivalencia. Como es una relación de equivalencia, entonces diremos que x1x2 (mod Ker A) –x1 es equivalente a x2 módulo Ker A- -También se dice que x1 es congruente a x2 vía Ker A o que la relación Ker A es una congruencia-

Significado geométrico de esta relación
X Y clusters y1 x1 x2 x3 y2 x4 y3 x5 y4 x6 Imagen de A Observe que hay tantos clusters como imágenes de A Podemos hacer el conjunto de los clusters

clusters A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto cociente X/Ker A c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} (A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos)

X/Ker A Noten que la relación Ker A está dando una medida de la inyectividad de A. Si el número de clusters es igual al número de elementos en X, entonces A es inyectiva. c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} A los clusters se les llama coconjuntos (cosets) y son justamente los subconjuntos de X sobre los cuales A tiene diferente valor. También se les suele llamar las “fibras” de A.

Ejem. A(x)=x módulo 4 -es el residuo de la división, no la congruencia X 3 7 Aquí está A 2 6 Y X/Ker A c2=[1 5 9] 1 3 c1=[0 4 8] c4=[3 7] c3=[2 6] 2 Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo entre X/Ker A y Im(A) [X/Ker AIm(A)]

Proposición. Sea A:XY y sea PA:XX/Ker A su proyección canónica, entonces g:X/ker Aim(A) tal que A=gPA, donde g es una biyección. X 3 7 Aquí está A 2 6 PA Y X/Ker A c2=[1 5 9] 1 3 c1=[0 4 8] c4=[3 7] c3=[2 6] 2

Demostración Definir g(z)=A(x) ssi z=PA(x). Se afirma que g(z) es función Cubre todo X. Como A es función, entonces a cubre todo X, y por la definición anterior, g también cubrirá todo X Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y. Suponer que si es así, (z,y1), (z,y2)g. Entonces y1y2. Por la definición de g se tiene: z= PA(x1), y1=A(x1) y además z= PA(x2), y2=A(x2) Como PA(x1),= PA(x2) implica que A(x1)= A(x2) Entonces y1=y2, una contradicción, entonces Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y Por tanto g(z) si es función.

Demostración Ahora veremos que g es una biyección.
g es inyectiva. Suponer que no es así, i.e. (z,y),(z’,y)g Entonces zz’ Entonces z=PA(x) y z’=PA(x’) Además A(x)=A(x’)=y. Como tienen la misma y, entonces PA(x)=PA(x’), una contradicción. Por tanto es inyectiva. g es sobre. Como g:X/Ker AIm(A), sólo abarca las imágenes de A. Por definición de g, cualquier imagen de A tiene una preimagen en X/Ker A. Por lo tanto g es sobre. Como es inyectiva y sobre, es una biyección.

Demostración Por definición A=goPA

,... Y ahora Definición. Se dice que una relación R1 refina (es más fina) a R2 y se escribe R1R2 si (x,y)R1 entonces (x,y)R2. En otras palabras, todo coconjunto de R1 es un subconjunto de algún coconjunto de R2. 3 7 3 7 2 6 2 6

Ahora se generalizarán estos conceptos Proposición. Sea f:XY y sea  una partición del conjunto X, donde Ker f . Entonces existe un único mapa g:X/Y tal que f=gP. En pocas palabras, dice que si existe una partición más fina que la que deja la función, entonces es posible recuperar la informa- ción de la función vía la partición más fina (que en este caso se llama ).

X Aquí está f 3 7 2 6 Y Aquí está Ker f (son los círculos que forman las clases de equivalencia) 1

X Aquí está f 3 7 2 6 Y Aquí está  (son los rectángulos que forman las clases de equivalencia), Se puede ver que Ker f  1

X Aquí está f 3 7 Aquí está Pf 2 6 Y e1=[ ] e2=[ ] 1

X Aquí está f 3 7 Aquí está Pf 2 6 Y e1=[ ] e2=[ ] 1 e2=[1 5 9] Aquí está P e1=[0 4 8] e4=[3 7] e3=[2 6]

X Aquí está f 3 7 Aquí está Pf 2 6 Y e1=[ ] e2=[ ] 1 e2=[1 5 9] Aquí está P e1=[0 4 8] e4=[3 7] Aquí está g e3=[2 6]

Demostración Significado geométrico de esta relación
Definir g(z)=f(x) ssi z=P(x). Además para cada zk={xi|xiAi} existe una clase [xi]={xi|f(xi)=y} donde zk[xi] como Ker f, entonces [xi] puede ser particionado en z1,...,zn g es una función. Como zk pertenece a algún [xi], entonces este g(zk) será igual a f(xi), o sea todo elemento de X/ será asociado con un valor en Y. X/ está cubierto. Si (zk,yi), (zk,yj)g, implica que zk[xi] y zk[xj], pero por 2) esto no es cierto, por lo tanto cada zk se asocia con uno y sólo un valor de Y.

Por la definición de g, se tiene que f(x)=g P(x) Suponer que existe g’(z) tal que f=g’P Sea xX g’(P(x)) =f(x)= g(P(x)) entonces g’=g.

Proposición. Sea f:XY y g:XZ y sea Ker fKer g. Entonces existe un mapa h:ZY tal que f=hg. Más aún, h está solamente definida en la imagen de g; esto es la restricción h|g(X). Intuitivamente dice que la imagen de g deja suficiente información para poder relacionar cada elemento de Z con uno y sólo uno de Y.

X Aquí está f 3 7 Y 2 6 1 Aquí está Pf Hay una función isomórfica  e2 e1 X/Ker f

X Aquí está g 3 7 Z 2 6 1 3 Aquí está Pg 2 Hay una función isomórfica  e1 e3 e2 X/Ker g e4

X 3 7 2 6 El Ker f Ker g

X Aquí está f Aquí está g 3 7 Y Z 2 6 1 1 3 2 Aquí está h   e2 e1 e3 e1 e2 e4 X/Ker g X/Ker f

h(z)=f(x) ssi z=g(x) [xi]={xi|f(xi)=y}; como Ker fKer g implica que [xi] puede ser particionado en z1,...,zn tal que g(xi) =zi y por tanto h(zi)=y. Por la definición, h está definida en la imagen de g. Como en el caso anterior h asigna a cada zi un único valor en Y. Por la definición de h se tiene que h(g(x)=f(x). Se ve que se cumple, ya que como Ker fKer g, un xg-1(zi) xf-1(y)

Suponer que existe h’(z) tal que f=h’g Sea xX h’(g(x)) =f(x)= h(g(x)) entonces h’=h.

Proposición. Si , son dos particiones tal que , entonces existe una única función f:X/X/ tal que P=fP.

X 3 7 2 6 X X 3 7 3 7 2 6 2 6 La partición  La partición 

X 3 7 2 6 Aquí está P Aquí está P X/ X/ e2 e2 e1 e1 e4 e3

X 3 7 2 6 Aquí está P Aquí está P X/ X/ e2 e2 e1 e1 e4 e3 Aquí está f

Congruencias de sistemas dinámicos
Un sistema dinámico sobre un conjunto X es un mapa :XX con la siguiente interpretación. Los elementos xX son llamados estados y  es llamada función de transición de estados. k es la k-ésima composición de ’s

Sea  una partición de X con proyección canónica P  :XX/  .  es una congruencia para  si existe un mapa ’: X/  X/  tal que: ’  P  = P    X  X P  P  ’ X/Ker  X/Ker 

Recordando resultados previos  es una congruencia de  ssi Ker P  Ker (P    ) X X  P  P  ’ X/Ker  X/Ker 

Anillos Un anillo R=(S,+,*) es un conjunto con dos operaciones binarias. (S,+) es un grupo conmutativo (grupo abeliano) (S,*) es un semigrupo (se le pide cerrado, pero no unidad ni inversas)

Anillos En un anillo se deben cumplir las propiedades distributivas
a*(b+a)=a*b+a*c (b+c)*a=b*a+c*a

Anillos En un anillo elemento identidad de (S,+) será denotado como 0.
Si (S,*) forma un grupo para sus elementos no 0, es llamado anillo de división.

