Matemática Financiera

Presentación del tema: "Matemática Financiera"— Transcripción de la presentación:

1 Matemática Financiera
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Matemática Financiera Renato Eduardo Anicama Salvatierra

2 Matemática Financiera
Interés Simple

3 Mundo Utópico Mundo Simple (se usa muy poco) Mundo real simplificado Real

4 ¿Qué es la Matemática Financiera?
Es la ciencia que nos proporciona las herramientas necesarias para tomar decisiones de inversión o de crédito, a lo largo del tiempo.

5 Introducción ¿Para qué sirve la Matemática Financiera?
Para manejar flujos monetarios en el tiempo con criterio técnico ¿Qué vamos a aprender al finalizar el curso? Vamos a aprender tres cosas: A programar y administrar nuestro dinero a lo largo del tiempo. 1° 2° A manejar la “Tasa de interés”. A “tomar decisiones” de inversión, de endeudamiento o de reestructuración 3°

6 FLUJO Es la representación gráfica de una
cantidad monetaria de ingreso o egreso (inversión ó pago). Un flujo, cambia de valor cuando se desplaza a lo largo del tiempo, y sólo si, está afectado por una tasa de interés.

7 ¿ Por qué cambia de valor un flujo?
El valor de un flujo cambia solo por estar afectado por una TASA DE INTERES y al DESPLAZARSE a lo largo del tiempo.

8 Desplazamiento de un flujo Financiero
Valor Futuro Valor Presente o Valor Actual CRECE DISMINUYE

9 Interés Simple

10 Interés Simple f (i,t) I P i n =

11 S I P P i Gráfico de Interés Simple n Interés = ganancia sobre capital
Interés Simple = f (i,t) Es una función que trabaja con tasa de interés y tiempo. S Basta que la TASA sea MAYOR a cero “0” para que el flujo financiero cambie si se desplaza. I P i P n Interés = ganancia sobre capital

12 NOTACIÓN P = Stock inicial del efectivo. S = Stock final del efectivo.
i = Tasa de interés. I = Ganancia sobre el capital. n = Horizonte temporal.

13 Ejemplo # 1 I = US$ 5,400 ¿Cuál será el interés generado por una
inversión de US$ 15,000 durante 3 años a una tasa de interés del 12%? DATOS: I = ? P= US$ 15,000 n = 3 años i = 12% I = Pin I = 15,000 * 3 * 0.12 I = US$ 5,400

14 Ejemplo # 2 ¿Qué interés dará un capital de US$ 50,000, colocado al 5% mensual durante 2 años? Datos: I = ? P = US$ 50,000 i = 5% n = 2 años = 24 meses I = P i n I = 50,000 * 0.05 * 24 I= US$ 60,000

15 LEYES 1.- La tasa de interés “Siempre” ingresa a las
fórmulas expresada en tanto por uno, es decir, dividida entre 100. 2.- Cuando no se indica nada acerca de la tasa de interés se asume que esta expresada en términos “Anuales”. 3.- La tasa de interés (i) y el tiempo (t) “Siempre” deben estar expresados en la misma unidad de medida, y se puede transformar a cualquiera de ellos o a ambos.

16 Resultado Final = Stock Final = Valor Futuro f (i,t)
S = P + I pero recuerda que I = Pin S = P + Pin S = P * ( 1 + i * n )

17 Ejemplo # 3 S = $ 53,288.89 ¿Cuanto retiraré al cabo de 5 años
4 meses y 28 días si deposité US$ 10,000 a una tasa del 20% trimestral? n = 5 * 360 = 1800+ 4 * 30 = 28 1948 días P = 10,000 i = 0.20 90 S= P (1 + in) S= 10,000 ( * 1948) 90 S= 10,000 ( * 1948) S= 10,000 * … S = $ 53,288.89

18 Ejemplo # 4 i = 79.5334019% Si P= US$ 450,000 S= US$ 867,550.36
n = 420 días ¿Hallar la tasa de interés anual que rigió la operación? P= 450,000 n = I = S-P I = 417,550.36 La respuesta se la multiplica x 100 para darla en porcentaje i = %

19 ¿Cuanto es “S” al cabo de 2 años y 1/2? Si la tasa anual es de 50% y
Ejemplo # 5 ¿Cuanto es “S” al cabo de 2 años y 1/2? Si la tasa anual es de 50% y P = $ 100 P = $ 100 i = 50% = 0.50 n = 2 ½ = 2.5 S = 100 ( * 2.5) S =$ 225

20 Ejemplo # 6 Si P = $ 125,000 n = 10 trimestres i = 10% Hallar “S”?

21 Fórmulas para cálculos a interés simple: Para hallar el interés:
S = P + I S = P + ( P i n ) S = P ( 1 + i n ) Para hallar el interés: I = S - P

22 Fin

23 Interés compuesto

24 INTERES COMPUESTO Proceso por el cual el interés generado por un capital en cada periodo definido de tiempo, se capitaliza. ¿Quien manda? La CAPITALIZACION

25 ¿Qué es la CAPITALIZACIÓN?
Cuando el interés producido por un capital durante una unidad fija de tiempo se suma al capital anterior, forma un nuevo capital. Si este nuevo saldo se vuelve a invertir, por un periodo similar a la unidad fija de tiempo, generará un nuevo interés, que sumaremos al capital anterior. La repetición de este proceso se denomina CAPITALIZACION ó acumulación.

