Capítulo 3: Autómatas Celulares

Presentación del tema: "Capítulo 3: Autómatas Celulares"— Transcripción de la presentación:

1 Capítulo 3: Autómatas Celulares
Introducción a la Sociomática El Estudio de los Sistemas Adaptables Complejos en el Entorno Socioeconómico. Dr. Gonzalo Castañeda Capítulo 3: Autómatas Celulares

2 3.0.- Introducción Los autómatas celulares (CA) son modelos computacionales conformados por un gran número de componentes (o células), cada uno de los cuales se comunican con una fracción relativamente pequeña de los demás componentes. Creados por J. Von Neumann y S. Ulam en los 40’s y 50’s Los CA se forman con una retícula en las que cada bloque o celda es una célula, por lo general se trata de arreglos en 1-D o en 2-D. El estado de c/célula toma valores discretos que cambian a través del tiempo en función de su propio estado y el de los objetos (o células) ubicados en una cierta vecindad. Aunque las reglas de transición hayan sido impuestas de arriba-hacia-abajo, al aplicarse a todos los agentes se genera un proceso descentralizado (de abajo-hacia-arriba) El mundo artificial “crece” a partir de condiciones iniciales especificadas por el analista: configuración de la retícula, vecindades, estados iniciales, condiciones de frontera

3 3.1 topología de un CA Con frontera: línea en 1-D, cuadrícula en 2-D
Sin frontera (periódicas): círculo en 1-D (se unen extremos de la línea), torus en 2-D (se une el N al S y el E al O) En el caso con fronteras las vecindades limítrofes no son del mismo tamaño que las centrales Retícula en 2-D: Torus

4 Vecindades de un CA Las vecindades de un CA se definen tomando como centro cada una de las células de la retícula, y su tamaño depende del número de células incluidas en un determinado radio Cuando la “visión” de la célula se considera importante para delimitar el rango de interacción el radio de la vecindad es definido por el analista A) de Von Neumman B) de Moore

5 Reglas de transición En la mayoría de los CA el conjunto de estados es binario (blanco o negro, 1 ó 0, vivo o muerto, encendido o apagado) En una vecindad Von Neumann existen 25 = 32 posibles configuraciones Como las reglas de transición se construyen con 32 argumentos y se asignan uno de los dos estado, existen 232 variedades de CA En una vecindad tipo Moore hay 29 = 512 configuraciones y posibles CA En un CA de 1-D con 3 miembros, las configuraciones posibles son 23 y el número de reglas o CA son 28. El número de variantes de un CA crece exponencialmente con el número de estados (D) y con el tamaño de las vecindades (K) : DDK

6 3.2.-Autómatas celulares en 1-D
Matemáticamente una regla de transición con una vecindad de radio 1 (K =3) se define: Una regla para este tipo de CA sería Di-1(t) Di(t) Di+1(t) Di(t+1) 1

7 Representación gráfica de un CA en 1-D
Representación Matemática

8 Al graficar en renglones sucesivos los diferentes estados alcanzados por el CA de 1-D se visualiza su evolución a través del tiempo. Ejemplo cuando se inicializa con las dos células centrales activas

9 El triángulo de Sierpinski
Al aplicar la regla 90 a un CA de 1-D se logra simular el triángulo de Sierpinski (topología es un círculo, célula encendida = color amarillo) La célula se apaga en t+1 para cualquier célula que está apagada o encendida en t cuando no existe alguna otra célula encendida en su vecindad (muerte por aislamiento) La célula también se apaga en t+1 para cualquier célula que está apagada o encendida en t cuando las otras dos células en su vecindad están encendidas (muerte por saturación). Cuando sólo una célula esta apagada o sólo una está encendida la célula central se enciende en t+1 o se deja encendida si ya lo estaba.