Anillos Un anillo de división, (S,*) si es conmutativo será llamado Campo

Anillos Por ser anillo se tiene a0=0a=0 a(-b)=-(ab)=(-a)b a(b-c)=ab-ac
a0=a(0+0)=a0+a0 a0+(-(a0))=a00=a0 a(-b)=-(ab)=(-a)b 0=a0=a(b+(-b))=ab+a(-b) -ab=a(-b) a(b-c)=ab-ac a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac

Espacios vectoriales Espacios vectoriales Subespacios vectoriales
Combinaciones lineales Dependencia e independencia lineal Base y dimensión

Espacios vectoriales Un espacio vectorial E=(V,F)
Es un conjunto de elementos llamados vectores sobre un campo F donde x+y=y+x y pertenece a V x+(y+z)=(x+y)+z Existe el vector 0, tal que 0+x=x+0=x Para cada vector x existe el –x, tal que x-x=0

Espacios vectoriales Cada elemento dol campo es llamado un escalar
µ(x+y)= µx+µy µx= xµ (µ1+ µ2)x= µ1(x)+ µ2(y) 1x=x  1 la unidad multiplicativa del campo

Espacios vectoriales ejemplos

Espacios vectoriales Teorema 0v=v0=0 (-1)v=-v
0v=0v+0v-0v=(0+0)v-0v=0v-0v=0 (-1)v=-v v+(-1)v=1v+(-1)v=(1-1)v=0v=0 Agregando –v a ambos lados se tiene el resultado

Subespacio Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un subespacio de (V,F) si preserva todas las características de espacio y S es un subconjunto de V

Subespacio ejemplos

Creación de espacios Teorema. Demo en clase por los alumnos
Espacio vectorial (V,F) S subconjunto de V Si v1,…vn están en S, entonces también 1v1+…+nvn, donde i son elementos del campo (S,F) es un subespacio Demo en clase por los alumnos

Creación de espacios Preguntas importantes
¿En qué condiciones dos conjuntos S1, S2 crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúal es la cardinalidad mínima de QS tal que Q y S crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúando S crea el mismo espacio que contiene a los vectores de S?

Dependencia e independencia lineal
Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. El vector y=1v1+2v2+...+nvn donde los coeficientes son escalares será llamada combinación lineal de S.

Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. S es linealmente independiente si 1v1+2v2+...+nvn=0 tiene como única solución la trivial. De lo contrario se llamarán linealmente dependientes.

Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Si S es linealmente independiente, entonces el espacio creado por S será llamado espacio generado por S.

Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Para mostrar si es linealmente independiente se resuelve la ecuación: [v1 v vn] =0 1 2 ... n

Entonces ya podemos aplicar Gauss para resolver el sistema y ver su solución Si la matriz [v1 ...vn] es de rango n entonces tiene solución única Si la matriz [v1 ... vn] es de rango menor a n, entonces tiene más de una solución.

Ejemplos en clase

Bases, Dimensión y coordenadas
Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2, ...vn} será una base para (V,F) si S genera (V,F). S es linealmente independiente S genera (V,F)

ejemplos de bases en diferentes espacios

Notita. Si z es una C.L. (combinación lineal) de los vectores x1,...,xr; y xi es una C.L. de los vectores y1,...,ys. Entonces z es una C.L. de los vectores y1,...,ys. z=a1x1+...+arxr z=a1(b11y1+...+b1sys)+...+ar(br1y1+...+brsys) Es una propiedad de transitividad

Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el sistema x1,...,xn son L.D. Suponer que x1,...,xk (k<n) son L.D.  a1x1+...+akxk=0 con ai diferente de nulo.  a1x1+...+akxk+0xk xn=0 es solución y el sistema es L.D.

La base B={v1, ..., vn} es un conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos futuros. Representación. Un vector v se puede reescribir en términos de una base. v=1v1+2v2+...+nvn, a donde 1 2 ... n Es la representación del vector

Ejemplos de representación de vectores

Teorema. La representación del vector es única v=1v1+2v2+...+nvn= 1’v1+2’v2+...+n’vn (1-1’)v (n-n’)vn=0  base  L.I. entonces la única solución es cero (i-i)=0  i=i’

Notita. El teorema anterior es cierto si dice que z=a1x1+...+akxk los ai son únicos ssi los xi son L.I.

Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial. Dos subespacios de (V,F); (V1,F) y (V2,F) se dicen equivalentes si los vectores de uno se pueden escribir como C.L. del otro y viceversa.

Teorema. Suponer que B={v1, ...,vp} es una base para (V,F) y suponer que D={u1,...,uq} es un subconjunto L.I. en (V,F), entonces qp Demostración. Como B es una base, entonces uiD,(V,F) se puede expresar como una C.L. de B 

S1={u1,e1,...,ep} es L.I.  Existe un vector que es C.L. de los anteriores, digamos que es ei. Por transitividad el resto {u2,...,uq} es una C.L. de S1-{ei} y se puede aplicar el mismo procedimiento Como se observa el procedimiento no puede eliminar todos los vp vectores antes de que los ui vectores se hayan agotado y qp.

Teorema. Número de vectores en la base. Suponer que para un espacio (V,F) se tiene una base con p vectores. Entonces todas las bases tienen p vectores. Demo. Aplicar teorema anterior suponiendo que se tiene otra base con q vectores.  qp. Aplicar partiendo de la base con q vectores  pq  q=p.

Definición. Al número de vectores en la base de un espacio (V,F) se le llama dimensión de (V,F). En especial, todos los subespacios equivalentes también tienen un conjunto de vectores que lo generan (ya que son un espacio en sí) y se tiene una base y por tanto también tienen su dimensión. En tal caso es más adecuado hablar de rango que de dimensión, ya que podemos hablar de un subespacio en R3, pero de rango 2. A su vez, a la dimensión del espacio completo se le puede llamar rango, pero es mejor hablar de dimensión.

El espacio Rn tiene timensión n. Si la dimensión de un espacio es p  cualquier conjunto con s vectores s>p es L.D. En efecto, la base tiene p vectores y el resto será una C.L. de la base.

Teorema. Un espacio tiene dimensión finita k ssi k es el maximo número de vectores que se pueden obtener en el espacio. Demo. Si la dimensión es k la base tiene k vectores  son L.I. y cualquier otro es una C.L. de la base (ya no es L.I.). Si el máximo número de vectores L.I. es k  estos generan todo el espacio y por tanto es una base  k es la dimensión.

Ok, regresemos a la representación de vectores 1 1 B1={ } 4 1 1 =

El mismo vector en otra base 1 1 B2={ } 4 1 1 =

Si el mismo vector se puede representar en diferentes bases, ¿se podrá transformar de una en otra? 1 4 1 4 =

-1 1 1 4 4 = Matriz de cambio de base de B1 a B2

El concepto fácilmente se puede generalizar a cualquier par de bases Lo que es más chido... (P[x]2,R) una posible base es B={1, x, x2} v1=1  en la base 1

1 v2=x  en la base v3=x2 1

v4=1-x v5=3+x v6=-2+2x+x2 v7=2+3x+7x2 ¿Son L.I.?  ¡¡¡Todo cambia a matrices!!!

