I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de.

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1 I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de coordenadas VI. La parábola VII. La elipse VIII. La hipérbola

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3  Dos problemas fundamentales de la geometría analítica  Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación  Intersección con los ejes  Simetría  Extensión de la curva  Asíntotas  Construcción de curvas  Ecuaciones factorizables  Intersecciones de curvas  Segundo problema fundamental  Ecuación de un lugar geométrico

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6 Dada una ecuación, interpretarla geométricamente Dada un figura geométrica, determinar su ecuación

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24 Definición: El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de la ecuación ó lugar geométrico.

25 Se necesita Plano cartesiano Ecuación Pares ordenados de puntos Lugar geométrico ó gráfica de la ecuación

26 Al menos una de las variables debe de estar en función de otra El conjunto solución de la ecuación, formado por los puntos ordenados, debe pertenecer al conjunto de los números reales

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29 xy 0-3

30 xy 0 1

31 xy 0-3 1 -5

32 xy 0-3 1 -5 21

33 xy 0-3 1 -5 21 -2-7

34 xy 0-3 1 -5 21 -2-7 33

35 xy 0-3 1 -5 21 -2-7 33 -3-9

36 xy 0-3 1 -5 21 -2-7 33 -3-9 45

37 xy 0-3 1 -5 21 -2-7 33 -3-9 45 -4-11

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40 xy 03

41 xy 03 1

42 xy 03 1-2 9

43 xy 03 1-2 9 2-3

44 xy 03 1-2 9 2-3 -217

45 xy 03 1-2 9 2-3 -217 3-3

46 xy 03 1-2 9 2-3 -217 3-3 4

47 xy 03 1-2 9 2-3 -217 3-3 4 -439

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50 xy -24.00

51 xy -24.00 -0.75-16.17

52 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63

53 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27

54 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00

55 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27

56 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63

57 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17

58 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00

59 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20

60 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88

61 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11

62 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00

63 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64

64 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13

65 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13 2.751.55

66 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13 2.751.55 3.000.00

67 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13 2.751.55 3.000.00 3.25-1.42

68 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13 2.751.55 3.000.00 3.25-1.42 3.50-2.63

69 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13 2.751.55 3.000.00 3.25-1.42 3.50-2.63 3.75-3.52

70 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13 2.751.55 3.000.00 3.25-1.42 3.50-2.63 3.75-3.52 4.00-4.00

71 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13 2.751.55 3.000.00 3.25-1.42 3.50-2.63 3.75-3.52 4.00-4.00 4.25-3.98

72 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13 2.751.55 3.000.00 3.25-1.42 3.50-2.63 3.75-3.52 4.00-4.00 4.25-3.98 4.50-3.38

73 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13 2.751.55 3.000.00 3.25-1.42 3.50-2.63 3.75-3.52 4.00-4.00 4.25-3.98 4.50-3.38 4.75-2.08

74 xy -24.00 -0.75-16.17 -0.50-9.63 -0.25-4.27 0.00 0.253.27 0.505.63 0.757.17 1.008.00 1.258.20 1.507.88 1.757.11 2.006.00 2.254.64 2.503.13 2.751.55 3.000.00 3.25-1.42 3.50-2.63 3.75-3.52 4.00-4.00 4.25-3.98 4.50-3.38 4.75-2.08 5.000.00

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77 xy -10-0.09 -9-0.10 -8-0.11 -7-0.13 -6-0.14 -5-0.17 -4-0.20 -3-0.25 -2-0.33 -0.50 0 1 21.00 30.50 40.33 50.25 60.20 70.17 80.14 90.13 100.11

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80 xy 0.00 0.05-1.05 0.10-1.11 0.15-1.18 0.20-1.25 0.25-1.33 0.30-1.43 0.35-1.54 0.40-1.67 0.45-1.82 0.50-2.00 0.55-2.22 0.60-2.50 0.65-2.86 0.70-3.33 0.75-4.00 0.80-5.00 0.85-6.67 0.90-10.00 0.95-20.00

81 xy 1.0520.00 1.1010.00 1.156.67 1.205.00 1.254.00 1.303.33 1.352.86 1.402.50 1.452.22 1.502.00 1.551.82 1.601.67 1.651.54 1.701.43 1.751.33 1.801.25 1.851.18 1.901.11 1.951.05 2.001.00

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84 Intersección con los ejes Construcción de la curva Extensión de la curva Asíntotas Simetría Cálculo de coordenadas

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87 Para encontrar la intersección con el eje X: Se hace y = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante

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103 Para encontrar la intersección con el eje Y: Se hace x = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante

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117 Se dice que dos puntos son simétricos a un punto O, si O es el punto medio del segmento que los une. El punto O se llama centro de simetría. A B O

118 A B O

119 A B O

120 Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que estos dos puntos son simétricos respecto al eje. y x O P(x, y) P’(a, b) M(x, 0)

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122 Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O, cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que dos puntos son simétricos respecto a O.

