Tema 2 Orden de contacto Polinomios de Taylor Teorema de Taylor

Presentación del tema: "Tema 2 Orden de contacto Polinomios de Taylor Teorema de Taylor"— Transcripción de la presentación:

1 Tema 2 Orden de contacto Polinomios de Taylor Teorema de Taylor
Desarrollo de McLaurin Aplicación al cálculo de límites Aplicación al cálculo aproximado

2 Aproximación de funciones por polinomios
Introducción

3 Orden de contacto Si f y g son funciones derivables hasta el orden n en un entorno del punto a, entonces: Si f(a) = g(a) se dice que f y g tienen un contacto de orden 0 en el punto a. Si f(a) = g(a), f´(a) = g´(a) se dice que f y g tienen un contacto de orden 1 en el punto a. Si f(a) = g(a), f´(a) = g´(a), f´´(a) = g´´(a) se dice que f y g tienen un contacto de orden 2 en el punto a. 4) En general, se dice que f y g tienen un contacto de orden n si f(a) = g(a), f´(a) = g´(a), …fn)(a) = gn)(a).

4 Orden de contacto f(x) = ex y T0 (x) = 1,tienen
un contacto de orden cero el punto P(0, 1). f(0) = T0 (0) =1

5 Orden de contacto f(x) = ex y T1(x) = 1+x,tienen
un contacto de orden uno el punto P(0, 1). f(0) = T1(0) =1 f´(0) = T1´(0) = 1

6 Orden de contacto f(x) = ex y T2(x) = 1+x+x2/2,tienen un contacto de orden dos en el punto P(0, 1) f(0) = T2(0) = 1 f´(0) = T2´(0) = 1 f´´(0) = T2´´(0) =1

7 Orden de contacto f(x) = ex y T3(x) = 1+x+x2/2+x3/6, tienen
un contacto de orden tres en el punto P(0, 1) f(0) = T3(0) = 1 f´(0) = T3´(0) = 1 f´´(0) = T3´´(0) = 1 f´´´(0) = T3´´´(0) =1

8 Orden de contacto y = ex y = 1+x+x2/2 y = 1 Representamos conjuntamente las funciones anteriores: y = 1+x y = 1+x+x2/2+x3/6

9 Polinomios de Taylor

10 Teorema de Taylor Teorema
El resto es un infinitésimo de orden superior a , en x = a, es decir El resultado anterior se indica simbólicamente así: . Teorema de Taylor (Fórmula de Taylor) Si las funciones están definidas en [a, x], entonces existe tal que . A esta expresión se la conoce como fórmula o desarrollo limitado de Taylor en el punto a. Luego en este caso , que se conoce como resto en forma de Lagrange. Como el número t no está determinado, tampoco lo está, aún así, esta expresión del resto es útil en muchas ocasiones para acotar el error cometido al considerar en lugar de la función su polinomio de Taylor.

11 Desarrollo de McLaurin
Fórmula de McLaurin

12 Desarrollo de McLaurin
Algunos desarrollos de McLaurin

13 Desarrollo de McLaurin
Algunos desarrollos de McLaurin

14 Desarrollo de McLaurin
Algunos desarrollos de McLaurin

15 Desarrollo de McLaurin
Algunos desarrollos de McLaurin

16 Aplicación al cálculo de límites

17 Aplicación al cálculo de límites

18 Aplicación al cálculo de límites

19 Aplicación al cálculo de límites

20 Aplicación al cálculo aproximado