Espacios vectoriales Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz Ecuaciones lineales y espacios vectoriales Cambio de base Espacio cociente Sumas y sumas directas

Pausa: Cosas de una Matriz
Kernel. Todos los x tales que Ax=0 Kernel={x|Ax=0} Se puede hablar de dos kerneles, el izquierdo y el derecho KerI={y|yTA=0} KerD={x|Ax=0}

Imagen Todos los y que son obtenidos de A multiplicado por un vector Imagen={y|Ax=y}

Teorema (operaciones columna y dependencia lineal). Suponer que una secuencia de operaciones elementales por renglón transforma la matriz A en la matriz B, entonces: Una colección de columnas de A es linealmente dependiente (independiente) ssi la collección correspondiente de columnas de B es linealmente dependiente (independiente). Una matriz renglón puede ser escrita como una combinación lineal de (esto es linealmente dependiendte de) todos los renglones de A ssi puede ser escrita como una combinación lineal de todos los renglones de B.

Demostración caso 1.- Sea F=E1E2...En la secuencia de matrices elementales que realizan las operaciones elementales que transforman a A en B.  F tiene inversa=no singular  FA=B Fx=0  x=0 (solución única) Si las columnas de A son L.D. entonces  1a1+2a2+...+nan=A[] FA[ ]=B[ ]  Si A es LD hay muchas combinaciones 

que dan cero  esas mismas combinaciones en B dan cero y sus columnas son LI. Si A tiene una sola combinación que da cero, entonces en B será la única posibilidad de dar cero, ya que sólo es este caso FA[]=0 Apliquemos esto a cualquier colección de columnas de A y se tendrá la demostración de la primera parte. Demostración caso 2.- Un matriz renglón y es una CL de los renglones de A ssi y=xA para alguan matriz renglón x, pero y=xF-1FA=x’B, para x’=xF-1

como FA=B; y y=x´B ssi y es una CL de los renglones de B.

Veamos más a fondo el método de Gauss 1 -1 2 3 4 1 -1 2 3 5 -2 4

Veamos más a fondo el método de Gauss 1 -1 2 3 -2 5 4 1 -1 2 3 2/3 5/3 -2 -11/3 -23/3

Veamos más a fondo el método de Gauss 1 -1 2 3 2/3 -5/3 -11/3 -23/3 1 -1 2 3 2/3 5/3

Columnas dominantes 2 3 1 1 1.5 Forma de Gauss Matriz

Columnas dominantes 1 -1 1 -1 Forma de Gauss Matriz

Columnas dominantes -1 1 1 Forma de Gauss Matriz

Matrices Por intercambio de renglones hacer que el elemento (1,1) sea diferente de cero. Si no es posible es porque toda la columna 1 es igual a cero, tacharla y tratar de hacer lo mismo para la submatriz generada El proceso se repite hasta tener un elemento diferente de cero.

Matrices Todo el renglón se divide entre el elemento diferente de cero y se procede a hacer cero el resto de los elementos de esta columna de acuerdo al método de Gauss

Matrices Una vez hecho esto se tacha el renglón y se obtiene una nueva submatriz Con esta nueva submatriz se procede desde el punto 1) El resultado es la matriz en la forma de Gauss

Matrices Si se tiene un renglón diferente de cero, entonces a la primer columna diferente de cero se le llamará dominante o líder.

Teorema (matrices reducidas y dependencias) Suponer que G es una matriz en la forma de Gauss y de rango k a) El conjunto de las k columnas líderes es linealmente independiente b) Cualquier columna a la izquierda de la primera columna líder es una columna cero. Cualquier columna a la izquierda de la i-ésima columna líder es combinación lineal de las anteriores columnas líderes.

Definición.- Sea A una matriz de p*q a) El espacio columna de A es el subespacio que es generado por el conjunto de columnas de A b) El espacio renglón de A es el subespacio generado por los renglones de A.

Poner ejemplos Dar las condiciones para que el sistema tenga solución. Ax=b

Teorema. Sea una matriz A de rango k. Entonces a) El espacio columna de A tiene diemnsión k. Una base son las columnas líderes. b) El espacio renglón es de dimensión k, una base son los renglones diferentes de cero. c) Una matriz p*p es no singular si sus columnas son LI  rango p d) Una matriz p*p es no singular si sus renglones son LI  rango p

Matrices Corolario Rango por columnas = rango por filas Teorema (espacios renglón iguales). Sea A1 y A2 matrices de tamaño r*q y s*q respectivamente. El espacio renglón de A1 es igual al espacio rengloón de A2 ssi los renglones no cero de las matrices de Gauss coinciden.

El maldito Kernel otra vez
Definición: Sea f:XY una función de X a Y. Con f se asocia una relación de equivalencia llamada equivalencia kernel de f y se denota por Ker f y está definida como sigue: x1,x2X, x1~x2 ssi f(x1)=f(x2) (mostrar que sí es una relación de equivalencia y por tanto particiona a X)

Por qué se le llama equivalencia kernel
Sucede que en el caso de homomorfismos si f(x1)=f(x2)  f(x1)-f(x2)=0  f(x1-x2)=0, i.e. x1-x2 está en el kernel de f. Claramente una matriz A puede ser considereda como una función (y aún más, un homomerfismo, chequen en clase esto y verán que si la hace). Entonces el kernel que definimos de A es consistente con el kernel en homomerfismos y sucede que:

Por qué se le llama equivalencia kernel
El kernel de A es un subespacio La imagen de A es un subespacio Ya qué no saben qué, A/ker A es un espacio y se le llama espacio cociente.

Entendamos bien esto, que está demasiado fácil, salvo la primera vez
Encontrar Kernel, imagen (range, no rank), A/Ker A de la siguiente matriz A. 1 -1

Sistemas Lineales III: Control Geométrico-1.8
Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Sea A:XY una función cualquiera. Entonces se puede definir la relación Ker A de la siguiente forma: x1~x2 ssi A(x1)=A(x2) Note que la relación Ker A es una relación de equivalencia. Como es una relación de equivalencia, entonces diremos que x1x2 (mod Ker A) –x1 es equivalente a x2 módulo Ker A- -También se dice que x1 es congruente a x2 vía Ker A o que la relación Ker A es una congruencia-

X Y clusters y1 x1 x2 x3 y2 x4 y3 x5 y4 x6 Imagen de A Observe que hay tantos clusters como imágenes de A Podemos hacer el conjunto de los clusters

clusters A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto cociente X/Ker A c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} (A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos)

X/Ker A Noten que la relación Ker A está dando una medida de la inyectividad de A. Si el número de clusters es igual al número de elementos en X, entonces A es inyectiva. c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} A los clusters se les llama coconjuntos (cosets) y son justamente los subconjuntos de X sobre los cuales A tiene diferente valor. También se les suele llamar las “fibras” de A.

Ejem. A(x)=x módulo 4 -es el residuo de la división, no la congruencia X 3 7 Aquí está A 2 6 Y X/Ker A c2=[1 5 9] 1 3 c1=[0 4 8] c4=[3 7] c3=[2 6] 2 Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo entre X/Ker A y Im(A) [X/Ker AIm(A)]

Proposición. Sea A:XY y sea PA:XX/Ker A su proyección canónica, entonces g:X/ker Aim(A) tal que A=gPA, donde g es un isomorfismo. X 3 7 Aquí está A 2 6 PA Y X/Ker A c2=[1 5 9] 1 3 c1=[0 4 8] c4=[3 7] c3=[2 6] 2

Demostración Definir g(z)=A(x) ssi z=PA(x). Se afirma que g(z) es función Cubre todo X. Como A es función, entonces a cubre todo X, y por la definición anterior, g también cubrirá todo X Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y. Suponer que si es así, (z,y1), (z,y2)g. Entonces y1y2. Por la definición de g se tiene: z= PA(x1), y1=A(x1) y además z= PA(x2), y2=A(x2) Como PA(x1),= PA(x2) implica que A(x1)= A(x2) Entonces y1=y2, una contradicción, entonces Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y Por tanto g(z) si es función.

