Derivadas de una función en un punto.

Presentación del tema: "Derivadas de una función en un punto."— Transcripción de la presentación:

1 Derivadas de una función en un punto.

2 Habilidades Describe el concepto de derivada.
Interpreta geométricamente la derivada. Define la derivada de una función en un punto. Interpreta la derivada como una razón de cambio.

3 La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente? Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta) a la curva. ¿y cuál es esta recta?

4 El problema de la recta tangente
x y Q x y = f(x) a P Pendiente de la recta secante:

5 El problema de la recta tangente
y Q y = f(x) P a x x Pendiente de la recta secante:

6 El problema de la recta tangente
y Q y = f(x) P a x x Pendiente de la recta secante:

7 El problema de la recta tangente
y y = f(x) Q P a x x Pendiente de la recta secante:

8 El problema de la recta tangente
y y = f(x) Q P a x x Pendiente de la recta secante:

9 El problema de la recta tangente
y y = f(x) P a x Pendiente de la recta tangente:

10 La recta tangente Definición: La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con pendiente: siempre que exista este límite. Haciendo h=x-a, luego h tiende hacia 0, cuando x tiende hacia a. Es decir, la pendiente de la recta tangente también se puede calcular como: Observación:

11 El problema de la velocidad instantánea
s(a) t = a s(a + h) t = a + h s o Velocidad media en (a, a + h):

12 El problema de la velocidad instantánea
t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):

13 El problema de la velocidad instantánea
t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):

14 El problema de la velocidad instantánea
t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):

15 El problema de la velocidad instantánea
t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):

16 El problema de la velocidad instantánea
s(a) Velocidad instantánea en t = a:

17 Ejemplo Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de la torre de Eiffel, a 300 m arriba del suelo. a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos? b) ¿Con qué velocidad choca contra el suelo?

18 La velocidad instantánea
Definición: La velocidad instantánea v(a) en el instante t = a se define como el límite de las velocidades medias: siempre que exista este límite.

19 Ejemplo La posición de una partícula se da con la ecuación del movimiento , donde t se mide en segundos y s en metros. Encuentre la velocidad y la rapidez después de 2 segundos. Nota: Desplazamiento de una partícula = Posición Final- Posición Inicial. Recorrido = Distancia recorrida. Velocidad = Rapidez =

20 Definición: La derivada de f en el número a, denotada como f ’(a) se define como: Pag. 156 si el límite existe. 1. Si existe la derivada f ’(a), se dice que f es derivable en a. 2. Si no existe la derivada f ’(a), se dice que f no es derivable en a. 3. La derivada de una función es un límite. 4. Para hallar el límite se requiere que la función sea continua en el punto. Observación:

21 Derivadas laterales Derivada por la derecha de a
Pag. 168 Derivada por la derecha de a Derivada por la izquierda de a y y = f(x) f ’(a) existe si y solo si Teorema: a x

22 Cálculo de derivadas por la definición
Ejemplo : , obtenga f´(1) Si Ejemplo : Considere la función definida por tramos ¿Existe f´(1)?

23 Interpretaciones de la derivada
Pag. 157 Geométrica: Pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto de abscisa a. Mecánica: Velocidad de una partícula cuya posición viene dada por y = s(t) en el instante t = a. General: Razón instantánea de cambio de y = f(x) con respecto a x cuando x = a.

24 Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart
Sección 2.7. Ejercicios Pág. 154: 2-14, Sección 2.8. Ejercicios Pág. 161: 1-26, 33, 34. ORIENTAR TAREA 3