ERROR CUADRÁTICO MEDIO DE UN ESTIMADOR (SIMULACIÓN)

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1 ERROR CUADRÁTICO MEDIO DE UN ESTIMADOR (SIMULACIÓN)

2 ¿? SIMULACIÓN Y MÉTODOS DE MONTE CARLO: APLICACIONES
Comparación por Monte Carlo de dos estimadores. ¿? m.a.s. natural B m.a.s. artificiales

3 Notemos que estas estimaciones del ECM son fuertemente consistentes, pues son valores de los correspondientes estimadores del ECM de los estimadores considerados de la media poblacional. Dichos estimadores del ECM convergen al ECM verdadero como consecuencia del teorema de Khintchine.

4 Normal (2,1) Exponencial (1) Chicuadrado (5)
Elegiríamos el estimador con mínimo ECM estimado, probando con diferentes escenarios controlados. Tabla. Resultado de un estudio de simulación que compara dos posibles estima-dores de : media muestral y mediana muestral , estimando por Monte Carlo sus ECM en diferentes escenarios controlados. Normal (2,1) Exponencial (1) Chicuadrado (5) 0, ,1324 0, ,1607 1, ,5273 0, ,0295 0, ,1109 0, ,6823 0, ,0161 0, ,1005 0, ,5245 Nota. Los contextos exponencial y chicuadrado no son adecuados para la mediana muestral (como estimador de la media) por su falta de simetría.

5 #Y MEDIANA(2) MUESTRAL. CASO NORMAL. #DIRECTAMENTE
#ESTIMACIÓN POR MONTECARLO DEL ECM DE DOS ESTIMADORES DIFERENTES DE MU: MEDIA(1) #Y MEDIANA(2) MUESTRAL. CASO NORMAL. #DIRECTAMENTE ################################################# n<-100 B<-1000 mu<-2 sigma<-1 media<-numeric(B) mediana<-numeric(B) for (i in 1:B) { muestra<-rnorm(n,mu,sigma); media[i]<-mean(muestra) mediana[i]<-median(muestra) } media1MC<-mean(media); varianza1MC<-mean((media-media1MC)^2); sesgo1MC<-media1MC-mu; ecm1MC<-sesgo1MC^2+varianza1MC; media2MC<-mean(mediana); varianza2MC<-mean((mediana-media2MC)^2); sesgo2MC<-media2MC-mu; ecm2MC<-sesgo2MC^2+varianza2MC; print(list("media1MC"=media1MC,"varianza1MC"=varianza1MC,"sesgo1MC"=sesgo1MC,"ecm1MC"=ecm1MC,"media2MC"=media2MC,"varianza2MC"=varianza2MC,"sesgo2MC"=sesgo2MC,"ecm2MC"=ecm2MC))

6 #Y MEDIANA(2) MUESTRAL. CASO EXPONENCIAL. #DIRECTAMENTE
#ESTIMACIÓN POR MONTECARLO DEL ECM DE DOS ESTIMADORES DIFERENTES DE MU: MEDIA(1) #Y MEDIANA(2) MUESTRAL. CASO EXPONENCIAL. #DIRECTAMENTE ################################################### n<-100 B<-1000 mu<-1 sigma<-mu media<-numeric(B) mediana<-numeric(B) for (i in 1:B) { muestra<-rexp(n,1/mu); media[i]<-mean(muestra) mediana[i]<-median(muestra) } media1MC<-mean(media); varianza1MC<-mean((media-media1MC)^2); sesgo1MC<-media1MC-mu; ecm1MC<-sesgo1MC^2+varianza1MC; media2MC<-mean(mediana); varianza2MC<-mean((mediana-media2MC)^2); sesgo2MC<-media2MC-mu; ecm2MC<-sesgo2MC^2+varianza2MC; print(list("media1MC"=media1MC,"varianza1MC"=varianza1MC,"sesgo1MC"=sesgo1MC,"ecm1MC"=ecm1MC,"media2MC"=media2MC,"varianza2MC"=varianza2MC,"sesgo2MC"=sesgo2MC,"ecm2MC"=ecm2MC)) #ojo, mal mediana por falta de simetría.