Demostración Ahora veremos que g es un isomorfismo.
g es inyectiva. Suponer que no es así, i.e. (z,y),(z’,y)g Entonces zz’ Entonces z=PA(x) y z’=PA(x’) Además A(x)=A(x’)=y. Como tienen la misma y, entonces PA(x)=PA(x’), una contradicción. Por tanto es inyectiva. g es sobre. Como g:X/Ker AIm(A), sólo abarca las imágenes de A. Por definición de g, cualquier imagen de A tiene una preimagen en X/Ker A. Por lo tanto g es sobre. Como es inyectiva y sobre, es un isomorfismo.

Demostración Por definición A=goPA

Estamos en los límites... Si los conjuntos tienen estructura matemática, p.e. X, Y son espacios vectoriales y la función A resulta ser un operador lineal. Ax1=Ax2 es la relación Ker A. Un caso particular es para la imagen cero. En este caso todos los x, tales que Ax=0 formarán una clase de equivalencia. Las demás clases de equivalencia las obtendremos al estudiar las otras imágenes de A. Sin embargo, este proceso puede resultar muy lento, sobre todo porque Y tiene un número infinito de elementos. Una forma más adecuada es estudiarlos a través de la clase de equivalencia del 0 [0].

Estamos en los límites... Por ejemplo, si queremos estudiar el caso para la imagen y, entonces debemos encontrar todos los x tales que Ax=y. x1, x2 [x], Ax1=Ax2=y, entonces A(x1-x2)=0. Entonces si x1[x], se tiene que x2[x] ssi (x1-x2)[0]. Como la clase [0] es un subespacio de X De hecho si Ax=0 y Ay=0, entonces A(x+y)=0 y por tanto es un subespacio entonces (x1-x2) span[0], o (x1-x2) = 1e1+2e2+...+nen Si x1 está fijo, entonces x2= x1-1e1-2e2-...-nen (1) Como con la clase de equivalencia [0] se generan todas las demás, a está clase la llamaremos genéricamente Kernel de A.

Estamos en los límites... Como se observa, la ecuación (1) es un método para calcular todas las clases de equivalencia [x2]. Se puede ver que es un un espacio vectorial (el del Kernel) desplazado por x1 (cualquier vector de la clase). A esta clase de equivalencia, y sólo cuando hablamos de operadores lineales en espacios vectoriales, le llamaremos una variedad lineal. No es un espacio, ya que en general, el cero no está incluído en dicha variedad, pero si será un espacio vectorial vía módulo algún vector de la clase. Ejemplos

Estamos en los límites... A:22 tal que A([x y]T)=[x–y y-x]T. Claramente A es un operador lineal y un vector de la forma [k k]T está en la clase de equivalencia [0] o Kernel de A. El vector [2 1]T no está en la clase [0], pero si está en la clase [[2 1]T]. Los vectores que pertenecen a esta clase, de acuerdo a la ecuación (1) son: X=[2 1]T-[1 1]T

Estamos en los límites... Clase [0] Clase [2 1]T

Estamos en los límites... En realidad, cada clase forma una línea paralela al Kernel de A.

Si tenemos un operador lineal A:VW, entonces el Kernel de A será un subespacio de V, y cada una de las clases de equivalencia será una variedad lineal paralela al Kernel de A. Más aún, el conjunto de las clases de equivalencia se denotará en la forma común V/Ker A y será llamado el espacio cociente V/Ker A. Proposición. Sea un operador lineal A:VW, entonces el conjunto V/Ker A es un espacio vectorial. Demo. En este espacio, el vector nulo es la clase [0]. De hecho se tiene

[v1]=[v1]+[0] para cualquier v1V. De la ecuación (1) x2= v1-1e1-2e2-...-nen se observa que esto es cierto, ya que x2[v1]. Los escalares, son los del campo definido en V. La suma de vectores [v1]+[v2]=[v3] se define como x1[v1], x2[v2] y x1+x2[v3]. Note que está bien definida ya que cualquier x1[v1] y x2[v2] sirven. De hecho v1- 1[0]+v2- 2[0]=v1+v2- [0]=[v3] Todas las propiedades se pueden demostrar y resulta un espacio vectorial

,... Pero hay más cosas Claramente, Im(A)V/Ker A. Vimos que esto se cumple aún en el caso que no sean espacios vectoriales. Ahora volvamos a los conjuntos. Vimos que si A:XY, entonces Ker A es una relación de equivalencia. Por la definición, cualquier función deja una relación de equivalencia en su dominio. Pero, además, nosotros sabemos que una relación de equivalencia sobre un conjunto X es equivalente a una partición de X

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno
5.2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz 5.3 Ortogonalidad 5.4 Procedimiento de Gram-Schmidt 5.5 Espacios normados

Norma Definición.- Una norma (o norma vectorial) en (V,F) es una funcional que asigna a cada vector v un número real no negativo, llamado norma del vector v, y es denotado por ||v|| y satisface: ||v||>0 para v0, y ||0||=0 ||v||=|| ||v||  escalar y v vector ||u+v||||u||+||v||

Norma Definición.- Para vectores x=[x1 x2 ... xp]T, las normas ||||1, ||||2, |||| son llamadas norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se definen como: ||||1=|x1|+|x2|+...+|xp| ||||2=(|x1|2+|x2|2+...+|xp|2)1/2 ||||=max{|x1|, |x2|, ...,|xp|}

Norma Definición.- Sea |||| una norma en (V,F). Una secuencia de vectores vi se dice que converje al vector v ssi la secuencia de número reales ||vi-v|| Para vectores x=[x1 x2 ... xp]T, las normas ||||1, ||||2, |||| son llamadas norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se definen como: ||||1=|x1|+|x2|+...+|xp| ||||2=(|x1|2+|x2|2+...+|xp|2)1/2 ||||=max{|x1|, |x2|, ...,|xp|}

Norma Teorema: Sean x, y dos vectores. Entonces |xTy|||x||2||y||2
Demostración. sabemos 0||x+y||=(x+y)T(x+y)=||x||22+ 2 ||y||22+2  |xTy| si =-||x||22/xTy, entonces 0-||x||22+(||x||24||y||22/xTy|2) Despejando se llega a la desigualdad

Producto interno Definición. El producto interno en (V,F) sobre un par de vectores (u,v) que satisface: (u,v)=(v,u) (u+v,w)= (u,w)+ (v,w) (w,u+v)= (w,u)+ (w,v) (u,u)>0, y es igual a cero si u es cero.

