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Distribuciones habituales

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Presentación del tema: "Distribuciones habituales"— Transcripción de la presentación:

1 Distribuciones habituales
Tema 5 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

2 Descripción breve del tema
Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

3 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Objetivos Adquirir soltura con el manejo de funciones de distribución, probabilidad y densidad. Reconocer los modelos básicos de distribución: Binomial, Geométrica, etc. Reconocer el papel central que juega la distribución Normal. Aplicar con soltura el Teorema Central del Límite. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

4 Descripción breve del tema
Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

5 Distribución de Bernoulli
Una variable aleatoria que describe el número de éxitos en 1 realización de un experimento, en el que la probabilidad de éxito es p decimos que sigue distribución de Bernoulli de parámetro p. X ~ B(1, p) Xº “número de éxitos en 1 realización” Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

6 Distribución de Bernoulli
Función de probabilidad: P(X = 1) = p ; P(X = 0) = 1-p Función de distribución: Parámetros: E[X] = p ; Var[X] = p(1-p) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

7 Distribución de Bernoulli
Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

8 Descripción breve del tema
Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

9 Distribución Binomial
Una variable aleatoria que describe el número de éxitos en n realizaciones independientes de un experimento, en el que la probabilidad de éxito en cada realización es p decimos que sigue distribución binomial de parámetros n y p. X ~ B(n, p) Xº “número de éxitos en los n intentos indep.” Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

10 Distribución Binomial
Función de probabilidad: Podemos escribir X=X1+…+Xn donde las Xi son variables de Bernoulli e independientes. Parámetros: E[X] = np ; Var[X] = np(1-p) Si X~B(n1, p) e Y~B(n2, p) son independientes, entonces X+Y~B(n1+n2, p) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

11 Distribución Binomial
Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

12 Descripción breve del tema
Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

13 Distribución Geométrica
Una variable aleatoria que describe el número de realizaciones independientes de un experimento para el que la probabilidad de obtener éxito en cada realización es p hasta obtener el primer éxito, sigue distribución Geométrica o de Pascal de parámetro p. X ~ G(p) Xº “número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito” Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

14 Distribución Geométrica
Función de probabilidad: Parámetros: E[X] = 1/p ; Var[X] = (1-p)/p2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

15 Distribución Geométrica
Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

16 Descripción breve del tema
Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

17 Distribución de Poisson
Una variable aleatoria que describe el número de sucesos ocurridos en una región, de tal modo que dichos sucesos ocurren independientemente y con una tasa constante decimos que sigue distribución de Poisson de parámetro l. X ~ Ã(l) Xº “número de sucesos ocurridos en una región” Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

18 Distribución de Poisson
Función de probabilidad: Parámetros: E[X] = l ; Var[X] = l Si X~Ã(l1) e Y~Ã(l2) son independientes, entonces X+Y~Ã(l1+l2) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

19 Distribución de Poisson
Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

20 Descripción breve del tema
Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

21 Distribución Uniforme (continua)
Una variable aleatoria X con distribución uniforme entre a y b (a<b) representa un número elegido al azar entre los valores a y b, de tal modo que la probabilidad de que dicho número esté en cualquier subconjunto del intervalo (a,b) depende exclusivamente del tamaño de dicho conjunto, X~U(a,b) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

22 Distribución Uniforme (continua)
Función de densidad: Función de distribución: Parámetros: E[X] = (a+b)/2 ; Var[X] = (b-a)2/12 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

23 Distribución Uniforme (continua)
Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

24 Descripción breve del tema
Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

25 Distribución Exponencial
Si el número de sucesos que ocurren en un tiempo t sigue distribución de Poisson proporcional a dicho tiempo Ã(lt), entonces la variable aleatoria Xº “tiempo entre sucesos” sigue distribución exponencial de parámetro l. X ~ Exp(l) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

26 Distribución Exponencial
Función de densidad: Función de distribución: Parámetros: E[X] = l-1 ; Var[X] = l-2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

27 Distribución Exponencial
Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

28 Distribución Exponencial
La distribución exponencial no tiene memoria. Dados t1,t2>0 y una variable aleatoria T con distribución exponencial P(T > t1+t2 | T > t1) = P(T > t2) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

29 Descripción breve del tema
Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

30 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Distribución Normal La distribución Normal o de Gauss es el modelo probabilístico más importante. Se utiliza para modelar gran número de fenómenos aleatorios, entre ellos el ruido y los errores en la medida. Aparece además como distribución límite en el Teorema Central del Límite. Sus parámetros son la media m y la desviación típica s , X ~ N(m,s) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

31 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Distribución Normal Función de densidad normal estándar N(0,1): Función de densidad N(m,s): Parámetros: E[X] = m ; Var[X] = s2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

32 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Distribución Normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

33 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Distribución Normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

34 Distribución Normal Propiedades de la Normal.
Si X ~ N(m,s) , para cualesquiera a y b, aX+b ~ N(am+b , |a|s) Si X ~ N(m1,s1) e Y ~ N(m2,s2) indep, para a, b aX+bY ~ N(am1+bm2 , (a2s12+b2s22)1/2) Tipificación. Dada X~N(m,s), la variable aleatoria (X-m)/s sigue distribución N(0,1). A esta transformación se le llama tipificación Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

35 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Tabla de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

36 Teorema Central de Límite
Dada X1,X2,…,Xn n variables aleatorias independientes, con medias y varianzas finitas E[Xi]=mi y Var[Xi]=si2, su suma sigue aproximadamente distribución normal X1+X2+…+Xn»N(Si=1,nmi , (Si=1,nsi2)1/2) Buena aproximación si n > 30. Si las variables son discretas, para aproximar su suma por una continua, realizamos corrección por continuidad. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

37 Aproximaciones con la Normal
Aproximación Binomial-Normal. Una binomial B(n,p) puede construirse como suma de n variables de Bernoulli independientes. Aplicando el TCL, si n > 30 y np(1-p) > 5, aproximamos una B(n,p) por una Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

38 Aproximaciones con la Normal
Aproximación Poisson-Normal. Una Poisson Ã(l) con l > 5 puede aproximarse por una normal N(l, l1/2) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

39 Descripción breve del tema
Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

40 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Chi cuadrado Si X1,X2,…,Xn son n variables aleatorias independientes con distribución N(0,1), entonces Y=X12+X22+…+ Xn2 es una variable aleatoria con distribución chi cuadrado con n grados de libertad, Y ~ cn2 E[Y] = n ; Var[Y] = 2n Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

41 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Chi cuadrado Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

42 t de Student Si X es una variable aleatoria normal estándar e
Y es independiente de ella con distribución chi cuadrado con n grados de libertad, entonces X/(Y/n)1/2 sigue distribución t con n grados de libertad E[Z] = 0 si n ³ 2 ; Var[Z] = n/(n-2) si n ³ 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

43 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
t de Student Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

44 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
F de Fisher Si X es una variable aleatoria chi cuadrado con n1 grados de libertad e Y es independiente de ella con distribución chi cuadrado con n2 grados de libertad, entonces (X/n1)/(Y/n2) sigue distribución F con n1 y n2 grados de libertad Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III

45 Depto. Estadística, Universidad Carlos III
F de Fisher Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III


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