26 Porque dice o porque la asumimos
Capitalización La Capitalización es la acción de acumular en cada frecuencia fija de tiempo el interés ganado por un capital. Antes de resolver cualquier problema de finanzas, debemos hacernos las siguientes preguntas: ¿Quién manda? La Capitalización ¿Cómo sabemos cuál es la capitalización? Porque dice o porque la asumimos

27 El dinero crece a cada frecuencia producto de la
INTERES COMPUESTO S Tasa Nominal Anual 40% Capitalización Semestral P 20% 20% 1 año El dinero crece a cada frecuencia producto de la CAPITALIZACION

28 LA CAPITALIZACIÓN 133.10 13.31 146.41 Capitalización trimestral 121 12.10 133.10 110 11 121 100 10 110 CRECIO 46.41% TASA EFECTIVA 100 10% Trimestres I II III IV 10% x 4 trimestres 40% TASA NOMINAL ANUAL

29 S = P(1+i’)n Valor futuro (Stock Final) Donde:
i’ = Tasa de interés del periodo, y está directamente vinculada a la frecuencia de capitalización.

30 Control del Tiempo y de la Tasa de Interés

31 Ojo: Cuando no se dice nada acerca de la capitalización se asume automáticamente que es diaria. Todo tiene que expresarse en la unidad de medida de capitalización.

32 Ejemplo 1: P = $ 1,000 n = 1 año. i = 40% anual
Capitalización Semestral S = $ 1,440.00

33 1.- La tasa de interés “Siempre” ingresa a las
NORMAS Ó LEYES 1.- La tasa de interés “Siempre” ingresa a las fórmulas expresada en tanto por uno, es decir, dividida entre 100. 2.- Cuando no se indica nada acerca de la tasa de interés se asume que esta expresada en términos “Anuales” y que la capitalización es diaria. (Si la capitalización no está definida se asume automáticamente como diaria). 3.- La tasa de interés (i) y el tiempo (t) “Siempre” deben estar expresados en la misma unidad de medida, pero manda y ordena la capitalización.

34 FÓRMULAS Valor Presente Tasa del período Tiempo

35 Ejemplo 2 Si P = US$ 100,000.00 n = 5 meses. TN = 8% trimestral
Capitalización mensual ¿Hallar S? S = 100,000 ( )5 S = US$ 114,063.66

36 Fin

37 Flujos Múltiples

38 Las personas y las empresas,
generalmente realizan más de una transacción a lo largo del tiempo (depósitos y/o retiros), sobre una cuenta en su banco.

39 ¿Qué entendemos por flujos multiples?
Llamamos flujos múltiples al conjunto de transacciones de entradas o salidas de dinero que ocurren a lo largo de un determinado tiempo.

40 Ejemplo Al abrir una cuenta de ahorro en el banco, se produce un ingreso de dinero (saldo a favor del que deposita); posteriormente y a lo largo del tiempo suelen ocurrir un conjunto de transacciones que incrementan o reducen el saldo (depósitos o retiros). Cuando el cliente decide cancelar su cuenta, en una fecha cierta, es fácil calcular el saldo final de todo lo actuado, considerando la tasa de interés pertinente. También es posible, conociendo el saldo final de una cuenta y las fechas y forma de como se manifestaron los flujos a lo largo del tiempo, determinar el importe con el que se abrió la cuenta.

41 Métodos Método Acumulación. Método de traslado de flujos.
Método de factores dinámicos. * Ecuación de valor

42 Método I Acumulación

43 Método de Acumulación TNA = 18% S $ 10,000 $ 12,000 $ 8,000 $ 1,000
días 120 días 60 días 30 días 60 días

44 diario Nuevo Saldo = 10,618.21 + 8,000 = $ 18,618.21
¿Qué ocurre con mi depósito inicial cuando llegue al día 120? Nuevo Saldo = 10, ,000 = $ 18,618.21 Ahora, llevamos este saldo hasta el momento en que se realizó la siguiente transacción: Como en este momento se produce un retiro, entonces: Nuevo Saldo = 19, – 12,000 = $ 7,185.08

45 Ahora, llevamos este nuevo saldo hasta el día 210, momento en que se produce otro retiro:
Finalmente, al momento de la cancelación de la cuenta habrá un saldo equivalente a:

46 Ahora para practicar, hagamos de cuenta, que se conoce el monto que se retiró al cancelar la cuenta y los diversos movimientos realizados durante el tiempo de permanencia; pero se desconoce el importe inicial con el que se la abrió.

47 Método de Acumulación TNA = 18% P ... de reversa... $ 6,485.26
$ 12,000 $ 6,485.26 $ 8,000 $ 1,000 días 120 días 60 días 30 días 60 días ... de reversa...

48 Como estamos regresando, para hallar el nuevo saldo, el flujo señalado como retiro debemos devolverlo al saldo, en consecuencia, lo sumaremos, a saber: Nuevo Saldo = 6, ,000 = $7,293.64 Nuevo Saldo = 7, ,000 = $19,185.08

49 consecuencia, lo restaremos, a saber:
Recordemos que estamos regresando, entonces ahora, para hallar el nuevo saldo, el flujo señalado como depósito debemos de quitárselo a este saldo. En consecuencia, lo restaremos, a saber: Nuevo Saldo = 18, – 8,000 = $10,618.22 Depósito inicial $ 10,000.00

50 Aprendiendo a formar ecuaciones de valor
TNA = 18% X $ 10,000 $ 6,485.26 $ 8,000 $ 1,000 días 120 días 60 días 30 días 60 días

51 OJO: en este momento voy a incluir la variable o inógnita
Nuevo Saldo = 10, , = $ 18,618.21 OJO: en este momento voy a incluir la variable o inógnita Nuevo Saldo = 19, – X ... ( expresión I ) Ahora, traemos todos los otros flujos al día 180 para igualar y formar la ecuación .