Producto interno El producto interno (u,v)1/2 induce una norma en el espacio vectorial. Definición. Sean el producto interno (,) u, v son ortogonales ssi (u,v)=0 Un conjunto de vectores son ortogonales ssi cada par de vectores (u,v) son ortogonales Si un vector u es usado para producir u/||u|| tal que ||v||=1, entonces u se dice ser normalizado para producir el vector normalizado v Un conjunto de vectores se dice ortonormal ssi es ortogonal y ||v||=1 para todo vector v

Producto interno Diferentes productos internos (u,v)=uTv
si f y g son funciones real valuadas continuas en 0t1, entonces (f,g)=

Proyecciones ortogonales
Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial. Sea (V0,F) un subespacio generado por los vectores ortogonales S={v1,...,vq}. Defínase la proyección ortogonal como sigue. Para cualquier vector v P0v=1v1+...+qvq, donde i=(vi,v)/(vi,vi) entonces v-P0v es ortogonal a todo vector v en (V0,F) P0(u+v)=P0u+P0v P0(v)= P0v

Demostración (vi,v-P0v)=(vi,v)-1(vi,v1)-...-q(vi,vq)=(vi,v)- i(vi,vi)=0 Los otros puntos salen de la definición de los coeficientes . v v-P0v vi P0v= vi

Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial con producto interno y con su norma inducida por el producto interno ||||. Sea (V0,F) un subespacio generado por los vectores ortogonales S={v1,...,vq}. Entonces para cualquier v, P0v es el único punto más cercano en (V0,F) a v, y ||v-P0v|| es la distancia de v a (V0,F) ||v-P0v||<||v-v0|| para todo v0 diferente de P0v en (V0,F)

Demostración. ||v-v0||2=(v-v0,v-v0)=(v-P0v+P0v-v0, v-P0v+P0v-v0)= (v-P0v, v-P0v )+(v-P0v, P0v-v0)+(P0v-v0,v- P0v)+(P0v-v0, P0v-v0) Sabemos que v- P0v es ortogonal a los vectores en (V0,F), entonces se obtiene que: ||v-v0||=||v- P0v||+|| P0v-v0|| entonces ||v-v0||>||v- P0v|| a menos que v0= ||v-v0||=||v- P0v||+||

Sea S={v1,...,vq} un conjunto de vectores ortogonales, entonces estos vectores son linealmente independientes. si se toma el vector 0=c1v1+...+cqvq, tenemos que saber el valor de cada ci. 0=(vi,0)=(vi,c1v1+...+cqvq)=ci(vi,vi) como (vi,vi)>0  ci=0 y son L.I.

Se sigue que si el vector proyectado v está en el espacio (V0,F), entonces P0v será el mismo v y los valores de las i será la representación del vector en la base seleccionada S.

Teorema. Sea B={v1,...vq} una base ortogonal. La representación del vector v se calcula como v=1v1+...+qvq, donde i=(vi,v)/(vi,vi) Note que si la base es ortonormal, entonces los i se calculan fácilmente

Si tenemos S={v1,...,vq} un conjunto de vetores que genera (V,F) Tomar u1=v1, desde 2 hasta q, ui=vi-Pi-1vi

Transformaciones lineales

6.1 Definición 6.2 Propiedades 6.3 Kernel e imagen de una transformación lineal 6.4 Representación matricial de una transformación lineal 6.5 Isomorfismos 6.6 Operaciones con transformaciones lineales 6.7 Algebra de transformaciones lineales

Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales. Una transformación lineal T de (V,F) a (W,G) es una correspondencia que asigna a cada vector v en V un vector w en W tal que: T(v1+v2)=T(v1)+T(v2) T(v)= T(v) Se sigue que T(0)=0, ya que T(v)=T(v+0)=T(v)+T(0) lo que implica que T(0) debe ser el cero de W.

El espacio imagen Todos los vectores w en (W,G) tal que w=T(v) Solución. Si w es fijo, entonces existe v en (V,F) tal que T(v)=w ssi w está en la imagen de T. Se aplica Sobre Claramente el problema Solución tiene solución si T es onto.

Otro problema es si la solución es única. T(v1)=T(v2)=w Se aplica Inyectividad Claramente la solución es única si w esta en la imagen de T y T es inyectiva. T(v1)=T(v2)  T(v1)-T(v2)=0  T(v1-v2)=0 También T tiene kernel.

Más propiedades de las transformaciones lineales T(u-v)=T[u+(-1)v]=T(u)+T[(-1)v]=T(u)+(-1)T(v)=T(u)-T(v) T(1v1+...+nvn)= 1v1+...+nvn Esto se puede ver por asociatividad e inducción Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1,...vn} y T1, T2 dos transformaciones lineales. Si T1(vi)=T2(vi) para todo vi en B, entonces T1(v)=T2(v) para v en (V,F). Demo, como cualquier vector de (V,F) se escribe como v= 1v1+...+nvn, entonces T1(v)=T1(1v1+...+nvn)= T1(1v1)+...+T1(nvn)=T2(1v1)+...+T2(nvn)=T2(v)

Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1,...vn} y (W,G) un espacio vectorial que contiene a los vectores w1,...,wn, entonces existe una única transformación lineal tal que T(vi)=wi, para vi en B. Demo. Como cualquier vector de (V,F) se escribe como v= 1v1+...+nvn, entonces T se define como T(v)=1w1+...+nwn T será una transformación lineal T(u+v)=T[(1v1+...+nvn)+(1v  nvn)]= =T[(1+1) v1+...+( n+n) vn] Por la definición de T, = (1+1) w1+...+( n+n) wn=T(u)+T(v)

De igual forma T(u)=T[(1v nvn)] Por la definición de T, 1w nwn= T(u) Por teorema anterior se tiene la unicidad Tarea: Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal. Demsotrar que el kernel de T es un subespacio de (V,F) y que la imagen de T es un subespacio de (W,G).

Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal. Nulidad de T = (T) =dim (Ker (T)) rango de T = (T) = dim (Im (T)) Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal. (T)+ (T) = dim (V,F) Demo. Suponer que (T)=r y que {v1,...vr} es una base para el kernel; además (T)=k y {w1,...wk} es una base para la imagen de T. Entonces hay que demostrar que B={v1,...,vr,u1,...,uk}

Sea un v que pertenece a (V,F). Como T(v)= 1w1+...+kwK Al Vector v lo podemos escribir como v= 1u1+...+kuK-v’  v´= 1u1+...+kuK-v T(v’)=T(1u1+...+kuK-v)= 1T(u1)+...+kT(uk)-T(v) = 1w1+...+kwK-T(v)=0  v’ está en el kernel de T Como {v1,...vr} es una base de Kernel de T, existen escalares 1 ,.., r tal que v’= 1v rvr=1u1+...+kuK-v Por tanto v= 1u1+...+kuK- 1v rvr y {u1,...,uk, v1,..., vr} genera (V,F) Ahora hay que ver que sean L.I.

Sea un vector 1u kuK+ 1v rvr=0 Entonces T(1u kuK+ 1v rvr)=0 Como los vi están en el kernel  0= 1w kwK, como los wi son una base de la magen, entonces son L.I. y la única solución es i=0 Entonces el vector se reescribe como 1v rvr=0 , como los vi son una base para el kernel son L.I., entonces la única solución i=0 y los vectores son L.I. y por lo tanto es una base y la dimensión de (V,F) es (T)+ (T) = dim (V,F)

Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) , entonces existe una única matriz A (dim(v), dim(W)) tal que T(x)=Ax A est la matriz de transformación correspondiente a T. Demo sea B={e1,...,en} la base canónica en (V,F) T(ei)=wi Se puede formar la matriz A=[w1 wn] entonces Aei=wi (T(ei)=wi) En general T(x)=T(1e nen)= 1w nwn También Ax=A[1e nen]= 1w nwn =T(x)

Suponer que T(x)=Ax=Bx  (A-B)x=0, para x=ei (A-B)ei=0  que la i-ésima columna de (A-B) es cero, por lo que las matrices son iguales y A es única. Teorema Sea A la matriz de transformación correspondiente a T, entonces i) Im T  Im A, pero isomorfo ii)(T)=(A) iii)Ker TKer A, pero isomorfo iv)(T)=(A)

Teorema. Sean (V,F), (W,G) dos espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. Sea T(V,F)(W,G) una transformación lineal. Sean B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} las bases de los espacios respectivamente. Entonces existe una única matriz A (m,n) tal que: [T(x)]B2=A(xB1) [T(x)]B2la representación de T(x) en B2 T(x)= 1w mwm  [T(x)]B2=[1 ... m]T xB1 es la representación del vector en B1 La matriz A se conoce como la matriz de transformación correspondiente a T con respecto a las bases B1 y B2

