Sesión 13: Lógica Difusa “Esto es lo vago e incierto

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Sesión 13: Lógica Difusa “Esto es lo vago e incierto. Acercate y no verás su cabeza; siguelo y no verás su parte posterior” [Lao Tzu]

Técnicas Alternativas
Lógica Difusa Conjuntos difusos Lógica difusa Reglas de producción difusas Aplicaciones Ventajas y desventajas Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar
Conjuntos Los conjuntos difusos se pueden ver como una extensión de los conjuntos “clásicos” para representar conceptos no bien definidos Conjuntos clásicos – se puede determinar sin ambigüedad si algo es miembro o no del conjunto (el conjunto es claro y preciso) Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplos – Conjuntos Clásicos
Miembros del club de tennis Números menores a 10 Persona que mide más de 1:70 m de altura Un conjunto se puede representar gráficamente mediante un diagrama de Venn o un diagrama de verdad Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Diagrama de Verdad (números menores a 10)
10 Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Conjuntos Difusos En un conjunto difuso el límite no está bien definido, los miembros pueden tener un grado de membresía en cualquier nivel – desde completamente miembro hasta no-miembro Elemplos: Jugadores de tennis Personas altas Números pequéños Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Función de Membresía (números positivos pequeños)
m(X) 1 X 10 Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Conjuntos Difusos Formalmente un conjunto difuso es una función del conjunto A, llamado dominio, al intervalo [0,1]: m : A  [0,1] El conjunto de valores de A para las cuales m > 0 es llamado el soporte de m Para cualquier elemento a Î A, m(a) es el grado de membresía de a en A – se representa gráficamente mediante la función de membresía Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Operaciones Difusas Complemento: NOT m(a) = 1 – m(a) Intersección:
m Ç l(a) = min [m(a), l(a) ] Unión: m È l(a) = max [m(a), l(a) ] Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo – “alto y bajo” m(A) “bajo” “alto” 1 A 1:70 Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo – “alto o bajo” m(A) “bajo” “alto” 1 A 1:70 Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo – “no alto” m(A) “alto” 1 A 1:70 Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Relaciones Difusas La relación difusa sobre dos conjuntos, A y B, es un subconjunto difuso sobre su producto cartesiano – a cada miembro del conjunto producto se le asigna un grado de membresía Ejemplo: B \ A Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Relaciones Difusas - Ejemplo
La relación difusa – “a es similar a b” B \ A Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Operaciones Las operaciones básicas sobre conjuntos difusos se extienden directamente a relaciones difusas La composición de dos relaciones difusas se define como: l ° m (a, b) = SupB min [m(a, b´), l(b´, c) ] Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo de Composición
Relación a-b: b1 b2 b3 b4 b5 a a a Relación b-c: c1 c2 c3 c4 b b b b b Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo de Composición
Para cada término – se toma el mínimo de cada valor del renglón de la primera matriz con la columna de la segunda, y el máximo de éstos. Por ejemplo: R(1,1) = MAX [min(0.1,0.9), min(0.2,0.2), min(0,0.8), min(1,0.4), min(0.7,0) ] = 0.4 Resultado - relación a-c: c1 c2 c3 c4 a a a Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Reglas de Producción Difusas
Extienden las reglas de producción tradicionales con la inclusión de términos difusos. Ejemplos de reglas difusas: Si el clima es caluroso entonces la alberca está llena Si el agua está fría entonces cierra ligeramente la llave Si el obstáculo está cerca entonces detente Cada término (premisa, conclusión) corresponde a un conjunto difuso. Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Inferencia Una regla difusa se puede representar como una relación difusa – expresando los valores de membresía de la conclusión para cada uno de los valores de las premisas Ejemplo: Si agua fría entonces cierra llave Temp \ Grados cierre Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Inferencia Dada una entrada, mediante una función de membresía, la función conclusión se obtiene mediante la regla de composición Regla composicional de inferencia: f(x) – función de membresía de la entrada g(x,y) – relación que expresa la regla h(y) – función de membresía de la conclusión h(y) = f ° g (y) = SupX min [ f(x), g(x,y) ] Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Inferencia - ejemplo Regla: Si agua fría entonces cierra llave Temp \ Grados cierre Entrada: agua fría Temp 10 – – 0.3 Salida: Grados cierre Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Defuzificación La “salida” de una regla difusa es un conjunto difuso En muchas aplicaciones es necesario transformar esta salida: Aproximación lingüística – se transforma en una descripción “verbal” Defuzificación aritemétcia – se extrae un valor escalar que represente al conjunto difuso Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Defuzificación Defuzificación aritemétcia – dos formas básicas: Valor máximo Centro de área (o de momentos) 1 X Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Defuzificación Para el ejemplo de la regla: Salida: Grados cierre Máximo: 90 Momentos: (0* * *0.8)/1.4 = 64.28 Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo de Reglas Difusas – control de temperatura
Reglas para el control de temperatura de una regadera (tibia): Si agua es FRIA entonces incrementar aprox. en 2 unidades Si agua es FRESCA entonces incrementar aprox. en 1 unidad Si agua es TIBIA entonces incrementar aprox. en 0 unidades Si agua es CALIENTE entonces decrementar en aprox. en 1 unidad Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo control de regadera – temperatura
m(T) 1 T Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo control de regadera – salida de control
m(C) 1 C Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo control de regadera – reglas
m(T,C) 1 T C Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo control de regadera – inferencia (OR implicito)
m(T,C) T 1 Temp Entrada C Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ejemplo control de regadera – salida
m(C) Centro de Momento 1 C Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Aplicaciones Control de procesos Sistemas embebidos (lavadoras, cámaras, etc.) Sistemas expertos difusos Percepción Robótica Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Ventajas Analogía con forma de expresión humana Simplicidad y eficiencia computacional Aplicaciones exitosas Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Desventajas Dificultad de interpretación de valores difusos (semántica no clara) Mútiples difiniciones de operadores y reglas de inferencia difusas No hay una buena justificación de operadores difusos Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Referencias L.A. Zadeh, “Fuzzy Sets”, Information and Control 8, 1965 I. Graham, P. Jones, “Expert Systems”, Chapman and Hall, 1988 – Capítulo 5 H. Zimmermann, “Fuzzy Set Theory and its Applications”, Kluwer, 1985 Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

Actividades Entrega de proyecto final Reporte escrito (formato reportes técnicos) Presentación y demo. programa (máximo 20 minutos) Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar

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