52 Nuevo Saldo = 6, , = $ 7,293.64 Saldo al día 180, al regresar flujos sin considerar la variable = $ 7, ( expresión II )

53 Ahora, igualamos la expresión I, con la expresión II.
¿Por qué?, porque el saldo acumulado de los flujos considerados en cada expresión, están en la misma unidad de tiempo. Ecuación de valor 19, – X = 7,185.08 X = $ 12,000.00

54 Método II Traslado de Flujos

55 El método de Traslado de Flujos contempla lo siguiente:
Cada flujo se traslada de manera individual a una posición previamente determinada. Una vez que todos los flujos se encuentren en la posición convenida, se suman. Tener en cuenta que los flujos de ingreso de dinero generan valores positivos y los flujos de egreso de dinero generan valores negativos.

56 Cuando se traslada un flujo a lo largo del tiempo y este es afectado por uno o más cambios de tasa de interés, el flujo, deberá ser trasladado hasta cada línea de frontera (línea de cambio de tasa de interés), tantas veces como sea necesario, hasta lograr la posición convenida.

57 Método de Traslado de Flujos
TNM = 6% TNA = 36% TNA = 18% $ 42,000 S $ 40,000 $ 10,000 $ 10,000 120 180 240 360 días

58 Análisis de cada una de las tasas de interés que actúan durante el tiempo de la operación
TNM = 6% TNA = 18% TNA = 36%

59 Flujo N° 1 de $ 40,000 (depósito)
$ 66,583.21

60 Flujo N° 3 de $ 10,000 (depósito)
Flujo N° 2 de $ 42,000 (retiro) S180 = 42,000 ( )60 = $ 47,349.19 S240 = 47, ( )60 = $ 48,790.83 S360 = 48, ( )120 = $ 55,008.20 Flujo N° 3 de $ 10,000 (depósito) S240 = 10,000 ( )60 = $ 10,304.47 S360 = 10, ( )120 = $ 11,617.56

61 Saldo Final SFinal = S1+ S2 + S3 + S4 SFinal = $ 11,918.28
Flujo N° 4 de $ 10,000 (retiro) $ 11,274.29 S360 = 10,000 ( )120 = Saldo Final SFinal = S1+ S2 + S3 + S4 SFinal = 66, , , ,274.29 SFinal = $ 11,918.28

62 De Reversa Hacer el ejercicio de reversa implica tomar cada flujo y llevarlo a su momento cero (valor presente), teniendo en cuenta los procedimientos del método de traslado de flujos. Esto implica, que ahora, los retiros se suman y los ingresos se restan.

63 Traslado de Flujos de Reversa
TNM = 6% TNA = 36% TNA = 18% $ 42,000 $ 11,918.28 X $ 10,000 $ 10,000 120 180 240 360 días

64 Análisis de cada una de las tasas de interés que actúan durante el tiempo de la operación
TNM = 6% TNA = 18% TNA = 36%

65 Flujo N° 1 de $ 11, (retiro) $ 7,159.93

66 Flujo N° 3 de $ 10,000.00 (depósito)
Flujo N° 2 de $ 10, (retiro) $ 6,773.05 Flujo N° 3 de $ 10, (depósito) $ 6,979.27

67 Valor Presente: P = P1 + P2 + P3 + P4 P = $ 40,000
Flujo N° 4 de $ 42, (retiro) $ 33,046.29 Valor Presente: P = P1 + P2 + P3 + P4 P = 7, , , ,046.29 P = $ 40,000

68 Ecuación de Valor (Traslado de Flujos)
TNM = 6% TNA = 36% TNA = 18% $ 42,000 $ 11,918.28 $ 40,000 X $ 10,000 120 180 240 360 días

69 Análisis de cada una de las tasas de interés
que actúan durante el tiempo de la operación TNM = 6% TNA = 18% TNA = 36%

70 S1 = 40,000 ( )180 = $ 57, (Depósito) S2 = 42,000 ( )60 = $ 47, (Retiro) (Retiro) (Retiro)

71 S1 + S2 + X = P1 + P2 57, – 47, X = 10, ,704.53 X = $ 10,000

72 Método III Factores dinámicos

73 Factores Dinámicos S TNM = 3% TNT = 10.8% $ 50,000 $ 20,000 $ 10,000
TNA = 18% S $ 50,000 $ 20,000 $ 10,000 $ 10,000 días

74 Análisis de cada una de las tasas de interés
que actúan durante el tiempo de la operación TNM = 3% TNA = 18% TNT = 10.8%

75 Para el flujo de $ 50,000 Depósito

76 El valor de S es $ 46,152.66 STOTAL = S1 + S2 - S3 - S4
PARA FLUJO $ 20,000 (Retiro) S3 = ( )50 ( )160 = $ PARA FLUJO $ 10,000 (Retiro) S4 = ( )160 = $ STOTAL = S1 + S2 - S3 - S4 El valor de S es $ 46,152.66