Considere los vectores T(v1, ...,T(vn), escríbase A=[[T(v1)]B [T(vn)]B2] Como AviB1=Aei= [T(vi)]B2 y xB1 es la representación del vector en B1, i.e. [1 ... n]T entonces A xB1=[[T(v1)]B [T(vn)]B2] xB1= 1[T(v1)]B2+...+[T(vn)]B2]n Por otro lado T(xB1)=T(1v1+...+nvn)= 1T(v1)+...+nT(vn) Al poner cada uno de estos vectores en la representación de la base B2 se obtiene que: A xB1= T(xB1) La unicidad es similar al teorema anterior

Teorema.- Sea A (m,n) la matriz de transformación correspondiente a T:(V,F)(W,G) con respecto a las bases B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} respectivamente. Suponga que hay otras bases B1’={v1’,...,vn’} y B2’={w1’,...,wm’} de los espacios respectivos. Entonces la matriz A’ correspondiente a la misma transformación T con respecto a las bases B1’ y B2’ está dada por: A’=P-1AQ P es la matriz de transición (de paso) de la base B2’ en B2 Q es la matriz de transición (de paso) de la base B1’ en B1

Demo. Sabemos que [T(x)]B2=AxB1 Ahora, xB1=QxB1’ y [T(x)]B2=P[T(x)]B2’ Por tanto P[T(x)]B2’=A QxB1’ [T(x)]B2’=P-1A QxB1’ A’=P-1AQ es la matriz de transformación

En especial, si (V,F) y (W,G) son los mismos, entonces A’=P-1AP Definición. Se dice que dos matrices cuadradas A y B son similares si existe una matriz P no singular (determinante diferente de cero) tal que B=P-1AP

Transformaciones T Inyectiva  Kernel T = {0} Sobre Teorema. T:VW una transformación lineal y dim v=n y dim w=m i) si n>m,  T no es inyectiva ii) si m>n  T no es sobre Demo. Tarea.

Definición. Una T.L es un Isomorfismos ssi es inyectiva y sobre. La matriz de un isomorfismo es invertible. Definición. Se dice que (V,F) y (W,G) son isomorfos ssi existe un isomorfismo entre ambos Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces (V,F) y (W,G) son isomorfos si dim (V,F)=dim (W,G) Demo. Obtener bases para cada uno. Entonces quedan representados en (Rn,R). Como son bases en el mismo espacio, existe una matriz de cambio de base A. por teoremas anteriores existe una T.L. asociada a A que es un isomorfismo. Si existe el isomorfismo entre las representaciones, lo existe entre los espacios.

Corolario. Cualquier espacio de dimensión n es isomorfo a (Rn,R) Teorema. Si T:(V,F)(W,G) es un isomorfismo i) Si {v1,...vn} genera (V,F), entonces {T(v1),...,T(vn)} genera (W,G) ii) Si {v1,...vn} son L.I., entonces {T(v1),...,T(vn)} son L.I. iii) si {v1,...vn} es una base, entonces {T(v1),...,T(vn)} es una base. Demo. i) v=1v nvn  T(v)=w=1T(v1) nT(vn)  {T(v1),...,T(vn)} genera (W,G) iii) Suponga que 0=T(v)=w=1T(v1) nT(vn) , entonces T(1v nvn)=0, como T es isomorfismo T(0)=0 es el único. Entonces 1v nvn=0, pero como son L.I.  i=0 y por tanto {T(v1),...,T(vn)} son L.I. iii) se sigue de anteriores.

Prop. Si T:(V,F)(W,G) es un isomorfismo, entonces para todo vector wW existe un único vector v V tal que T-1(w)=v, donde T-1:(W,G)(V,F) es conocida como la transformación inversa de T. Demo. 2 partes T-1 es T.L. y T-1(w)=v único T(v1)=w1;  T-1(w1)=v1; T(v2)=w2 T-1(w2)=v2 T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)=w1+w2  T-1(w1+w2)=v1+v2 T(v1)= T(v1)= w1  T-1(w1)= v1 Como T es isomorfiso, la definición de T-1 hace que exista un único valor de regreso. Nota. T es T.L.  A es su operador T-1 es la inversa de T, entonces A-1 es el operador de T-1

Operaciones con transformaciones lineales Sean (V,F) y (W,F) dos espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Hom(V,W) es el conjutno de todas las transformaciones lineales entre (V,F) y (W,F). Sean T1 y T2 dos T.L. entre (V,F) y (W,F) Se define la suma T1+T2 como T1+T2:VW (T1+T2)(v)=T1(v)+T2(v) para todo F, T1 es (T1)(v)=T1(v)

El conjunto Hom(V,W) definido anteriormente es un espacio vectorial sobre el campo F. Demo. Tarea.

Algebra de Transformaciones lineales
Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3  A y  F: T1(T2+T3)=T1T2+T1T3 (T2+T3)T1=T2T1+T3T1 (T1T2)=(T1)T2=T1(T2) Si además se cumple que (T1T2)T3=T1(T2T3) entonces A es un álgebra asociativa

Algebra de Transformaciones lineales
Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1:VU y T2:UW dos transformaciones lineales. Se define la composición de T2 seguida de T1 T2T1 como la función de V a W (T2T1) :VW tal que (T2T1)(v)=T2(T1(v)) Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2T1 también lo es. Demo. Sean u,v V y ,  F, entonces (T2T1)(v+u)=T2(T1(v+u))=T2(T1(v)+T1(u)) =  (T2T1)(v)+ (T2T1)(u) (T2T1) es T.L. Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.

Adicional de Transformaciones lineales
Sean A, B dos matrices de qxn y nxp con coeficientes en el mismo campo. Entonces (A)+(B)-n  (AB)  min((A), (B)) Demo (A) R(A) R(AB) (B) R(B) d p n n(A) n(B)

Adicional de Transformaciones lineales
De la figura (AB)min((A), (B)). También (AB)= (B)-d (la intersección de R(B) y n(A). La dimensión de n(A)=n- (A)  d n+ (A) y se sigue que (AB) (A)-n+ (B) Si B es no singular (A)+(B)-n = (A)  (AB)  min((A),n) = (A) (A) R(A) R(AB) (B) R(B) d p n n(A) n(B)

4. Valores y vectores propios

Valores y vectores propios
Definición y propiedades Teorema de Cayley-Hamilton Diagonalización de matrices

Definición. Sea V un espacio vectorial y T:VV una transformación lineal del espacio en sí mismo. Sea vV un vector diferente de cero pa el cual existe un escalar  tal que T(v)=v, entonces se dice que  es un valor propio de T y que v es un vector propio de T asociado a .

Cuando V es un espacio de dimensión finita, la transformación T la podemos representar como una matriz A de n,n. Entonces podemos redefir los valores y vectores propios de la siguiente forma. Definición. Sea A una matriz de n,n. El escalar  se denomina valor propio de A si existe un vector x diferente del nulo, tal que Ax= x nuevamente x es el vector propio asociado a .

Teorema. Sea A una matriz de n,n. Entonces  es un valor propio de A ssi det(I-A)=0 Demo. Sólo si. Suponga que  es un valor propio de A; entonces existe un vector x diferente de cero tal que Ax= x  (I-A)x=0, como x diferente de cero  (I-A) es singular  det(I-A)=0

(si). Si det( I-A)=0  ( I-A) es singular  ( I-A)x=0 tiene soluciones diferentes de cero, entonces existe x diferente de cero tal que Ax= x.

Definición. La ecuación det(I-A)=0 se conoce como ecuación característica de A, y el polinomio p()=det(I-A) Observe que p()=(det(I-A)=a0+a1+...+an  por el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n tiene n raíces (contando multiplicidades). p()=(det(I-A)=a0+a1+...+an= (- 1)r1...(- m)rm Los número ri son la multiplicidad algebraica de los valores propios de 1,..., m.