10 Simulación en NETLOGO: Model Library → Sample Models → Computer Science → Cellular Automata → CA 1D Simple Examples → CA 1D Rule 90

11 3.3.- El Juego de la Vida Creado en los 60’ por John Comway: analizar la capacidad de auto-reproducción; entendida como la creación de programas (información a procesar) a partir de programas con estructuras de información –datos e instrucciones- similares (i) una célula viva muere cuando se encuentra aislada, es decir, cuando está rodeada por menos de dos vecinos; (ii) una célula viva muere cuando existe sobrepoblación, es decir, cuando tiene más de tres vecinos; (iii) una célula nace cuando está vacía (sin existencia) y tiene tres vecinos con vida; (iv) en todos los demás casos (exactamente dos vecinos) la célula no modifica su estado.

12 Matemáticamente: Aislamiento: Stasis: Reproducción: Sobrepoblación Objetos que se pueden crear son muy variados: (i) estáticos (boat, block): (ii) periódicos (blinker, toad): (iii) móviles (Glider, Lightweight spaceship)

13 Tumbler: ejemplo de objeto periódico
La configuración inicial se auto-reproduce cada 12 periodos

14 la celda (f4) se mantiene en negro por efecto de stasis,
la celda (c3) pasa de negra a blanca por el efecto de la sobrepoblación; la celda (e2) pasa de negro a blanca por efecto del aislamiento; la celda (f1) se vuelve negra por efecto de la reproducción.

15 Se siembran aleatoriamente 35% de células vivas (color rojo)
Simulación en NETLOGO: Model Library → Sample Models → Computer Science → Cellular Automata → Life Se siembran aleatoriamente 35% de células vivas (color rojo) Por lo general cuando avanza la “vida” se llega a una situación estacionaria Pero esta puede crecer ininterrumpidamente (Gosper Glider Gun) Otras opciones disponibles en internet:

16 * El juego de la vida y la computación universal
Tiene la capacidad de realizar cualquier tipo de computación. Distintas configuraciones de un CA = códigos de instrucciones y datos de un programa. Regla de transición = sistema operativo que indica la forma de ejecutar el programa Distintos objetos o estructuras de información (i.e., glider, glider guns) se pueden asociar a operadores lógicos (and, or, not) Todas las combinaciones de operaciones lógicas se pueden construir en el juego de la vida.

17 3.4.- El Juego de las Mayorías
Se trata de un CA de 2-D en donde las opiniones de un individuo se modifican en función del sentir mayoritario (presión social). Aplicaciones: formación de opiniones y actitudes, propagación de gustos, modas o normas sociales, intención de voto de los individuos. El estado suele ser binario ( cerveza o vino, Chelsea o Barcelona, güeras o trigueñas, pelo largo o corto) En el caso contrario

18 En NetLogo : Model Library → Sample Models → Social Science → Voting.*
El sembrado inicial es aleatorio (azul y verde), conforme avanza la corrida se forman clusters en donde la opinión marginal adopta la posición mayoritaria (en la frontera se ubica el voto dividido) Otras reglas: (i) en caso de empate hay cambio de color, (ii) el voto de la célula central se le da al perdedor cuando hay una relación 5 a 3; (iii) agentes heterógenos con diferentes criterios para cambiar la decisión del voto ¿Es posible que las opiniones cambien de manera permanente?, ¿De qué depende el tamaño de los clusters? Cuando se toma un color aleatorio en caso de empate es posible generar una posición homogénea en todo el espacio (Gilbert y Troitzch).

19 3.5.- Reglas probabilísticas
Sembrado inicial aleatorio pero el modelo es considerado determinístico. Modelo estocástico requiere de reglas probabilísticas (se aplican en unos casos y en otros no) o introducir contingencias no previstas que afecten el entorno y las acciones Regla determinística: Regla estocástica:

20 CA estocástico en 1-D NETLOGO: Model Library → Sample Models → Computer Science → Cellular Automata → CA Stochastic.* Con reglas determinísticas el 100% ó 0% de las veces se aplica “on” en las 8 configuraciones posibles Con reglas estocásticas se elige un porcentaje entre estos números (puede ser diferente para c/configuración) El indicador de entropía (probabilidad de que se repitan secuencias) (orden = 0, caos = 1 todas las secuencias tienen la misma probabilidad de aparecer) En la simulación se aprecia que el tipo de regla sí importa.