77 Factores Dinámicos de Reversa
TNT = 10.8% TNA = 18% TNM = 3% S = P = ? 10000 10000 20000 100 150 200 360 dias TNM = = 0.001 TNA = = TNT = =

78 HALLANDO EL VALOR DE “ P “
PARA FLUJO $ 46, (Retiro) P1 = ( )-160 ( )-100 ( )-100 = $ 32,790.28 PARA FLUJO $ 10,000 (Retiro) P2 = ( )-100 ( )-100 = $ 8,607.62

79 PARA FLUJO $ (Retiro) P3 = ( )-50 ( )-100 = $ 17,650.93 PARA FLUJO $ (Depósito) P4 = ( )-100 = $ 9,048.83 PTOTAL = P1 + P2 + P3 - P4 EL VALOR DE P ES $ 50,000

80 FACTORES DINÁMICOS TNT = 10.8% TNA = 18% TNM = 3% S = 46152.66 50000
10000 10000 X 100 150 200 360 dias TNM = = 0.001 TNA = = TNT = =

81 FACTORES DINÁMICOS = $ 37154.17 = $ 9753.16
HALLANDO EL VALOR DE “ X “ PARA FLUJO $ P1 = ( )-160 ( )-50 = $ PARA FLUJO $ 10000 P2 = ( )-50 = $

82 FACTORES DINÁMICOS = $ 56654.24 = $ 10253.09
PARA FLUJO $ 50000 S1 = ( )100 ( )50 = $ PARA FLUJO $ 10000 S2 = ( )50 = $

83 FACTORES DINÁMICOS HALLANDO “ X “ X = S1 + S2 – P1 – P2 X = $ 20,000

84 Fin

85 Tasa de interés

86 Mercado de Tasas de Interés Descuento TIR Libor Activa Moratoria
Tipmex Tipmn Prime Rate Tamex Tamn Legal Compensatoria Pasiva

87 Gráfica de la variación de la tasa de interés

88 Variación de la TAMEX

89 Recordemos Antes de resolver problemas de interés compuesto
debemos hacernos las siguientes preguntas: ¿Quién manda? La Capitalización ¿Cómo sabemos cuál es la capitalización? Porque la dan. Si no la dan, la asumimos diaria. Siempre existe un problema dentro de otro problema: el problema de la tasa y el problema de la operación

90 London Interbank Offered Rate
LIBOR London Interbank Offered Rate Tasa a la cual los bancos se prestan entre ellos con vencimientos específicos dentro del mercado londinense. Prime Rate Tasa Preferencial Tasa de préstamo que cargan los bancos a sus mejores clientes.

91 TASAS DE INTERES 1. NOMINAL 2. EFECTIVA 3. REAL

92 Tasa Nominal

93 TASA NOMINAL TN A TASA NOMINAL ANUAL MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Unidad de tiempo TASA NOMINAL ANUAL Se trata tan solo de un anuncio, de una nominación; no recoge en su contenido el producto de las capitalizaciones o acumulaciones de ganancias. Con esta tasa “SÓLO” se permiten dos operaciones: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

94 TASA NOMINAL 40 60 12 36 CAPITALIZACIÓN Trimestral Mensual Diaria
TNA % ANUAL 40 60 12 36 g CAPITALIZACIÓN Trimestral Mensual Diaria Anual i’ 10 5 1 0.1 12 DIVIDIR MULTIPLICAR

95 Recordar se divide se multiplica
Cuando vamos de la Tasa Nominal a la Tasa del Período se divide Cuando vamos de la Tasa del Período a la Tasa Nominal se multiplica

96 TASA EFECTIVA

97 TASA EFECTIVA T E A Es lo efectivamente cobrado o pagado.
RECORDAR: A = ANUAL S = SEMESTRAL T = TRIMESTRAL B = BIMESTRAL M = MENSUAL D = DIARIA UNIDAD DE TIEMPO T E A Es lo efectivamente cobrado o pagado. recoge en su contenido el producto de las capitalizaciones o acumulaciones de ganancias.

98 TASA EFECTIVA POTENCIACION RADICACION
Con esta tasa sólo se permiten dos operaciones: POTENCIACION RADICACION Siempre que dentro de una unidad de tiempo (por ejemplo: un año), exista más de una frecuencia de capitalización; entonces, la tasa efectiva será mayor en número que la tasa nominal.

99 TEA = (1+i’)n - 1 TASA EFECTIVA Fórmula: Tasa de periodo: Unidad de
tiempo Tasa de periodo:

100  i’n = i’e = i’ Tener presente que: En el periodo y sólo en él,
la tasa nominal y la tasa efectiva, son iguales.  i’n = i’e = i’ No se puede trabajar nada en finanzas si no hallo y defino la tasa del periodo (i’).

101 1 + TE = ( 1+ i’ ) n RELACION DE EQUIVALENCIA
Es la que PERMITE hacer comparable una tasa nominal con una tasa efectiva. 1 + TE = ( 1+ i’ ) n Donde: i’ = Tasa del periodo n = # de capitalizaciones comprendidas en la unidad de tiempo de la tasa efectiva anunciada.

102 RECORDAR Dada una tasa nominal, siempre tendrá su equivalente efectiva. Dada una tasa efectiva, siempre tendrá su equivalente nominal. Manda siempre la capitalización, y hay que tener cuidado con el uso y aplicación del tiempo.