Teorema. Sea  un valor propio de A y E={x|Ax= x}. Entonces E es un subespacio vectorial de Cn Nótese que E son las soluciones de (I-A)x=0, es decir el kernel de un operador lineal  es un subespacio vectorial.

Definición. Sean  un valor propio de A. Entonces E se denomina espacio propio de A correspondiente a . Definición. Sea E el espacio propio de A debido a . A la dimensión de E se le conoce como multiplicidad geométrica de . Multiplicidad geométrica de =dim E=dim{Ker (I-A)}

Ejemplos y procedimientos de cálculo. 2 -1 -4 4 -2 1 1 -1 2

Teorema. Sea  un valor propio de A. Entonces se cumple que la multiplicidad geométrica de multiplicidad algebraica de 

Teorema. Sean 1, 2, ..., m valores propios diferentes de A (n,n), donde mn y sean x1, x2,..., xm sus vectores propios correspondientes. Entonces x1, x2, ..., xm son linealmente independientes. Demostración. Suponga que {x1,...,xm} son L.D. y que xs es el primer vector L.D. de los previos xs=1x1+2x2+...+s-1xs-1 Multiplicando por A Axs= 1Ax1+2Ax2+...+s-1Axs-1

sxs= 1 1 x1+2 2 x2+...+s-1 s-1 xs-1 Restando ecuaciones y multiplicando por s se tiene 0=1(1-s)x1+2 (2-s) x2+...+s-1 (s-1-s)xs-1 Como xs es el primer vector L.D. entonces 1(1-s)=2 (2-s)=...=s-1 (s-1-s)=0 como is  i=0  xs=0, lo cual contradice la suposición  las vectores son L.I.

Teorema. La matriz A (n,n) tiene n vectores propios L.I. ssi la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. Tarea (Grossman, pag 545)

Definición. Sea F(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn un polinomio y A una matriz cuadrada Se define el polinomio f(x) en la matriz A como: F(A)=a0I+a1A+a2A2+...+anAn Sy f(A) es igual a la matriz cero, entonces se dice que A es raíz (o cero) del polinomio f(x). Sea F() (n,n) una matriz polinomial en la variable , i.e. F()=F0+F1+...+Fmm= F()=F0+F1+...+mFm donde F0, F1,...,Fm son matrices cuadradas reales.

Se dice que F() es de orden n; y si Fm0, entonces F() es de grado m. Además F() se dice regular si det(Fm)0 Definicion. Sean F() y G() matrices polinomiales de orden n., y G() es regular. Las matrices polinomiales Q() y R() se conocen como cociente derecho y residuo derecho respectivamente de F() dicidida por G() si F()= Q() G() + R() y si el grado de R() es menor que el grado de G() [R() puede ser cero]

De manera similar se pueden definir el cociente izquierdo y residuo izquierdo Sea A (n,n) y denota F(A) la evaluación por la derecha de A en la matriz polinomial F() , esto es, si F()=F0+F1+...+Fmm= F()= F0+F1A+...+FmAm

Teorema. Si la matriz polimial F() es dividida por la derecha por la matriz (I-A) entonces el residuo es F(A), y si es dividida por la izquierda por (I-A) entonces el resiudo es F’(A) (por la izquierdA). Demostración. Tarea. (teorema generalizado de Bezout, Grantmatcher, pag 81)

Corolario. La matriz polinomial F() es divisible por la derecha por la matriz (I-A) sin residuo (R()=0) ssi F(A)=0 (De manera similar se puede hacer por la izquierda) Teorema (Cayley-Hamilton). Toda matriz A (n,n) es raíz de su polinomio característico. Demostración. P()=det(I-A)=a0+a1+...+n Hay que mostrar que P(A)=0

de teoremas previos (I-A)adj(I-A)=det(I-A)I=[adj(I-A)](I-A) Lo cual puede verse como P()=(I-A)Q()=Q()(I-A) donde Q()=adj(I-A) es una matriz polinomial en  y P()=det(I-A)I=a0I+a1I+...+nI como P() es divisible por la derecha y por la izquierda por (I-A) sin residuos, entonces P(A)=a0I+a1AI+...+AnI

Definición. Se dice que el polinomio F() es un polinomio aniquilador de la matriz A (n,n) si F(A)=0 (p.e. el polinomio característico de A) Definición. Al polinomio aniquilador mónico Q() de A de menor grado se le conoce como polinomio mínimo de A.

Diagonalización de matrices
Definición. Se dice que A (n,n) es diagonalizable (bajo similaridad) si existe una matriz no singular P tal que P-1AP es diagonal

Teorema. La matriz A (n,n) es diagonalizable ssi tiene n vectores propios linealmente independientes Si 1, 2, ..., n son los valores propios de A y los vectores propios x1, x2, ..., xn correspondientes a estos valores propios son linealmente independientes, entonces P-1AP=diag{1, 2, ..., n}, donde P=[x1 x Xn]

Demostración. (si) Suponga que A tiene n vectores propios L.I. x1 x xn correspondientes a los valores propios 1, 2, ..., n (algunos pueden ser repetidos). Sea P la matriz [x1 x xn], entonces AP= [Ax1 Ax Axn]= [1x1 2x nxn] = [x1 x xn]diag{1, 2, ..., n} =Pdiag{1, 2, ..., n} Como P es no singular  tiene inversa P-1AP=diag{1, 2, ..., n}

Demostración. (sólo si) Suponga que existe una matriz no singular P tal que P-1AP=diag{1, 2, ..., n} AP=Pdiag{1, 2, ..., n} Para cada xi de P se tiene que: Axi= ix  xi es vector propio de A i es valor propio de A P es no singular  A tiene n vectores propios L.I.

Corolario. La matriz A (n,n) es diagonalizable ssi la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. En particular A es diagonalizable si todos sus valores propios son distintos

Teorema. Si A y B son similares, entonces tienen el mismo polinomio característico, y por consiguiente los mismos valores propios. Demo. det(I-B)=det(I-P-1AP)=det(P-1P-P-1AP)=det(P-1(I-A)P)=det(P-1)det(I-A)det(P)=det(I-A)

Teorema. Si A y B son similares, i.e. existe una matriz no singular tal que B=P-1AP. Entonces: i) Bk=P-1AkP ii)Si f(x)=a0+a1x+...+anxn es un polinomio cualquiera, entonces f(B)=P-1f(A)P

Demo Bk=(P-1AP)k= =(P-1AP)(P-1AP)...(P-1AP)= P-1AkP ii)Si f(B)=a0I+a1(P-1AP)+...+an(P-1AnP)= =P-1(a0+a1A+...+anAn)P=P-1f(A)P

1 2 3

Tiene dos propio valores 1=1, 2=2 con multiplicidades algebraicas 2 y 1 y geométricas 1 y 1 respectivamente  no es posible diagonalizar A, pero ¿es posible encontrar una bse donde A sea casi diagonal?

