MÓDULO 1 VECTORES.  CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES  Definición de vector  Cantidades escalares  Cantidades vectoriales  ÁLGEBRA VECTORIAL  Sistemas.

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1 MÓDULO 1 VECTORES

2  CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES  Definición de vector  Cantidades escalares  Cantidades vectoriales  ÁLGEBRA VECTORIAL  Sistemas de referencia  Igualdad entre vectores  Múltiplos de un vector  Adición de vectores  Productos vectoriales VECTORES

3  Cantidades vectoriales CANTIDADES VECTORIALES

4  ESCALAR Cantidades que pueden caracterizarse exclusivamente con un número CANTIDADES ESCALARES

5  VECTOR Segmento de línea dirigido. CANTIDADES VECTORIALES

6 SISTEMAS DE REFERENCIA

7  Sistema de referencia en una dimensión: Recta R 1

8 SISTEMAS DE REFERENCIA  Sistema de referencia n dimensiones: n Rectas R n

9 SISTEMAS DE REFERENCIA  Sistema de coordenadas rectangulares: Los ángulos entre los ejes coordenados son de 90°

10 SISTEMAS DE REFERENCIA 2 Dimensiones: R  Coordenadas cartesianas 2

11 SISTEMAS DE REFERENCIA 2 2 Dimensiones: R  Coordenadas polares

12 SISTEMAS DE REFERENCIA Coordenadas polares Coordenadas cartesianas x = r cos q y = r sen q r = [x + y ] q = tan (y/x) 1/2 22

13 SISTEMAS DE REFERENCIA 3 3 Dimensiones: R  Coordenadas cartesianas

14 SISTEMAS DE REFERENCIA 3 3 Dimensiones: R  Coordenadas cilíndricas

15 SISTEMAS DE REFERENCIA 3 3 Dimensiones: R  Coordenadas esféricas

16 SISTEMAS DE REFERENCIA Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas x = r cos q y = r sen q z = z r = [x + y ] q = tan (y/x) z = z 1/2 22 Coordenadas cartesianas Coordenadas esféricas r = [x + y + z ] q = tan (y/x) f = z / [x + y + z ] 1/2222 222 x = r cos q sen F y = r sen q sen F z = r cos F

17 IGUALDAD ENTRE VECTORES A = B

18 PRODUCTO POR ESCALAR x A = B 2 A = B

19 PRODUCTO POR ESCALAR (-1) A = - A

20 x ( yA ) = (xy) A = xy A (x + y) A = xA + yA 0A = 0 (-1)A = -A A / |A| = A  Propiedades PRODUCTO POR ESCALAR

21 VECTORES UNITARIOS

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23 ADICIÓN DE VECTORES = - 35 - 8

24 ADICIÓN DE VECTORES A + B A B

25 ADICIÓN DE VECTORES C = A + B C = A + B – 2 AB cos a 2 2 2

26 ADICIÓN DE VECTORES C = aA + bBA y B vectores base

27 ADICIÓN DE VECTORES C = A – B = A + (– B)

28 ADICIÓN DE VECTORES A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) 0 + A = A A + -A = 0 x (A + B) = xB + xA  Propiedades

29 ADICIÓN DE VECTORES

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31 r = x i + y j + z k  Vector de posición i, j, k  Base canónica A = A x i + A y j + A z k B = B x i + B y j + B z k A + B = (A x + B x )i + (A y + B y ) j + (A z + B z ) k  Suma por componentes C = C x i + C y j + C z k

32 ADICIÓN DE VECTORES

33

34 PRODUCTOS VECTORIALES A x B = A veces B = B veces A

35 PRODUCTOS VECTORIALES 3 x 2 = 3 veces 2

36 3 x 2 = 2 x 3 = 2 veces 3

37  Producto Escalar Producto Punto Producto Interno A B = AB cos f = AB cos f = B A..

38 PRODUCTOS VECTORIALES  Producto entre vectores unitarios i i = (1)(1) cos (0) = 1. j j = (1)(1) cos (0) = 1. k k = (1)(1) cos (0) = 1. i j = (1)(1) cos (p/2) = 0. j k = (1)(1) cos (p/2) = 0. k i = (1)(1) cos (p/2) = 0.

39 PRODUCTOS VECTORIALES A = A x i + A y j + A z k B = B x i + B y j + B z k A B = (A x i + A y j + A z k) (B x i + B y j + B z k) (A x i) (B x i + B y j + B z k)+ (A x j) (B x i + B y j + B z k)+ (A x k) (B x i + B y j + B z k)  Producto escalar..

40 PRODUCTOS VECTORIALES A B = (A x i) (B x i) + (A x i) (B y j) + (A x i) (B z k)+ (A y j) (B x i) + (A y j) (B y j) + (A y j) (B z k)+ (A z k) (B x i) + (A z k) (B y j) + (A z k) (B z k)+ = (A x B x ) + (A y B y ) + (A z B z )..........

41 PRODUCTOS VECTORIALES  Propiedades A B = B A A (B + C) = A B + A C m (A B) = (m A) B = A (m B) = (A B) m A A = A = A x + A y + A z |A | = (A A) A B = 0 A B............ 22 2 2 1/2

42 PRODUCTOS VECTORIALES

43 PRODUCTO VECTORIAL

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