103 Relación de Equivalencia
Ejemplo 1: TNA = 40%, capitalización trimestral. ¿Hallar la tasa efectiva anual? Todo debe estar expresado en trimestres i’ = ? Por equivalencia: \ TEA = (1 + i’)n - 1 TEA = ( )4 - 1 TEA = ó 1 + TEA = (1 + i’)n 1 + TEA = ( )4 TEA = TEA = TEA = 46.41% 46.41%

104 Relación de Equivalencia
Caso I: Hallar tasa equivalente partiendo de la tasa nominal Ejemplo 2: TNA = 60%, capitalización mensual ¿Hallar TEA?. Todo debe estar expresado en meses i’ = ? TEA = (1 + i’)n - 1 TEA = ( )12 - 1 TEA = TEA = %.

105 Relación de Equivalencia
Caso II: Hallar tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva Ejemplo 3: TEA = 46.41%, capitalización trimestral ¿Hallar TNA? Todo debe estar expresado en trimestres TNA = i’ (n) (100) TNA = 0.1 (4) (100) TNA = 0.4 i’= 0.1 TNA = 40%

106 Cuadro Mágico (para convertir tasas)
TN * n (1 + i’)n -1 i’ / n TE Creado por: Carlos Door Cabezas

107 TNA = 28.5%, capitalización diaria ¿Hallar TEA?
CASO 1: De tasa nominal a tasa efectiva TNA = 28.5%, capitalización diaria ¿Hallar TEA? TEA = (1 + i’)n - 1 TEA = ( ) TEA = TEA = %.

108 CASO 2: De tasa efectiva a tasa nominal
TE trimestral = 12%, capitalización diaria. ¿Hallar TN semestral? i’ = TNS = i’ (n) TNS = (180) TNS = %

109 CASO 3: De tasa nominal a tasa nominal
TNA = 28.5%, capitalización diaria ¿Hallar TNT?. TNT = 7.125%.

110 TE trimestral = 12%, capitalización diaria. ¿Hallar TE semestral?.
CASO 4: De tasa efectiva a tasa efectiva TE trimestral = 12%, capitalización diaria. ¿Hallar TE semestral?. TES = 25.44%

111 Problema de conversión de tasas
Ejercicio 2: TET = 8%, capitalización mensual. ¿Hallar TNS? TNS = i’ (n) TNS = (6) i’ = TNS = %

112 Problemas de interés compuesto
Ejercicio1: P = $ 10,000 TEA = 30% n = 90 días S = ? i ‘ = S = P (1 + i’)n S = 10,000 ( )90 S = $ 10,677.90

113 TE* = Tasa Efectiva del período descontado
Tasa de descuento Donde: d = Tasa de descuento TE* = Tasa Efectiva del período descontado

114 Tasa equivalente en función a la tasa de descuento
Donde: TE = Tasa Efectiva del período d = Tasa de descuento

115 Ejemplo # 1: De tasa efectiva a tasa de descuento
Si TEA = 72%, ¿Hallar la tasa de descuento anual?

116 Ejemplo # 2: De tasa nominal a tasa de descuento
Si TNT = 18%, ¿Hallar la tasa de descuento anual?

117 Ejemplo # 3: De tasa de descuento a la tasa efectiva
Si d = 30%, ¿Hallar la tasa efectiva mensual?

118 ¿Cuál es el valor neto del documento?
LETRA Valor Nominal: US$ 18, (S) Vencimiento: 26 días (n) TEA: 20% ¿Cuál es el valor neto del documento?

119 Tasa Efectiva para 26 días
TE26 = ( )26 - 1 TE26 = Tasa de Descuento para 26 días d26 =

120 Descuento = 18,670 x 0.0130813536 Descuento = US$ 244.23 Valor Neto
18, Valor Neto = US$ 18,425.77

121 Venta al crédito = US$ 10,000 n = 90 días TEA = 30% S = ¿?
i’ = n (1 + ie) - 1 i’ = i’ = S = P(1 + i’)n S = 10,000( )90 S = US$ 10,677.90 Cuando se quiera hallar i’ el valor “n” será el que indique la unidad de tiempo de la Tasa. Para hallar S el valor “n” será el que rige la operación.

122 FSC FSA Factores simples Factor Simple de Capitalización
Factor Simple de Actualización FSA

123 FACTORES SIMPLES FSC = Capitalización = Busca futuros = (1 + i’)n
FSA = Actualización = Busca actuales = (1+ i’)-n Los factores solo son números. Serán de utilidad para buscar valores futuros o presentes, según sea el caso, para una determinada tasa de interés. Ejemplo: TEA = 60%

124 FACTORES SIMPLES (1 + i’)-n (1 + i’)n FSA n 1 30 60 90 360 1.0013064
FSC 1.60 FSA 0.625 Pivot

125 Fin

126 Tasa Real TR Π = inflación

127 ir Tasa de interés real o libre de inflación
Esta tasa muestra el efecto neto de los cambios en el valor del dinero. Representa la ganancia real en el poder de compra. Simbología: TR ir Fórmula:

128 Valor presente: considerando la inflación
$ 120,000.00 TEA = 20% Dolares Futuros $ 100,000.00 Valor constante Pérdida en Valor Presente al Π = 5 % $ 95,238.10 Valor Corriente 1 Año