21 Regla estocástica (default)
Regla determinística (100% siempre ‘on’ en primera columna y 0% en segunda columna)

22 Modelo del chisme o rumor Model Library → Sample Models → Social Sciences → Rumor Mill.*
Una vez que un individuo conoce un chisme (idea, innovación actitud) lo divulga en su vecindad a través del contacto cotidiano La persona que conoce el chisme escoge un vecino al azar para pasárselo (el chisme nunca se olvida) En la pantalla el tono de color verde indica cuantas veces se ha oído el mismo chisme. ¿Por qué la transmisión se da en todas direcciones pero de manera irregular?

23 3.6 Vecindades extendidas
En ocasiones conviene representar a individuos con ‘visiones’ diferencidas Comportamientos heterogéneos: (i) por actitudes (grado de parroquianismo → connotación social); (ii) por disponibilidad de recursos (conseguir información distante→ costos de transacción) En los modelos de formación de opiniones el grado de influencia varía en función del distanciamiento (físico o social) Modelo de ‘impacto social’ de Latané (opresores y partidarios): (a) efecto de la reciprocidad; (b) ‘fuerza’ de la persuación

24 Modelo de impacto social Community Models (SITSIM) http://ccl
La opiniones iniciales se siembran aleatoriamente, el observador define el ponderador que todos los agentes asignan a su propia opinión vis-a-vis el resto ( 0 = fuerza de los demás es muy reducida) El cambio de color ocurre cuando el indicador de influencia de los opositores es mayor al de los partidarios ¿Por qué la opinión minoritaria no desaparece? ¿por qué se forman islas? ¿ ¿qué sucede cuando se da mucho peso a la opinión propia?

25 3.7 Diseminación cultural
¿La interacción social conduce a la homogeneidad cultural? CA de Axelrod: estados descritos a través de vector multivariado y número finito de valores. No hay telepatía social, comunicación requiere similitud cultural (religión, lenguaje, ideología) A mayor similitud mayor interacción, a mayor interacción mayor similitud Célula A (2,7,4,4,0), célula B (3,7,5,4,1) 40% de similitud: variantes 7 y 4 en 2o y 4o lugar.

26 * El modelo de Axelrod CA 10 x 10, vecindades Von Neumann
Vector culrural sembrado aleatoriamente con 5 elementos culturales y 10 variantes culturales Regla de transición: (i) se activa al azar una célula y se elige aleatoriamente a vecina (ii) células interactúan con probabilidad definida a partir del grado de similitud. Interacción: cambia variante de elemento cultural diferente en célula central En vectores (2,7,4,4,0) y (3,7,5,4,1) cambia 2 por 3 si primer elemento es elegido

27 * Patrón emergente Coexisten convergencia cultural local y polarización cultural global Cierto número de corridas con este escenario en los demás hay homogeneidad (a) inicial (b) 80, iteraciones

28 * Axelrod en Netlogo Modelo de Diseminación cultural disponible en “Community Models” Resultados: afinidad cultural es paulatina y regiones culturales en devenir histórico Secuencia de una corrida:

29 Entre más variantes culturales mayor número de regiones culturales
Entre más elementos culturales menor número de regiones culturales Intuición: existen mayores posibilidades de encontrar variantes afines ¿Qué pasa si cambia el tamaño del territorio? (a) con 15 variantes (b) con 20 variantes