7 #Y MEDIANA(2) MUESTRAL. CASO CHI2. #DIRECTAMENTE
#ESTIMACIÓN POR MONTECARLO DEL ECM DE DOS ESTIMADORES DIFERENTES DE MU: MEDIA(1) #Y MEDIANA(2) MUESTRAL. CASO CHI2. #DIRECTAMENTE ################################################ n<-100 B<-1000 mu<-5 sigma<-sqrt(2*mu) media<-numeric(B) mediana<-numeric(B) for (i in 1:B) { muestra<-rchisq(n,mu); media[i]<-mean(muestra) mediana[i]<-median(muestra) } media1MC<-mean(media); varianza1MC<-mean((media-media1MC)^2); sesgo1MC<-media1MC-mu; ecm1MC<-sesgo1MC^2+varianza1MC; media2MC<-mean(mediana); varianza2MC<-mean((mediana-media2MC)^2); sesgo2MC<-media2MC-mu; ecm2MC<-sesgo2MC^2+varianza2MC; print(list("media1MC"=media1MC,"varianza1MC"=varianza1MC,"sesgo1MC"=sesgo1MC,"ecm1MC"=ecm1MC,"media2MC"=media2MC,"varianza2MC"=varianza2MC,"sesgo2MC"=sesgo2MC,"ecm2MC"=ecm2MC)) #ojo, mal mediana por falta de simetría

8 BUEN FUNCIONAMIENTO DEL MÉTODO DE MONTE CARLO
Tabla. Resultado de un estudio de simulación que estima por Monte Carlo (B=10.000) el ECM de como estimador de , en diferentes escenarios controlados, y lo compara con el ECM exacto (entre paréntesis). Uniforme (0,1) Normal (0,1) Exponencial (1) MC 0, (0,0083) 0, (0,1000) 0, (0,1000) 0, (0,0042) 0, (0,0500) 0, (0,0500) 0, (0,0017) 0, (0,0200) Uniforme (-1,1) Normal (5,(0,52)) Exponencial (0,5) MC 0, (0,0167) 0, (0,0125) 0, (0,2000)

9 #ESTIMACIÓN POR MONTECARLO DEL ECM DE UN ESTIMADOR DE MU
#CASO NORMAL Y ESTIMADOR MEDIA MUESTRAL #DIRECTAMENTE ################################################## n<-20 B<-10000 mu<-0 sigma<-1 media<-numeric(B) for (i in 1:B) { muestra<-rnorm(n,mu,sigma); media[i]<-mean(muestra) } mediaMC<-mean(media); varianzaMC<-mean((media-mediaMC)^2); sesgoMC<-mediaMC-mu; ecmMC<-sesgoMC^2+varianzaMC; print(list("mediaMC"=mediaMC,"varianzaMC"=varianzaMC,"sesgoMC"=sesgoMC,"ecmMC"=ecmMC,"ecmEXACTO"=(sigma^2)/n))

10 #ESTIMACIÓN POR MONTECARLO DEL ECM DE UN ESTIMADOR DE MU
#CASO EXPONENCIAL Y ESTIMADOR MEDIA MUESTRAL #DIRECTAMENTE ################################################## n<-20 B<-10000 mu<-2 sigma<-mu media<-numeric(B) for (i in 1:B) { muestra<-rexp(n,1/mu); media[i]<-mean(muestra) } mediaMC<-mean(media); varianzaMC<-mean((media-mediaMC)^2); sesgoMC<-mediaMC-mu; ecmMC<-sesgoMC^2+varianzaMC; print(list("mediaMC"=mediaMC,"varianzaMC"=varianzaMC,"sesgoMC"=sesgoMC,"ecmMC"=ecmMC,"ecmEXACTO"=(sigma^2)/n))