129 Nuevo poder de compra

130 Tasa Real

131 Valor presente: considerando la inflación
$ 13,310.00 TEA = 10% Dolares Futuros $ 10,000.00 Valor constante Pérdida en Valor Presente al Π = 5 % Valor Corriente $ 8,638.40 Tiempo, años

132 LA INFLACIÓN Nuevo poder de compra La inflación crece cada 15.763%
en tres años La inflación crece cada vez que la capitalizo y me anuncia el nuevo poder de compra 551.30 11,576.30 10500 525.00 11,025.00 TASA REAL % 10000 500 10,500 10,000 TASA INFLADA 15.5% 5% I II III Año Tasa Efectiva Anual = 10% Tasa de Inflación Anual = 5%

133 Tasa de interés inflada
Esta tasa es una combinación de la tasa de interés real (ir) y la tasa de inflación (Π) Simbología: if Fórmulas:

134 Tasa real y tasa inflada
Depósito = US$ 10,000.00 Inflación = 10% año TEA = 10% ¿Cuál es la tasa real y la tasa inflada equivalente de esta operación? ir = 0 % if = 21 %

135 S = $ 11,000.00 Vn = $ 9,090.91 Valor Futuro Valor neto, considerando
Costo de Oportunidad (TE e Inflación) Vn = $ 9,090.91

136 PODER DE COMPRA $ 1,100.00 $ 1,000.00 Dinero depositado en banco
TEA = 10 % 1 año Dinero bajo el arbolito Si Bx= $ 10 Qx = 100 unidades  = 10 % Si Bx= $ 11 Qx = 100 unidades Precio del bien X al inicio = $ 10.00 Precio del bien X al final = $ 11.00

137 ¿Qué hubiera pasado si la inflación hubiera sido 12% y qué si hubiera
Si Π = 8 %, entonces: Si Π = 12 %, entonces:

138 RECORDAR a) Dada una inflación, siempre existirá una tasa real.
b) Dada una tasa efectiva y una tasa real, siempre podrá calcularse la inflación del periodo. c) Manda siempre la capitalización, y hay que tener cuidado con el uso y aplicación del tiempo.

139 Ejercicio Un ex alumno universitario, desea efectuar una donación al Fondo Estudiantil de su Alma Máter y ofrece cualquiera de los siguientes planes: Plan A: $ 42, ahora. Plan B: $ 15, anuales durante 4 años, empezando dentro de 1 año. Plan C: $ 25, dentro de 3 años y otros $ 40, dentro de 5 años. La única condición es que el dinero sea utilizado para Investigación en temas financieros. La universidad desea seleccionar el plan que permita maximizar el poder de compra de los dólares por recibir, de manera que le pide a usted evalúe los planes considerando el impacto de la inflación. La Universidad considera una tasa efectiva del 10% anual y estima que la tasa de inflación promedio sea del 3% anual. ¿Qué plan debemos aceptar?

140 if= (0.10) * (0.03) = (13.3%) Valores Presentes: VPA = US$ 42,000.00 15, 15, 15, 15, VPB = US$ 44,340.38 40, 25, VPC = US$ 38,613.47

141 Cuadro de inflación proyectada
mes П (%) П proy año П acum П ac py año Enero 2 26.8 Febrero 4 60.1 6.1 42.5 Marzo 1 12.7 7.2 31.8 Abril 0.8 10.0 8 26 Mayo 0.6 7.4 8.6 Junio 0.4 4.9 9.1 19 Julio 0.3 3.7 9.4 Agosto 0.2 2.4 9.6 Setiemb 9.8 Octubre 10.1 Noviemb 0.5 6.2 10.7

142 Fin

143 Planes de pagos Interés al Rebatir

144 ¿Qué es el interés al rebatir?
Es el interés que se cobra sobre los saldos deudores durante períodos de frecuencia de tiempo exactos. C = A + I Cuota = Amortización + Interés Nota: La Amortización, es lo único que rebaja el principal de una deuda.

145 Estructura de la cuota C = A + I Cuota = amortización + interés
I : Es el interés cobrado sobre el saldo deudor. A : es la amortización y es lo único que rebaja el principal de una deuda.

146 ¿ Puede la amortización ser igual a cero?
INTERES AL REBATIR ¿ Puede la amortización ser igual a cero? Sí, pero no rebaja la deuda, sólo se pagan intereses. ¿ Puede ser el interés en algún periodo igual a cero? Sí. Si el interés es igual a cero, es que se ha otorgado un plazo de gracia total.

147 Modalidades de pago de deuda SUMA DE NÚMEROS DÍGITOS
MÉTODO ALEMÁN MÉTODO AMERICANO MÉTODO FRANCES CUOTAS CRECIENTES Aritméticamente Geométricamente SUMA DE NÚMEROS DÍGITOS

148 Los 3 principales métodos de pago con interés al rebatir son los siguientes:
1. ALEMAN = amortización fija 2. AMERICANO = pago al final del plazo. 3. FRANCES = cuota fija

149 1.- Método Alemán: amortización fija, riguroso en su aplicación.
METODOS DE PAGO 1.- Método Alemán: amortización fija, riguroso en su aplicación. 2.- Método Americano: Sólo se paga intereses y el pago del principal se hace al final del plazo. 3.- Método Francés: Método sofisticado, es el más usado actualmente; tiene la cuota fija.