30 3.8.- Los autómatas celulares y el umbral del caos
¿Por qué en el juego de la vida se pueden crear objetos estáticos, periódicos y móviles? Langton estableció la conexión entre las transiciones de fase de la materia y la computación (capacidad de almacenar información y ejecutar instrucciones) → ‘umbral del caos’ ¿Existe también un umbral del caos en la vida misma? Transición entre una sociedad industrial y una post-industrial → cambios tecnológicos, institucionales y culturales S, Wolfram: los autómatas celulares tienen una gran similitud con fenómenos físicos representados a través de sistemas de ecuaciones no lineales

31 Clases de Wolfram en los CA de 1-D
(i) Clase I :“punto de atracción”, células del autómata terminan por alcanzar un arreglo homogéneo (todas vivas o muertas) en uno o dos periodos. (ii) Clase II: se converge a un escenario periódico o estado estacionario en el que los mismos patrones se repiten cada determinado ciclo. (iii) Clase III: situación caótica; a lo largo de la simulación se producen movimientos erráticos en los que no es posible identificar patrón alguno. (iv) Clase IV: entorno de gran complejidad; se combinan burbujas que se comportan cíclicamente y objetos que crecen y al combinarse entre si dan origen a nuevas estructuras en una dinámica muy creativa (juego de la vida)

32 Categorías de CA en 1-D NetLogo: Library → Sample Models → Computer Science → Cellular Automata → CA 1D Elementary. El programa ofrece la posibilidad de elegir el porcentaje de células vivas y el número de regla de transición a aplicar A continuación se presenta el caso de una densidad de vivas del 10% Clase I: Homogéneo: después de una fase de transición eventualmente todos viven o mueren (regla 255)

33 Clase II: Periódico: el patrón se repite periódicamente en el espacio o en el tiempo. (regla 59)
Clase III: caótico: el patrón crece de manera anárquica con pequeñas islas de orden (regla 161) Clase IV: complejidad: comportamientos locales estables y objetos que se transforman (regla 73)

34 Categorías en un modelo de crecimiento con ecuaciones no-lineales
El modelo (P(0) = 0, C = 5000: (a) ‘Punto de atracción (l = 1) (b) ‘Atractor periódico’ (l = 2) (ib’) Ciclos irregulares (l = 2.5) (iv) ‘trayectoria caótica’ (l = 3)

35 Lambda de Langton Wolfram detectó una categoría adicional a la establecida en sistemas matemáticos no-lineales: (Clase IV) Peró Langton planteó que esa categoría tiene características especiales La lambda (l) define la probabilidad de que cualquier célula de la reticula está muerte en el periodo siguiente (0 → Clase I, 0.5 → Clase III); la Clase IV en una región intermedia. Matemáticamente en donde N = total de configuraciones de la regla de transición que conducen a un estado muerto. Analogías: (Sólidos → Transición de Fase → Líquidos) (Clases I y II → Clase IV → Clase III); (Orden → Complejidad → Caos); (se detiene la operación del algoritmo → indecisión → no se detiene la operación del algoritmo).

36 * Crítica a Langton Difícil capturar a través de un parámetro (l) un fenómeno multi-dimensional Si una regla (110) está en la región de complejidad ¿qué sucede con las reglas vecinas? No hay coincidencia entre Wolfram y Langdon 3 reglas vecinas caóticas, 5 restantes estacionarias “umbral del caos”; en realidad existen diversos bordes o fronteras

37 Para un CA con D = 2, k = 3 se tienen 32 reglas caóticas y 6 complejas para una l de .44 y .46 en promedio, respectivamente → complejidad en el umbral del caos Inferencia de Langton tiene sentido en el agregado pero no en los casos individuales Cabe notar que para l = 3/4, 1/2 se dan cualquiera de los tres comportamientos (punto fijo, ciclos, caos) → no es posible identificar cambios en l con transiciones. Reglas complejas están al lado de comportamientos caóticos, pero no necesariamente en la frontera del caos existen comportamientos complejos “Umbral del caos”, aunque no validado científicamente es todavía útil como metáfora