Definición.- Un vector v es llamado un vector propio generalizado de rango k de A asociado con  iff (A- I)kv=0 (A- I)k-1v0 Note que si k=1 coincide con vector propio

Definición.- vk=v  vector propio generalizado vk-1=(A-I)v=(A-I)vk vk-2=(A-I)2v=(A-I)vk-1 ... v1=(A-I)k-1v=(A-I)v2

... vk-2=(A-I)2v=(A-I)vk-1 Entonces para 1ik vi es un vector propio generalizado de rango i, por ejemplo (A-I)k-2vk-2=(A-I)k-2(A-I)2v=(A-I)kv=0 (A- I)k-1vk-2=(A-I)k-1v0

Definición.- Lleamaremos a los vectores {v1, v2,...,vk} una cadena de vectores propios generalizados si vk es un vector propio generalizado que dio origen a todos los demás vectores

Teorema. El conjunto de vectores propios generalizados v1, v2, ..., vk definidos anteriormente es L.I. Demostración.- Suponer que v1, v2, ..., vk son L.D., entonces existen soluciones diferentes de la trivial a: 1v1+2v2+...+kvk=0 Multiplicando por (A-I)k-1 y observando que vi=vk-(k-i)=(A-I)k-iv  por definición

entonces (A-I)k-1vi=(A-I)2k-(i+1)v=0 para i=1,2,...,k-1 k(A-I)k-1vk=0 y sabiendo de la def. de vector propio generalizado que (A-I)k-1vk0,  k=0 Aplicando ahora (A-I)k-2 se demuestra que k-1=0 Siguiendo esto se tiene que i=0, lo que contradice la suposición.  son L.I.

Teorema: Los vectores propios generalizados de A asociados con diferentes propio valores son L.I. Demostración. Sea v vector propio generalizado  1 vi=(A-1I)vi+1=(A-1I)k-iv Sea u vector propio generalizado  2 ui=(A-2I)ui+1=(A-2I)l-iu Del teorema anterior los vi son L.I. y los ui son L.I, falta ver que {ui}, {vi} son L.I.

Suponer que vi es L.D. en {u1,...,ul} vi=1u1+2u2+...+lul Aplicando (A-1I)i 0= (A-1I)i [1u1+2u2+...+lul ] Ahora aplicando (A-2I)l-1 y observando que (A-2I)l-1 (A-1I)i = (A-1I)i (A-2I)l-1 y el hecho de que (A-2I)l-1 uj=0, j=1,2,..., l-1 0=l(A-1I)i(A-2I)l-1ul=l(A-1I)iu1 Como (A-2I)u1=0 o Au1=2u1, la ecuación anterior se reduce a l(2-1)iu1=0

se reduce a l(2-1)iu1=0 lo cual implica que l=0. Un procedimiento similar llega a la conclusión de que todos los i=0, lo que contradice la suposición y los vectores son L.I.

Teorema. Sean u y v propio vectores de rango o y l respectivamente, asociados con el mismo valor propio . vi=(A-I)vi+1=(A-1I)k-iv ui=(A-I)ui+1=(A-2I)l-iu Si u1 y v1 son L.I.  las cadenas son L.I.

El tratar de construir la forma casi diagonal (diagonal por bloques o forma de Jordan) se convierte en un proceso iterativo. 1.- se calculan propio valores y propio vectores de la forma tradicional. 2.- Si la multiplicidad algebraica es mayor que la geométrica  tratar de encontrar una cadena lo suficientemente larga de vectores generalizados para construir los vectores L.I. independientes faltantes, de lo contrario construir cadenas más pequeñas hasta completarlos

Matrices unitarias Si P es no singular  B=P-1AP transformación de similaridad Sirven para cambio de bases Más conveniente si las bases son ortogonales y ortonormales Si {x1,...,xp} es un conjunto ortonormal  xiTxi=1 y xiTxj=0 Si hacemos que P=[x1,...,xp]  PTP=I o PT=P-1

Matrices unitarias Definición. Una matriz P (de reales) para la cual PT=P-1 tal que PTP=I, se dice ser unitaria. Teorema. a) P unitaria  el conjunto de vectores columna es ortonormal b) P unitiaria  |det(P)|=1 c) P unitaria  <PX,Py>=<x,y> d) P unitaria  si  valor propio de P  ||=1 Demo. Clara

Matrices unitarias Teorema.
Si B=P-1AP donde P es unitaria (se dice transformación de similaridad unitaria)  todo lo que se vió de propiedades de similaridad sigue valiendo.

Matrices unitarias Teorema. Si A es una matriz de pxp.
a) A es similar unitaria a una matriz triangular superior T; T=P-1AP con P unitaria y con los propiovalores de A en su diagonal principal. T es llamada la forma de Shur de A y la descomposición A=PTP-1= PTPT es la descomposición Shur de A. Demo. Si p=1 ya terminamos. Suponer que para p=k es cierto Para p=k+1 tenemos.

Matrices unitarias 1 es el propio valor asociado a x1, podemos normalizar este vector para que ||x1||2=1 Entonces x1 entra a la base que ya teníamos de propiovectores ortonormalizados {w1,...,wk} si no es otronormal a esta base, aplicamos Gram-Schmidt y tenemos la nueva base {x1,w1,...,wk} U= [x1,w1,...,wk]=[x1,W] A’=UTAU=[x1,W]TA[x1,W]=[x1,W]T[Ax1 AW]= 1 x1TAW WTAW 1 bT C =

Matrices unitarias Definición. Una matriz A de pxp es normal si ATA=AAT Teorema. A normal  D=PTAP, D es diagonal, y P es unitaria. Por tanto los propio vectores de A son p linealmente independientes

Matrices unitarias Veamos ahora el caso en que A=UVT, con U y V unitarias de pxp y qxq,  es pxq casi cero, excepto en la diagonal que vale ii=i que es un real no negativo. 4 6 2 3 2 Así son 

Matrices unitarias Claramente se tendría AV=U  Avi=iui para 1imin(p,q), dende los ui, vi son las columnas de U y V respectivamente. Además ATA= (UVT)T (UVT)=VTUTUVT=V(T)VT donde T=D=VTATAV es diagonal de qxq  que los propio vectores de ATA sirven para construir V y D tiene los valores propios D=T Similarmente para el caso AAT=U(T)UT  en este caso D= T

Matrices unitarias Definición. A la descomposición que hemos venido manejando, A=UVT, se le conoce como descomposición en valores singulares de A. Viendo lo que hicimos para la descomposición de Schur, podemos ver que la descomposición en valores singulares siempre existe. Los valores singulares de A son los i, y el número de valores no cero es el rango de A. Los ui son los vetores singulares izquierdos y los vi los vectores singulares derechos relacionados con i.

1 9 2 A= ATA propiovalores 18 y 0.  1=18(1/2) y 2=0
Un par de vectores propios de ATA normalizados son v1=[1.71/ /2]T y v2=[1.71/ /2]T Entonces V=[V1 v2]

1 2 2 4 8 A= AAT= propiovalores 18 y 0.  1=18 y 2=0
Vectores propios de AAT normalizados son u1=[1/3 2/3 2/3]T u2=[(-2)51/2/5 51/2/5 0]T u3 =[(2)51/2/15 (4)51/2/15 (-1)51/2/3 ]T Entonces U=[u1 u2 u3]

1 2 2 4 8 A= AAT= 3(2)1/2

Mínimos cuadrados Suponer que A=UVT, es la descomposición en valores singulares, donde A es de rango k. El problema es minimizar ||Ax-b||2 con respecto a x. ||Ax-b||2=||UVTx-b||2=||y-UTb||2 y=VTx  ||Ax-b||2 es mínimo cra x ssi ||y-UTb||2 es mínimo cra y. ||y-b’||22=|1y1-b1’|2+...+|kyk-bk’|2+|bk+1’|2+...+|bp’|2 b’=UTb Es minimizado si yi=bi’/i

Mínimos cuadrados Entonces para ||Ax-b||2 con respecto a x.
Encontrar A=UVT Calcular b’=UTb Calcular yi=bi’/i para 1ik, yi=0 otro caso x0=Vy y=VTx  ||Ax-b||2 es mínimo cra x ssi ||y-UTb||2 es mínimo cra y. ||y-b’||22=|1y1-b1’|2+...+|kyk-bk’|2+|bk+1’|2+...+|bp’|2 b’=UTb Es minimizado si yi=bi’/i

Algebra lineal.

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