150 Conocido también como el método de: “Cuotas Decrecientes”
Método Alemán Conocido también como el método de: “Amortización Fija” o “Cuotas Decrecientes”

151 Interés al Rebatir: Método Alemán
Datos: P = USD$ 100,000 n= 4 cuotas trimestrales TET = 10% trimestral ¿Cuánto será la amortización? La amortización es fija. A = P/n A = 25,000

152 Método Alemán Cálculo de intereses: I Trimestre I = Pin
III Trimestre I = Pin I = 50, 000 * 0.1 *1 I = $ 5,000 II Trimestre I = Pin I = 75,000 * 0.1 * 1 I = $ 7,500 IV Trimestre I = Pin I = 25,000 * 0.1 * 1 I = $ 2,500

153 Cuadro de pagos: Método alemán

154 METODO ALEMAN cuota decreciente vencida
VERIFICACION: P = = $ 100

155 METODO ALEMAN cuota decreciente adelantada
VERIFICACION: P = = $ 100

156 Conocido también como el método de:
Método Americano Conocido también como el método de: “Pago de Intereses y el pago del principal al final del plazo.” o “Periodo de Gracia”

157 Método Americano Datos: P = USD$ 100,000 Plazo de la operación: 1 año
Forma de pago: 4 cuotas trimestrales Tasa Efectiva Trimestral = 10%

158 Cuadro de pagos: Método Americano

159 METODO AMERICANO interés constante - pago al final
VERIFICACION: P = = $ 100

160 METODO ALEMAN COMPARACION METODO AMERICANO

161 METODO ALEMAN ¿Cuál es el más barato? COMPARACION METODO AMERICANO

162 Son IGUALES LO CARO O LO BARATO (el precio),
lo define la tasa de interés. PARA NUESTRO CASO, AMBOS MÉTODOS TIENEN LA MISMA TASA DE INTERÉS

163 Depende ¿Cuál es el más conveniente? Quién sea el ACREEDOR y
quién el DEUDOR

164 Conclusiones Los métodos son IGUALES
El precio solo lo define la TASA DE INTERES Los montos sumados no sirven para comparar La conveniencia de cada sistema la define el acreedor y/o el deudor.

165 Modificación del plan de pago por modificación en la conducta
del DEUDOR. A.- Pago de una cuota mayor B.- Pago de una cuota menor C.- Cuando el cliente no puede Pagar la cuota.

166 A.- PAGO DE UNA CUOTA MAYOR

167 B.- PAGO DE UNA CUOTA MENOR

168 C. CUANDO EL CLIENTE NO PUEDE PAGAR NADA

169 Conocido también como el método de:
Método Frances Conocido también como el método de: “Cuota Fija” o “Cuota Constante”

170 Cuota fija o Cuota Constante - Vencida
Método Frances Cuota fija o Cuota Constante - Vencida VERIFICANDO: P = = $ 100

171 Cuota fija o Cuota Constante - Adelantada
Método Frances Cuota fija o Cuota Constante - Adelantada VERIFICANDO: P = = $ 100

172 CUOTA CRECIENTE aritméticamente
1 2 3 4

173 GRADIENTE ARITMETICA 130 120 110 100 1 2 3 4 n (n-1)G 3G 2G G 1 2 3 4 n

174 Multiplicamos ambos miembros por (1+i)
Gradiente Aritmética ... I Factor común G: ... II Multiplicamos ambos miembros por (1+i) ... III Restando II de III: ...IV ojo

175 Nota: el corchete es una Progresión Geométrica cuya razón es:
Resolviendo: ... V Nota: el corchete es una Progresión Geométrica cuya razón es: Y su primer término es: Recordemos que la suma de términos de una Progresión Geométrica esta dada por la siguiente fórmula: Entonces Resolviendo:

176 Valor Presente de la Anualidad de los Gradientes
Reemplazando en ...V Ordenando, obtenemos: Valor Presente de la Anualidad de los Gradientes

177 ACTUALIZACION DE GRADIENTES:
Fórmula ACTUALIZACION DE GRADIENTES: 43.78 =

178 CALCULO DE LA CUOTA DE PARTIDA:
“P” DE ORIGEN = 100 BASE DE CALCULO = 56.22 R = 17.74 R = P * FRC Verificación: P = 100

179 Gradiente geométrica 800 400 200 100 .............. FORMA GENERAL
Rg R

180 La suma de términos estará dada por:
Gradiente Geométrica Factorizando R NOTA: el corchete es una progresión geométrica cuya razón es g / (1+i) y su primer término 1 / (1+i) La suma de términos estará dada por:

181 Reemplazando y ordenando:
Resolviendo: Reemplazando y ordenando:

182 CUOTA CRECIENTE geométricamente
Gradiente = 1.5 R = 16.28 Verificación: = 100

183 Suma de Números Dígitos
10 10 / 10

184 Verificando: P = = $ 100

185 Fin

186 Matemática Financiera
Series uniformes, Anualidades o Rentas

187 Tipos de Rentas: TEMPORALES PERPETUAS

188 ADELANTADA O ANTICIPADA
VENCIDA AÑOS ADELANTADA O ANTICIPADA AÑOS

189 Rentas INMEDIATA TEMPORAL ADELANTADA PERPETUA

190 Gráficos de rentas 1.- Temporales 2.- Perpetuas 1.1.- Inmediata
1.1.1 adelantada 1.1.2 vencida 1.2.- Diferida 1.2.1 adelantada 1.2.2 vencida 1.- Temporales 2.1.- Inmediata 2.1.1 adelantada 2.1.2 vencida 2.2.- Diferida 2.2.1 adelantada 2.2.2 vencida 2.- Perpetuas