11 #ESTIMACIÓN POR MONTECARLO DEL ECM DE UN ESTIMADOR DE MU
#CASO CHI2 Y ESTIMADOR MEDIA MUESTRAL #DIRECTAMENTE ################################################### n<-100 B<-10000 mu<-8 sigma<-sqrt(2*mu) media<-numeric(B) for (i in 1:B) { muestra<-rchisq(n,mu); media[i]<-mean(muestra) } mediaMC<-mean(media); varianzaMC<-mean((media-mediaMC)^2); sesgoMC<-mediaMC-mu; ecmMC<-sesgoMC^2+varianzaMC; print(list("mediaMC"=mediaMC,"varianzaMC"=varianzaMC,"sesgoMC"=sesgoMC,"ecmMC"=ecmMC,"ecmEXACTO"=(sigma^2)/n))

12 CONTEXTO NO PARAMÉTRICO
ESTIMACIÓN DEL ECM DE LA MEDIA MUESTRAL (ESTIMADOR DE ) POR BOOTSTRAP. La muestra de partida se toma en este caso procedente de una normal (mu,sigma), por comodidad; podríamos tomarla de cualquier otra población paramétrica o incluso inventarla. Necesitamos conocer sigma poblacional para tener la referencia del ecmEXACTO y poder compararlo con su estimación por Bootstrap. n<-200 B<-10000 mu<-0 sigma<-1 media<-numeric(B) x<-rnorm(n,mu,sigma) for (i in 1:B) { muestraBOOT<-sample(x,n,replace=TRUE); media[i]<-mean(muestraBOOT) } mediaBOOT<-mean(media); varianzaBOOT<-mean((media-mediaBOOT)^2); sesgoBOOT<-mediaBOOT-mean(x); ecmBOOT<-sesgoBOOT^2+varianzaBOOT; print(list("mediaBOOT"=mediaBOOT,"varianzaBOOT"=varianzaBOOT,"sesgoBOOT"=sesgoBOOT,"ecmBOOT"=ecmBOOT,"ecmEXACTO"=(sigma^2)/n))

13 CONTEXTO NO PARAMÉTRICO
ESTIMACIÓN DEL ECM DE LA MEDIA MUESTRAL (ESTIMADOR DE ) POR BOOTSTRAP. La muestra de partida se toma en este caso procedente de una exponencial (1/mu), por comodidad; podríamos tomarla de cualquier otra población paramétrica o incluso inventarla. Necesitamos conocer sigma poblacional para tener la referencia del ecmEXACTO y poder compararlo con su estimación por Bootstrap. n<-200 B<-10000 mu<-2 sigma<-mu media<-numeric(B) x<-rexp(n,1/mu) for (i in 1:B) { muestraBOOT<-sample(x,n,replace=TRUE); media[i]<-mean(muestraBOOT) } mediaBOOT<-mean(media); varianzaBOOT<-mean((media-mediaBOOT)^2); sesgoBOOT<-mediaBOOT-mean(x); ecmBOOT<-sesgoBOOT^2+varianzaBOOT; print(list("mediaBOOT"=mediaBOOT,"varianzaBOOT"=varianzaBOOT,"sesgoBOOT"=sesgoBOOT,"ecmBOOT"=ecmBOOT,"ecmEXACTO"=(sigma^2)/n))

14 CONTEXTO NO PARAMÉTRICO
ESTIMACIÓN DEL ECM DE LA MEDIA MUESTRAL (ESTIMADOR DE ) POR BOOTSTRAP. La muestra de partida se toma en este caso procedente de una chicuadrado (mu), por comodidad; podríamos tomarla de cualquier otra población paramétrica o incluso inventarla. Necesitamos conocer sigma poblacional para tener la referencia del ecmEXACTO y poder compararlo con su estimación por Bootstrap. n<-200 B<-10000 mu<-8 sigma<- sqrt(2*mu) media<-numeric(B) x<-rchisq(n,mu) for (i in 1:B) { muestraBOOT<-sample(x,n,replace=TRUE); media[i]<-mean(muestraBOOT) } mediaBOOT<-mean(media); varianzaBOOT<-mean((media-mediaBOOT)^2); sesgoBOOT<-mediaBOOT-mean(x); ecmBOOT<-sesgoBOOT^2+varianzaBOOT; print(list("mediaBOOT"=mediaBOOT,"varianzaBOOT"=varianzaBOOT,"sesgoBOOT"=sesgoBOOT,"ecmBOOT"=ecmBOOT,"ecmEXACTO"=(sigma^2)/n))