@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 FUNCIONES Tema 6.

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2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 FUNCIONES Tema 6

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 FUNCIÓN: DOMINIO Y RECORRIDO Tema 6.1 * 1º BCS

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Definición de función Una función es toda correspondencia entre dos magnitudes de modo que a cada valor de la primera (x) le corresponde un único valor de la segunda (y). A las magnitudes que intervienen en dicha correspondencia se las llama variables. Variable independiente (x): Su valor se fija previamente. Variable dependiente (y): Su valor depende del que se fije para la variable independiente. Al conjunto de valores de la variable independiente (x) se le llama DOMINIO de la función. Al conjunto de valores de la variable dependiente (y) se le llama IMAGEN o RECORRIDO de la función. Una función se suele denotar de la siguiente manera: y=f(x)

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Ejemplo de Función 2 - 2 3 4- 4 1 4 9 16 1 DOMINIORECORRIDO X f (x)=x 2 Y

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 EJEMPLOS DE FUNCIONES EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = x 2 Si una línea VERTICAL corta a la gráfica en un solo punto es una función EJEMPLO_2 Sea la función f(x) = x 3 +x 2 - 5x +3

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 EJEMPLO_4 Sea la ecuación x = y 2 No es una función. Cada valor de x no corresponde un único valor de y. EJEMPLO_3 Sea la ecuación de la elipse: x 2 y 2 --- + --- = 1 9 4 No es una función. Si una línea VERTICAL corta a la gráfica en dos o más puntos, NO es una función.

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Para poder trabajar con ecuaciones que no son funciones, se trabajará por separado obteniéndose dos funciones distintas: EJEMPLO 1 Ecuación x = y 2 y = +/- √x f (x) = √x  Función 1 f (x) = - √x  Función 2 f(x)=√x f(x)= - √x EJEMPLO_2 Ecuación de la circunferencia x 2 + y 2 = 25 y = +/- √ (25 - x 2 ) f (x) = √ (25 - x 2 )  Función 1 f (x) = - √ (25 - x 2 )  Función 2 f(x)=√(25 – x 2 ) f(x)= - √(25 – x 2 )

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 Ejemplos prácticos de funciones El coste de producción de un número, x, de artículos: El capital obtenido al cabo de un cierto tiempo, t, a interés compuesto: La devaluación que sufre un bien al cabo de un tiempo, t: El número de bacterias tras un tiempo, t, en un cultivo: El número de osos pardos de una reserva (especies protegidas):

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 2 1 x – μ – --- -------- 1 2 σ f(x) = ---------------- e σ. √2.π Es la más utilizada en estadística. La campana de Gauss μ – σ μ μ + σ

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Ejemplo 1: Sea la función y = √ x Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que x debe ser mayor o igual que 0. El dominio de esta función es pues x ≥ 0 Dom f(x) = [0, +oo ) Ejemplo 2: Sea la función y = √ (4 – x) Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que: 4 – x ≥ 0  4 ≥ x Dom f(x) = (-oo, 4] Dominio de una función

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Ejemplo 3: Sea la función y = √ (4 - x 2 ) Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que x 2 debe ser menor o igual que 4, o sea |x| ≤ 2. El dominio de esta función es pues |x| ≤ 2 Dom f(x) = [-2, 2] Ejemplo 4: Sea la función y = 1 / (4 + x) Cuando x = - 4 el denominador se hace cero, con lo cual y no toma ningún valor real Dom f(x) = R – { – 4 }

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 Ejemplo 5 Sea la función y = - 1 / √ (4.x – x 2 ) Está claro que 4.x – x 2 no puede tomar valores negativos, y tampoco puede ser 0. El dominio de esta función es pues Dom f(x) = {x / (4.x – x 2 ) > 0} Resolveremos la inecuación: 4.x – x 2 > 0 x.(4 – x) > 0  x.(x – 4) < 0 -oo04+oo x - + + (x – 4) - - + + - + Solución:Dom f(x) = (0, 4)

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 Ejemplo 1 Sea la función y = √ – x Está claro que y no puede tomar valores negativos, y el valor más pequeño será el 0 cuando x = 0. El recorrido de esta función es pues Img f(x) = [0, +oo) = R + Ejemplo 2 Sea la función y = 4 / (x – 2) Aparentemente para cualquier valor que tome x habrá un valor de y real. El valor de y no puede ser nunca 0. El recorrido de esta función es pues Img f(x) = R – { 0 } Recorrido o Imagen

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 Ejemplo 3 3 Sea la función y = – √ – x Valga lo que valga x, habrá siempre algún valor de y. Si x es positivo, la raíz dará un valor negativo, e y tomará un valor positivo. Si x es negativo, la raíz dará un valor positivo, e y tomará un valor negativo. El recorrido de esta función es pues: Img f(x) = R Ejemplo 4 Sea la función y = 5 (x – 2) Si x vale 2, el resultado o valor de y será: 5 0 = 1. Si x es mayor que 2, el resultado será un número positivo. Si x es menor que 2, el resultado será una potencia de exponente negativo, cuyo resultado sabemos que será siempre positivo, aunque muy pequeño. El valor de y no puede ser nunca 0. El recorrido de esta función es pues Img f(x) = R + – { 0 }