191 Renta Tiene 2 características: 1. UNIFORME cantidad definida
2. FRECUENCIA EXACTA responde a una frecuencia fija de tiempo (mes, trimestre, semestre, año)

192 Diagrama de Rentas FAS FCS FRC FDFA R R R ……………. R R
…………… n-1 n FAS FRC FCS FDFA Me da P => Me da S => Me da R => Me da R =>

193 Anualidades o Rentas Series uniformes
Las RENTAS cubren dos características principales: Será uniforme y exacta, es decir, una cantidad definida, y Responde a una frecuencia fija de tiempo (usualmente: mes, trimestre, semestre, año)

194 Factores FCS Factor de Capitalización de la serie
FDFA Factor de Depósito al Fondo de Amortización FAS Factor de Actualización de la serie FRC Factor de Recuperación de Capital (Método Francés)

195 Factores FCS FDFA FAS FRC Factor de la Capitalización de la Serie
Factor de Depósito al Fondo de Amortización FAS Factor de la Actualización de la Serie FRC Factor de Recuperación de Capital (método francés)

196 Para saber qué factor utilizar es necesario saber lo siguiente:
Ubicar la capitalización Es fundamental identificar la frecuencia fija en que se manifiesta la anualidad o la renta Para cualquier cálculo tendré que usar la tasa efectiva correspondiente a la frecuencia Ubicar datos Definir qué factor usar

197 Circuito Financiero S = R * FCS R = S * FDFA (Cuota Fija) R = P * FRC
Factor de Capitalización de la Serie Factor de Depósito al Fondo de Amortización (1 + i’)n - 1 i’ FCS = i’ (1 + i’)n - 1 FDFA = S = R * FCS R = S * FDFA Factor de Recuperación de Capital Factor de Actualización de la Serie i’(1 + i’)n (1 + i’)n - 1 FRC = (1 + i’)n - 1 i’ (1 + i’)n FAS = (Cuota Fija) R = P * FRC P = R * FAS

198 Pasos a seguir 1. Ubicar la capitalización
2. Es fundamental identificar la frecuencia fija en que se manifiesta la renta 3. Para cualquier cálculo tendré que usar la tasa efectiva correspondiente a la frecuencia. Nunca se puede trabajar con la tasa nominal. 4. Ubicar los datos. 5. Definir qué factor usar.

199 Factor de Capitalización de la Serie
Circuito financiero: CASO I Factor de Capitalización de la Serie S= R* FCS

200 Factor de Capitalización de la serie
Ejemplo: Caso I Factor de Capitalización de la serie Hoch piensa ahorrar $ 100 cada mes durante los próximos 5 años a una tasa efectiva de 0.8% mensual. ¿Cuánto tendrá al final?

201 Datos: TEM= 0.8% R = $ 100.00 n = 5 años = 60 meses S= ?
S= US$ 7,662.39

202 Factor de Depósito al Fondo de Amortización
Circuito financiero: Caso II Factor de Depósito al Fondo de Amortización R = S * FDFA

203 Dentro de 5 años “Barriguita” tiene que ir al colegio y la cuota
Ejemplo: Caso II Factor de Depósito al Fondo de Amortización Dentro de 5 años “Barriguita” tiene que ir al colegio y la cuota de ingreso cuesta $ 7, ¿Cuánto tendrá que ahorrar la familia mes a mes para completar la cuota de ingreso si le pagan una TEM del 0.8%?

204 Datos: TEM= 0.8% n = 5 años = 60 meses S = $ 7,662.39 R = ?

205 Factor de Actualización de la Serie
Circuito financiero: Caso III Factor de Actualización de la Serie P = R * FAS

206 La Compañía “Colesi” tiene en cartera 6 letras de valor nominal
Ejemplo: Caso III Factor de Actualización de la Serie La Compañía “Colesi” tiene en cartera 6 letras de valor nominal US$ 12, cada una y con vencimientos escalonados cada 60 días, las quiere descontar en el banco que cobra una TNA del 24%. ¿Cuál sería el abono neto?

207 OJO: Primero tienes que transformar la TNA a TEB Capitalización diaria
Frecuencia bimestral

208 Datos: TEB = 4.079690318% n = 6 Bimestres R = $ 12,000.00 P = ?
P = US$ 62,742.77

209 Factor de Recuperación de Capital
Circuito financiero: Caso IV Factor de Recuperación de Capital R = P * FRC

210 Ejemplo: Caso IV Factor de Recuperación de Capital Método Francés Un banco financia el viaje de un equipo de ejecutivos de la empresa “Cuernófono SAA” a una feria, y otorga un crédito por $ 100, a un año, que será reembolsado mediante el pago de cuotas trimestrales a una TET del 10%. ¿Cuál será la cuota fija trimestral que deberá pagar el cliente?

211 Datos: TET = 10% n = 4 Trimestres P = $ 100,000.00 R = ? (Cuota Fija)

212 n Saldo Amortización Interés Cuota
Cronograma de pagos (Método Francés) 0.10 n Saldo Amortización Interés Cuota , , , ,547.08 , , , ,547.08 , , , ,547.08 , , , ,547.08 100, , ,188.32

213 Fin

214 Matemática Financiera
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Matemática Financiera Renato Eduardo Anicama Salvatierra