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130 Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por –y, la curva es simétrica respecto al eje X. El recíproco también es verdadero

131 xyy 0.0 1.0 2.01.4-1.4 3.01.7-1.7 4.02.0-2.0 5.02.2-2.2 6.02.4-2.4 7.02.6-2.6 8.02.8-2.8 9.03.0-3.0 10.03.2-3.2 11.03.3-3.3 12.03.5-3.5 13.03.6-3.6 14.03.7-3.7 15.03.9-3.9 16.04.0-4.0 17.04.1-4.1 18.04.2-4.2 19.04.4-4.4 20.04.5-4.5

132 Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por –x, la curva es simétrica respecto al eje Y.

133 xy -10100 -981 -864 -749 -636 -525 -416 -39 -24 1 00 11 24 39 416 525 636 749 864 981 10100 11121

134 3) Si la ecuación de una curva no se altera cuando las variables x y y son reemplazadas por –x y –y, la curva es simétrica respecto al origen O.

135 xy -10-1000 -9-729 -8-512 -7-343 -6-216 -5-125 -4-64 -3-27 -2-8 00 11 28 327 464 5125 6216 7343 8512 9729 101000 111331

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139 La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y son valores reales.

140 Es útil porque:  da la localización general de la curva en el plano e  indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida. La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y

141 Los intervalos para los cuales los valores de x e y son reales se determinan resolviendo la ecuación dada para y en términos de x, y para x en términos de y

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151 Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva.

152 Esta definición implica dos cosas : 1)una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente 2)una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado

153 Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares.  Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal.  Si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical.  Si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, asíntota oblicua.

154 Aquí consideraremos solamente la determinación de asíntotas verticales y horizontales. Posteriormente veremos la determinación de asíntotas oblicuas para una curva particular conocida con el nombre de hipérbola.

155 Se debe tener presente que una curva no tiene necesariamente una o más asíntotas. Hay muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin embargo, si una curva tiene asíntotas, su determinación será, como veremos, una gran ayuda para construir su gráfica.

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204 xy 0.00 0.25-0.25 0.50-0.94 0.75-1.93 1.00-3.00 1.25-3.81 1.50-3.94 1.75-2.87 2.000.00 2.255.38 2.5014.06

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207 Ejercicio 21, parágrafo 19, página 47

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224 xyXYxyxy -10.001.47-5.002.100.00NO5.000.40 -9.751.48-4.752.180.254.205.250.42 -9.501.50-4.502.270.501.005.500.44 -9.251.51-4.252.380.750.245.750.46 -9.001.53-4.002.501.000.006.000.48 -8.751.55-3.752.651.25-0.076.250.49 -8.501.56-3.502.831.50-0.076.500.51 -8.251.59-3.253.051.75-0.046.750.52 -8.001.61-3.003.332.000.007.000.54 -7.751.63-2.753.702.250.047.250.55 -7.501.66-2.504.202.500.097.500.56 -7.251.68-2.254.912.750.137.750.57 -7.001.71-2.006.003.000.178.000.58 -6.751.75-1.757.863.250.208.250.59 -6.501.78-1.5011.673.500.248.500.60 -6.251.82-1.2523.403.750.278.750.61 -6.001.87NO4.000.309.000.62 -5.751.92-0.75-25.674.250.339.250.63 -5.501.97-0.50-15.004.500.359.500.64 -5.252.03-0.25-15.004.750.389.750.65

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230 Ejercicio 24, parágrafo 19, página 47

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253 xy 2.0128.50 2.0220.30 2.0316.70 2.0414.57 2.0513.13 2.0612.07 2.0711.26 2.0810.61 2.0910.07 2.109.62 2.119.24 2.128.91 2.138.62 2.148.37 2.158.14 2.167.94 2.177.75 2.187.59 2.197.44 2.207.30 2.217.17 2.227.05 2.236.94 2.246.84

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259 Hacen falta más ejemplos

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280 Si sus gráficas se cortan en uno ó más puntos, cada uno de estos puntos se llama punto de intersección.

281 La interpretación analítica de un punto de intersección de las dos gráficas, es que es un punto cuyas coordenadas representan una solución común a las dos ecuaciones

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288 Ejercicio 18, parágrafo 21, página 49

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293 Hacer un ejemplo distinto, uno que no esté resuelto en el libro

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320 1. Se supone que el punto P, de coordenadas (x, y), es un punto cualquiera que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del lugar geométrico.

321 2. Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x e y.

322 3. Se simplifica, si hace falta, la ecuación obtenida en el paso anterior (2) de tal manera que tome la forma f(x,y)=0

323 4. Se comprueba el reciproco: sean (x 1, y 1 ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen f(x.y)=0 de tal manera que: f(x 1,y 1 )=0

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325 Ejercicio 14, grupo 8, capítulo II. Página 54

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